ল্যাপ্লেসগুলি কি অপ্রয়োজনীয় রূপান্তরিত হয়?

ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মটি ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের একটি সাধারণীকরণ, যেহেতু ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মটি (যেমন একটি খাঁটি কল্পিত সংখ্যা = আসল অংশ ) জন্য ল্যাপ্লেস রূপান্তর । $s = j\omega$ $s$ $s$

অনুস্মারক:

ফুরিয়ার রূপান্তর: $X(\omega) = \int x(t) e^{-j\omega t} dt$

ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম: $X(s) = \int x(t) e^{-s t} dt$

এছাড়াও, একটি ফুটিয়ার রূপান্তর পাশাপাশি ল্যাপ্লেস রূপান্তর থেকে একটি সংকেত হুবহু পুনর্গঠন করা যেতে পারে।

যেহেতু পুনর্নির্মাণের জন্য ল্যাপ্লেস রূপান্তরটির কেবলমাত্র একটি অংশের প্রয়োজন (অংশটি যার জন্য ), তাই ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মের বাকী অংশ ( ) পুনর্নির্মাণের জন্য অকার্যকর বলে মনে হচ্ছে ... $\Re(s) = 0$ $\Re(s) \neq 0$

এটা সত্যি?

এছাড়াও, ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মের (যেমন eg বা ) অন্য অংশের জন্য কি সিগন্যালটি পুনর্গঠন করা যেতে পারে ? $\Re(s)=5$ $\Im(s)=9$

এবং যদি আমরা কোনও সিগন্যালের কোনও ল্যাপ্লেস রূপান্তর গণনা করি, তবে ল্যাপ্লেস রূপান্তরটির কেবল একটি পয়েন্ট পরিবর্তন করি এবং বিপরীত রূপান্তর গণনা করি: আমরা কি মূল সংকেতে ফিরে আসি?

fourier-transform laplace-transform

— Vinz
সূত্র

ডাউনভোট কেন? এমনকি যদি প্রশ্নটিতে এমন কোনও ভুল সিদ্ধান্ত থাকতে পারে যা একটি মন্তব্য বা উত্তরে আপনি খুব ভালভাবে মোকাবেলা করতে পারেন। নিঃশব্দে কেউ এই প্রশ্নকে নিম্নচাপ দেওয়া যে আপাতভাবে কেউ কিছু চেষ্টা করেছিলেন তা খুব গঠনমূলক নয়।

— জাজমানিয়াক

আমি প্রশ্ন উত্সাহিত। যদি আমি কৌণিক কম্পাঙ্ক পরিপ্রেক্ষিতে চিন্তা করছি , তারপর আমি ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম বলতে চান:

এবং Laplace ট্রান্সফর্ম:

। তবে এটি পরিষ্কার যে তারা একই জিনিস (বাছাই)।

ω

$\omega$

X (j ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t

$X(j\omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j \omega t} \ dt$

X (s) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- s t} d t

$X(s) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} \ dt$

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন

ফুরিয়ার এবং ল্যাপ্লেস রূপান্তরটিতে স্পষ্টতই অনেকগুলি মিল রয়েছে common তবে, এমন কিছু ক্ষেত্রে রয়েছে যেখানে কেবলমাত্র একটির ব্যবহার করা যেতে পারে, বা যেখানে এটি এক বা অন্যটি ব্যবহার করা আরও সুবিধাজনক।

প্রথম সব, যদিও সংজ্ঞা আপনি কেবল প্রতিস্থাপন দ্বারা বা তদ্বিপরীত থেকে যেতে অপরের রুপান্তর, এই সাধারণত যখন দেওয়া Laplace রুপান্তর সম্পন্ন করা যাবে না অথবা ফুরিয়ার রুপান্তর একটি ফাংশনের। (আমি ভিন্ন সূচকগুলি ব্যবহার করি কারণ একই সময়ে ডোমেন ফাংশনের জন্য দুটি ফাংশন পৃথক হতে পারে)। এমন ফাংশন রয়েছে যার জন্য কেবলমাত্র ল্যাপ্লেস রূপান্তর বিদ্যমান, যেমন, , $s$ $j\omega$ $X_L(s)$ $X_F(j\omega)$ $f(t)=e^{at}u(t)$ , যেখানে হ্যাভিসাইড পদক্ষেপ ফাংশন। কারণ Laplace সংজ্ঞা অবিচ্ছেদ্য কেবল এগোয় রুপান্তর হয় , যা যে বোঝা ফুরিয়ার সংজ্ঞা সংশ্লিষ্ট অবিচ্ছেদ্য রুপান্তর মিলিত নয়, অর্থাত ফুরিয়ার রুপান্তর এই বিদ্যমান নেই কেস। $a>0$ $u(t)$ $\Re\{s\}>a$

