উচ্চ স্পষ্টতা থেকে সামান্য দোলক সিরিজ গণনা?

ধরুন আমার কাছে নিম্নলিখিত আকর্ষণীয় ফাংশন রয়েছে: এর কিছু অপ্রীতিকর বৈশিষ্ট্য রয়েছে যেমন এর ডেরাইভেটিভ এর যৌক্তিক গুণগুলিতে ক্রমাগত না থাকে । আমি সন্দেহ করি একটি বদ্ধ ফর্মের অস্তিত্ব নেই।

f (x) = \sum_{k \geq 1} \frac{\cos k x}{k^{2} (2 - \cos k x)} .

$f(x) = \sum_{k\geq1} \frac{\cos k x}{k^2(2-\cos kx)}.$

π

$\pi$

আমি আংশিক অঙ্কগুলি গণনা করে এবং রিচার্ডসন এক্সট্রাপোলেশন ব্যবহার করে এটি গণনা করতে পারি, তবে সমস্যাটি হ'ল ফাংশনটি বেশ কয়েকটি দশমিক অঙ্কের সাথে গণনা করা খুব ধীর (উদাহরণস্বরূপ 100 টি সুন্দর হবে)।

এমন কোনও পদ্ধতি আছে যা এই ফাংশনটি আরও ভালভাবে পরিচালনা করতে পারে?

এখানে কিছু শিল্পকর্মের সাথে এর প্লট রয়েছে : $f'(\pi x)$

ফাংশনের ডেরাইভেটিভ, $ f '(i পাই x) $ $

convergence extrapolation

— কিরিল
সূত্র

হতে পারে আপনি

, যেখানে

একটি চেবিশেভ বহুবচন হিসাবে ব্যবহার করতে পারেন। তারপরে এই সংমিশ্রণটি যৌক্তিক বহুবচনগুলির সিরিজের মতো দেখতে শুরু হয়। তারপরে আপনি যদি চেবিশেভ ভিত্তিতে এই সিরিজটি একটি যৌক্তিক বহুবর্ষে রূপান্তর করতে পারেন তবে এটি একটি কার্যকর দক্ষতার যোগফলটি যোগ করতে পারে। যদি আপনি চেবিশেভ বহুবর্ষ এবং ভিত্তির সাথে পরিচিত না হন, সি-তে সংখ্যাসূচক রেসিপিগুলির পাশাপাশি একটি ভাল প্রাইমার রয়েছে: www2.maths.ox.ac.uk/chebfun/ATAP/ATAPfirst6chapters.pdf

c o s (k x) = T_{k} (x)

$cos(kx) = T_k(x)$

T_{k} (x)

$T_k(x)$

— জে লেমন

Er, যে বলতে হবে

c o s (k x) = T_{k} (c o s (x))

$cos(kx) = T_k(cos(x))$

— জে Lemmon,

@ জয়লেমন এই লিঙ্কটির জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। আমি একটি চেহারা আছে এবং দেখুন এটি সাহায্য করে কিনা।

— কিরিল

আমি এই দলে যোগ দেওয়ার করছি একটু দেরী, কিন্তু আপনি Padé approximants ব্যবহার করার চেষ্টা, অর্থাত্

-Algorithm পরিবর্তে রিচার্ডসন বহির্পাতন?

ε

$\varepsilon$

— পেড্রো

অত্যন্ত দোলনীয় ইন্টিগ্রালের ক্ষেত্রে সাদৃশ্য করে, আমি মনে করি না যে আপনি দোলক এবং ননোসিলিটারি অংশগুলির মধ্যে বিচ্ছেদ সম্পর্কে কিছু জ্ঞান ছাড়াই ভাল কাজ করতে সক্ষম হবেন। আপনার যদি এইরকম বিচ্ছেদ হয় তবে ফুরিয়ার সিরিজের উত্তর আপনাকে সহজ ঘনিষ্ঠভাবে রূপান্তরিত করে।

— জেফ্রি ইরভিং

উত্তর:

বিশ্লেষণী কৌশলগুলি যদি মঞ্জুরি না দেওয়া হয় তবে পর্যায়ক্রমিক কাঠামোটি জানা যায়, তবে এখানে একটি পদ্ধতি রয়েছে। চলুন সময়ের সহ পর্যায়ক্রমিক হতে, যাতে যেখানে

g (x) = \frac{\cos x}{2 - \cos x}

$g(x) = \frac{\cos x}{2-\cos x}$

2 π

$2 \pi$

g (x) = \sum_{j} w_{j} e^{i j x}

$g(x) = \sum_j w_j e^{ijx}$

এভাবে,

w_{j} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} g (x) e^{- i j x} d x

