ইউনিট স্টেপ সিকোয়েন্স এর ডিটিএফটি এর এই বংশগতির ত্রুটি কোথায় ?

11

এই প্রশ্নটি আমার এই অন্যান্য প্রশ্নের সাথে সম্পর্কিত যেখানে আমি ইউনিট স্টেপ সিকোয়েন্স স্বতন্ত্র-সময় ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম (ডিটিএফটি) আহরণের জন্য জিজ্ঞাসা করি । ডেরাইভেশনগুলির জন্য অনুসন্ধানের সময় আমি একটি পেয়েছি যা আশ্চর্যরকম সহজ। বিএ শেনইয়ের এই বইয়ের 138 পৃষ্ঠায় আমি এটি প্রথম দেখেছি । আমিও মধ্যে mathematics.SE তে এটি জুড়ে এসেছিল এই উত্তর । $u[n]$

যুক্তি সংক্ষিপ্ত এবং সহজ হওয়ায় সুবিধার্থে আমি এটি এখানে পুনরাবৃত্তি করব।

ইউনিট পদক্ষেপের ক্রমটি সাথে অবশ্যই, both উভয় পক্ষের ডিটিএফটি প্রয়োগ দেয় যেখানে এর DTFT হয় । থেকে আমরা পেতে থেকে এবং আমরা DTFT জন্য পেতে
$\begin{matrix} (1) & u [n] = f [n] + \frac{1}{2} \end{matrix}$ $u[n]=f[n]+\frac12\tag{1}$ $\begin{matrix} (2) & f [n] = {\begin{cases} \frac{1}{2}, n \geq 0 \\ - \frac{1}{2}, n < 0 \end{cases} \end{matrix}$ $f[n]=\begin{cases}\frac12,\quad n\ge 0\\-\frac12,\quad n<0\end{cases}\tag{2}$ $\begin{matrix} (3) & f [n] - f [n - 1] = δ [n] \end{matrix}$ $f[n]-f[n-1]=\delta[n]\tag{3}$ $(3)$ $\begin{matrix} (4) & F (ω) (1 - e^{- j ω}) = 1 \end{matrix}$ $F(\omega)\left(1-e^{-j\omega}\right)=1\tag{4}$ $F(\omega)$ $f[n]$ $(4)$ $\begin{matrix} (5) & F (ω) = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} \end{matrix}$ $F(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}\tag{5}$ $(5)$ $(1)$ $u[n]$ $\begin{matrix} (6) & U (ω) = F (ω) + π δ (ω) = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} + π δ (ω), - π \leq ω < π \end{matrix}$ $U(\omega)=F(\omega)+\pi\delta(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}+\pi\delta(\omega),\quad -\pi\le\omega <\pi\tag{6}$ যেখানে আমি , । $\text{DTFT}\{1\}=2\pi\delta(\omega)$ $-\pi\le\omega <\pi$

EQ। আপনার টিটিএফটি-র জন্য সন্দেহ নেই যে সঠিক। তবে ডেরাইভেশন ত্রুটিযুক্ত। $(6)$ $u[n]$

প্রশ্নটি হ'ল উপরের ডেরাইভেশনের ত্রুটিগুলি খুঁজে বের করে ব্যাখ্যা কর।

আপনার উত্তরটি স্পয়লার ট্যাগ দিয়ে প্রেন্ড করে দিন >!।

— ম্যাট এল।
সূত্র

1

যে বিষয়টি আমাকে বিরক্ত করে তা হ'ল একটি সীমাবদ্ধ শক্তি সংকেত , একটি সীমাবদ্ধ শক্তি সংকেত নয় , আমরা যখন এই দুটি অসীম শক্তির সংকেতগুলি একসাথে যুক্ত করি তখন আমরা পাই।

f [n]

$f[n]$

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন

এছাড়াও, ?