এমন ফাংশন রয়েছে যার জন্য উভয় রূপান্তর বিদ্যমান, তবে । একটি উদাহরণ ফাংশন , যার জন্য ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মটিতে ডায়ারাক ডেল্টা ইমপালস রয়েছে। $X_F(j\omega)\neq X_L(j\omega)$ $f(t)=\sin(\omega_0t)u(t)$

শেষ অবধি, এখানে এমন ফাংশন রয়েছে যার জন্য কেবল ফুরিয়ার রূপান্তর বিদ্যমান, তবে ল্যাপ্লেস রূপান্তর নয়। এর অর্থ এই যে Laplace সংজ্ঞা অবিচ্ছেদ্য জন্য (একটি নির্দিষ্ট অর্থে) শুধুমাত্র এগোয় রুপান্তর কিন্তু অন্য কোন মানের জন্য । ল্যাপলেস রূপান্তরটি কেবল তখনই বলা হয় যদি অবিচ্ছেদ্য কোনও অর্ধ-সমতলে বা জটিল -প্লেনের সীমাবদ্ধ আকারের উল্লম্ব স্ট্রিপে রূপান্তরিত হয়। এই ধরনের ফাংশনগুলির জন্য কেবল ফুরিয়ার রূপান্তর বিদ্যমান, জটিল এক্সপেনসিয়েন্টাল এবং সাইনোসয়েডস ( ), এবং আদর্শ ইট-প্রাচীর ফিল্টারগুলির অনুপ্রেরণামূলক প্রতিক্রিয়া অন্তর্ভুক্ত, যা সিনক ফাংশন সম্পর্কিত। সুতরাং, যেমন, ফাংশন $s=j\omega$ $s$ $s$ $-\infty<t<\infty$ বা ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম নেই তবে তাদের ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম রয়েছে। $f(t)=\sin(\omega_0 t)$ $f(t)=\sin(\omega_ct)/\pi t$

ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মটি তাদের স্থানান্তর ফাংশন বিবেচনা করে লিনিয়ার সময়-আক্রমণকারী (এলটিআই) সিস্টেমগুলির আচরণ বিশ্লেষণের জন্য একটি সুবিধাজনক সরঞ্জাম হতে পারে, যা তাদের আবেগ প্রতিক্রিয়ার ল্যাপ্লেস রূপান্তর। জটিল প্লেনের স্থানান্তর ফাংশনের খুঁটি এবং শূন্যগুলি অনেকগুলি সিস্টেম বৈশিষ্ট্য সুবিধার্থে বৈশিষ্ট্যযুক্ত এবং সিস্টেমের আচরণের একটি স্বজ্ঞাত বোঝার জন্য দরকারী। তদুপরি, একতরফা ল্যাপ্লেস রূপান্তরটি শূন্য-শুরুর শর্তহীন এলটিআই সিস্টেম বিশ্লেষণের জন্য খুব দরকারী। ফুুরিয়ার ট্রান্সফর্ম আদর্শ (অ-কার্যকারিতা, অস্থির) সিস্টেমগুলি যেমন আদর্শ লো পাস বা ব্যান্ড পাস ফিল্টারগুলির বিশ্লেষণের জন্য একটি দরকারী সরঞ্জাম। $s$

সম্পর্কিত প্রশ্নের এই উত্তরটি একবার দেখুন ।

— ম্যাট এল।
সূত্র

ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম আদর্শ (অহেতুক, অস্থির) সিস্টেম বিশ্লেষণের জন্য একটি দরকারী সরঞ্জাম: আপনি কি কার্যকারিতা এবং স্থিতিশীল বলবেন?

— Vinz

@ ব্যবহারকারী 17604: আমি যা লিখেছি তা বোঝাতে চেয়েছি। অবশ্যই আপনি কার্যকারিতা এবং স্থিতিশীল (এবং অ-আদর্শ) সিস্টেমের জন্য এটি ব্যবহার করতে পারেন। তবে একটি গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহার হ'ল আদর্শ সিস্টেমের বিশ্লেষণ (যেমন আদর্শ ফ্রিকোয়েন্সি-সিলেক্টিভ ফিল্টারগুলি), যেখানে ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম ব্যবহার করা যায় না।

— ম্যাট এল।

@MattL। দুর্দান্ত উত্তর, তবে আমি খুঁজে পেয়েছি "বিবিআই প্রাথমিক শর্তযুক্ত এলটিআই সিস্টেম বিশ্লেষণ" বিভ্রান্তিকর, এলটিআই সিস্টেমে শূন্য-শুরুর প্রাথমিক শর্ত থাকতে পারে কীভাবে?

@ 0 এমডব্লু: হ্যাঁ, আমার সম্ভবত বলা উচিত ছিল "এমন সিস্টেমগুলি যা অন্যথায় এলটিআই হয় (যদি প্রাথমিকভাবে বিশ্রামে থাকে)"।

— ম্যাট এল।