$w_j = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} g(x) e^{-ijx} dx$

আপনি হয় আনুমানিক

সরাসরিঅনুমান করতে পারেনবা একগুচ্ছ

মানেরগণনাকরতে পারেন এবং একটি ডিএফটি ব্যবহার করতে পারেন। উভয় ক্ষেত্রেই, আপনি সম্ভাব্যভাবে ফলাফলটিতে রিচার্ডসন এক্সট্রাপোলেশন প্রয়োগ করতে পারেন। আপনার ক্ষেত্রে যেহেতু

আশেপাশের অঞ্চলে বিশ্লেষণাত্মকতাই চূড়ান্ত সিরিজটি রিচার্ডসন ছাড়াই তাত্পর্যপূর্ণভাবে রূপান্তরিত করে।

\begin{aligned} f (x) & = \sum_{k \geq 1} \frac{g (k x)}{k^{p}} \\ = \sum_{k \geq 1} \frac{1}{k^{p}} \sum_{j} w_{j} e^{i j k x} \\ = \sum_{j} w_{j} \sum_{k \geq 1} \frac{{(e^{i j x})}^{k}}{k^{p}} \\ = \sum_{j} w_{j} {Li}_{p} (e^{i j x}) \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{g(kx)}{k^p} \\ &= \sum_{k \ge 1} \frac{1}{k^p} \sum_j w_j e^{ijkx} \\ &= \sum_j w_j \sum_{k \ge 1} \frac{\left(e^{ijx}\right)^k}{k^p} \\ &= \sum_j w_j \operatorname{Li}_p(e^{ijx}) \end{aligned}$

w_{j}

$w_j$

f (x)

$f(x)$

g (x)

$g(x)$

R

$\mathbb{R}$

— জিওফ্রে ইরভিং
সূত্র

g (x) = \cos (x) / (2 - \cos (x))

$g(x) = \cos(x) / (2 - \cos(x))$

$x = 2\pi a/b$ $a,b$

\begin{aligned} f (x) & = \sum_{k \geq 1} \frac{\cos k x}{k^{2} (2 - \cos k x)} \\ = \sum_{k = 1}^{b} \frac{\cos k x}{2 - \cos k x} \sum_{n \geq 0} \frac{1}{(k + b n)^{2}} \\ = \sum_{k = 1}^{b} \frac{\cos k x}{2 - \cos k x} \frac{ψ^{1} (k / b)}{b^{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{\cos {kx}}{k^2 (2 - \cos {kx})} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \sum_{n \ge 0} \frac{1}{(k+bn)^2} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \frac{\psi^1(k/b)}{b^2} \end{aligned}$

ψ^{1} (z)

$\psi^1(z)$ সিরিজের মান এবং ডেরাইভেটিভস

— জিওফ্রে ইরভিং
সূত্র

ধন্যবাদ. সমস্যাটি হ'ল আমি এই নির্দিষ্ট ফাংশনটিকে আরও একটি জটিল ক্রিয়াকলাপের জন্য মডেল হিসাবে বেছে নিয়েছিলাম যা আমি প্রকৃতপক্ষে একই বৈশিষ্ট্যগুলি ধারণ করে, তবে একইরকম নয় actually আমি এমএসইতে এই প্রশ্নটি থেকে বন্ধ ফর্ম সম্পর্কে অবহিত । আমি এটিকে বোঝাচ্ছিলাম বন্ধ ফর্ম ছাড়াই সংখ্যায়িকভাবে অসীম সিরিজের সংমিশ্রণ সম্পর্কে একটি প্রশ্ন হিসাবে ।

— ক্যারিল

আমার অন্য উত্তরটি কি তাহলে ভাল?

— জেফ্রি ইরভিং

লেভিন ইউ-রূপান্তর সম্পর্কে কীভাবে ? Fortan কোডগুলির ছাড়াও বিভিন্ন সংস্করণ GSL : `gsl_sum_levin_u * ' । মতলবের মিউপ্যাড এবং ম্যাপেল এই স্কিমটি ব্যবহার করে।

— horchler
সূত্র

আমি এটি চেষ্টা করেছিলাম, তবে আমি রিচার্ডসনের এক্সট্রাপোলেশনটি আরও সঠিক বলে খুঁজে পেয়েছি।

— কিরিল