DTFT {x [n] = 1} = 2 π \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} δ (ω - 2 k π)

$\text{DTFT}\{x[n]=1\} = 2\pi \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(\omega-2k\pi)$

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন

আপনার প্রতিক্রিয়া জন্য ধন্যবাদ বলছি! আমি তাদের সকলকে উন্নত করে তুলেছি এবং প্রত্যেকেই অদ্ভুত সংকেতগুলির ডিটিএফটি-তে এতটা সুপরিচিত নয় (যেমন, বা তে নয়) এর উপর সুন্দর আলোচনার ফলস্বরূপ । আমি কেবল একটি গ্রহণ করতে পারি এবং আমি নতুন উত্তর বা বিদ্যমান উত্তরের পরিবর্তনের জন্য আরও কিছুক্ষণ অপেক্ষা করব। আমি পরে আমার নিজের উত্তর যুক্ত করব।

ℓ^{1}

$\ell^1$

ℓ^{2}

$\ell^2$

— ম্যাট এল।

1

ম্যাট, নিশ্চিতভাবে হয় না সসীম শক্তি। square হতে বর্গক্ষেত্রের অসীম সংখ্যার সীমাবদ্ধ সংখ্যা হিসাবে যুক্ত হয় না।

f [n]

$f[n]$

\frac{1}{4}

$\tfrac14$

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন

1

@ রবার্টব্রিস্টো-জনসন: এ সম্পর্কে আপনি কী বিরক্তিকর মনে করেন? নির্দিষ্ট সংখ্যক পয়েন্ট ব্যতীত যদি সংকেতগুলি একে অপরকে বাতিল করে দেয়, তবে আমরা এটিই পাই।

— ম্যাট এল।

7

অনেকগুলি সংকেত রয়েছে যা নীচের সাম্যকে ধরে রাখে: একমাত্র বিষয় যা এবং তারপরে এর অন্যান্য সহগগুলি নির্ধারণ করা যেতে পারে যে EQ বাধা অনুসারে। রাজ্যের (অর্থাত পরপর নমুনা বিয়োগ হতে হবে জন্য )। অন্য কথায়, এক। যেকোন সংকেত দ্বারা অর্জন করা হবে যেমন দেখার আরও একটি উপায় এটি হ'ল যে কোনও ফাংশন যা মূলত একটি অফসেট সহ (একটি ধ্রুবক মান যুক্ত) সন্তুষ্ট করবে
$y [n] - y [n - 1] = δ [n] (1)$ $y[n]-y[n-1]=\delta[n] \qquad (1)$ $y[0]-y[-1]=1$ $y$ $(1)$ $0$ $n\neq 0$ $(1)$ $y[n]$ $y [0] = y [- 1] + 1 \land y [n] = y [n - 1] \forall n \neq 0$ $y[0]=y[-1]+1 \land y[n]=y[n-1] \ \forall n\neq0$ $u[n]$ $(1)$ । এটি তার উত্তরে রবার্ট ব্রিস্টো-জনসনের দেওয়া বিবৃতিটি ব্যাখ্যা করে: বিভেদকারীরা এই তথ্যটি ধ্বংস করে (যেমন অবিচ্ছিন্ন সময়ে ডেরিভেটিভ গ্রহণ করা মূল ফাংশনের কোনও ধ্রুবক মানের প্রমাণকে নষ্ট করে)।
সংক্ষেপে, আমি বিশ্বাস করি যে প্রমাণটি ত্রুটিযুক্ত কারণ অনুসরণ করা পদ্ধতিটি সাথে ফর্মের যে কোনও ফাংশন ব্যবহার করতে পারে এবং এর ফলে বহু ফাংশন একই ফুরিয়ার রূপান্তরিত হতে পারে , যা ফুরিয়ার রূপান্তরটি হ'ল বাস্তবে ভুল is হতে পারে লেখক ইচ্ছাকৃতভাবে ডিসি মান সম্পর্কিত যে কোনও বিষয় উপেক্ষা করার সিদ্ধান্ত নিয়েছেন, সচেতন যে এর DTFT হ'ল তার জমে থাকা সম্পত্তিটির প্রয়োজন হবে (যার সর্বাধিক জনপ্রিয় প্রমাণটি ডিটিএফটি থেকে প্রাপ্ত ইউনিট পদক্ষেপ - ভাল, একটি চমত্কার বিজ্ঞপ্তি প্রমাণ)। প্রমাণটি কঠোরভাবে ভুল নয় , কারণ এতে বলা আছে ( এবং সূত্রগুলি $u[n]+C$ $C\in\mathbb{R}$ $F(\omega)$ $f[n]$ $F(\omega)$ $U(\omega)$ , ইউনিটের পদক্ষেপের ক্ষয়, পার্থক্য সমীকরণ) সত্য তবে কোনও ডায়ারাক ডেল্টা নেই কেন তা দেখানোর জন্য এটি সংশ্লেষের সম্পত্তি প্রয়োজন । $F(\omega)$

— Tendero
সূত্র

আপনি পুরোপুরি সঠিক পথে আছেন! এই ত্রুটিটি কীভাবে সমাধান করা যেতে পারে, অর্থাত কীভাবে এটি সঠিকভাবে করবেন তা আপনার কী ধারণা আছে?

— ম্যাট এল।

@MattL। জন্য প্রাথমিক শর্ত নির্ধারণ করা কৌতুক করবে এবং সংকেত অবিচ্ছিন্নভাবে নির্ধারণ করবে। এই প্রাথমিক অবস্থাটি সিগন্যালের এর ডিসি মান নির্ধারণ করবে , যা ডিটিএফটি-তে ধীরে ধীরে একটি ডায়রাাক ইমপালস (সংশ্লেষণের সম্পত্তি অনুযায়ী) হিসাবে গুণমান হিসাবে উপস্থিত হয়। আমি মনে করি যে প্রদত্ত প্রমাণে, এটি কাজ করে কারণ সিগন্যাল এর কোনও ডিসি মান নেই কারণ এটি প্রায় টির প্রতিসাম্য , এবং তাই ডিটিএফটি ঠিক সেই ক্ষেত্রে সঠিক। তবে সিগন্যালের কোনও ডিসি নেই বলে দেওয়া উচিত, এটি মৌলিক হিসাবে, আমি বিশ্বাস করি।

y [n]

$y[n]$

y [n]

$y[n]$

f [n]

$f[n]$

0

$0$

— টেন্ডেরো

অনেক ভাল উত্তর আছে এবং কোনটি গ্রহণ করবেন তা চয়ন করা শক্ত। তবে এই সম্প্রদায়ের দ্বারা এটির সর্বাধিক প্রশংসা হয়েছিল এবং আমিও মনে করি যে এটি আখেরে ত্রুটিটি স্পষ্টভাবে নির্দেশ করে। সবাইকে ধন্যবাদ!

— ম্যাট এল।

4

আমি যে প্রতিক্রিয়া পেয়েছি তার দ্বারা আমি অভিভূত হয়েছি (এখনও পর্যন্ত 10 টি উত্তর!)। অবশ্যই, তারা সবাই আমার উত্সাহ পেয়েছে। এটি মজাদার ছিল, আপনার চিন্তাভাবনা, মন্তব্য ইত্যাদির জন্য ধন্যবাদ ছেলেরা। আমি জানি যে এখন পর্যন্ত আপনারা বেশিরভাগই জানেন যে ত্রুটিটি কী, অন্তত আমি যার অর্থ বোঝাতে চাইছিলাম। লোকেরা বিষয়গুলিকে আলাদাভাবে প্রকাশ করে এবং সবসময় ভুল বোঝাবুঝির অবকাশ থাকে তাই আমি যে অনুভূতিকে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ত্রুটি বলে মনে করি তা পরিষ্কার করে দেওয়ার চেষ্টা করব। আমি সত্যটি অবগত যে সবাই একমত হবে না এবং এটি ঠিক আছে fine আপনারা যেমন হ'ল তীক্ষ্ণ মন নিয়ে এই ধরণের ডিএসপি বিষয়গুলি নিয়ে আলোচনা করতে পেরে আমি খুশি! এখানে আমরা যাই।

আমার প্রথম দাবিটি হ'ল আমার প্রশ্নের প্রতিটি সমীকরণ সঠিক। যাইহোক, তাদের মধ্যে কিছুটির উত্সাহ এবং অনুপ্রেরণা সম্পূর্ণ ভুল এবং বিভ্রান্তিকর, এবং "ডেরিভিয়েশন" কেবলমাত্র উপস্থিত থাকতে পারে কারণ লেখক জানতেন যে ফলাফলটি দেখতে কেমন হবে।

EQ। (3) প্রশ্নে ( ) প্রদত্ত অনুক্রমের জন্য সঠিক ( প্রশ্নে একা ), তবে এটি স্পষ্টভাবে এছাড়াও কিছু স্বেচ্ছাসেবী ধ্রুবক সহ for for 1 form ফর্মের সমস্ত অনুক্রমের জন্যও সঠিক । সুতরাং, ডেরাইভেশন অনুসারে, ধ্রুবক এর মান নির্বিশেষে, ফলত ডিটিএফটি ome ফর্মের সমস্ত অনুক্রমের ডিটিএফটি হওয়া উচিত । এটি অবশ্যই অজ্ঞান কারণ ডিটিএফটি অনন্য। বিশেষত, সেই খুব "প্রুফ" ব্যবহার করে আমি " " হিসাবে প্রদত্ত "প্রদর্শন" করতে পারি । আমার প্রশ্নের (বা এক। $f[n]-f[n-1]=\delta[n]$ $f[n]$ $(2)$
$\begin{matrix} (1) & f [n] = u [n] + c \end{matrix}$ $f[n]=u[n]+c\tag{1}$ $c$ $F(\omega)$ $(1)$ $c$ $F(\omega)$ $(5)$ $(3)$ নীচে) আসলে আপনার ডিটিএফটি যা আমরা সন্ধান করছি। সুতরাং কেন যেমন একী হিসাবে বিভক্ত করতে বিরক্ত করবেন । প্রশ্নের? $u[n]$ $u[n]$ $(1)$
তবে এটি সত্য যে সমস্ত সিকোয়েন্সের ডিটিএফটি একা সন্তুষ্ট করে। প্রশ্নের (সুবিধার জন্য এখানে পুনরাবৃত্তি): তবে এখন আসল গাণিতিক ত্রুটি: থেকে EQ। একক উপসংহারে আসা ভুল । অসীম সম্ভাব্য সমাধানগুলির মধ্যে একটি , এবং এটি সঠিকভাবে শেষ ফলাফলটিতে পৌঁছানোর জন্য লেখক দ্বারা প্রয়োজনীয় সমাধান হিসাবে স্বাচ্ছন্দ্যে ঘটে। EQ। এর DTFT হয় মধ্যে সঙ্গে $(1)$ $(4)$
$\begin{matrix} (2) & F (ω) (1 - e^{- j ω}) = 1 \end{matrix}$ $F(\omega)\left(1-e^{-j\omega}\right)=1\tag{2}$ $(2)$ $\begin{matrix} (3) & F (ω) = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} \end{matrix}$ $F(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}\tag{3}$ $(3)$ $(2)$ $(3)$ $f[n]$ $(1)$ $c=-\frac12$ , কিন্তু প্রদত্ত উপার্জন থেকে এটি জানার কোনও উপায় নেই।
সুতরাং আমরা কীভাবে সেই গাণিতিক ত্রুটি এড়াতে পারি এবং কোনও ধ্রুবক দিয়ে সিকোয়েন্সের ডিটিএফটি প্রাপ্ত করতে ব্যবহার করতে পারি ? এর সঠিক উপসংহারটি হ'ল some কিছু এখনও নির্ধারিত ধ্রুবক সহ । এর বাম দিকে প্লাগিং দেয় সুতরাং দ্বারা প্রদত্ত সমস্ত ফাংশন সন্তুষ্ট , প্রয়োজন হিসাবে। $(2)$ $all$ $(1)$ $c$ $(2)$
$\begin{matrix} (4) & F (ω) = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} + α δ (ω) \end{matrix}$ $F(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}+\alpha\delta(\omega)\tag{4}$ $\alpha$ $(4)$ $(2)$ $1 + α (1 - e^{- j ω}) δ (ω) = 1 + α (1 - e^{- j ω}) |_{ω = 0} \cdot δ (ω) = 1 + 0 \cdot δ (ω) = 1$ $1+\alpha (1-e^{-j\omega})\delta(\omega)=1+\alpha (1-e^{-j\omega})\Big{|}_{\omega=0}\cdot\delta(\omega)=1+0\cdot\delta(\omega)=1$ $F(\omega)$ $(4)$ $(2)$
ধ্রুব মধ্যে এর মান থেকে নির্ধারণ করা যেতে পারে এ : এটা দেখানো যেতে পারে, এবং এছাড়াও WolframAlpha সম্মত , যে অবিচ্ছেদ্য এর কোশি প্রধান মান হয় থেকে এবং আমরা get সুতরাং আমরা পাই $\alpha$ $(4)$ $f[n]$ $n=0$
$\begin{matrix} (6) & f [0] = 1 + c = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} F (ω) d ω = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} \frac{d ω}{1 - e^{- j ω}} + \frac{α}{2 π} \end{matrix}$ $f[0]=1+c=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F(\omega)d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{d\omega}{1-e^{-j\omega}}+\frac{\alpha}{2\pi}\tag{6}$ $(6)$ $\begin{matrix} (7) & P V \int_{- π}^{π} \frac{d ω}{1 - e^{- j ω}} = π \end{matrix}$ $PV\int_{-\pi}^{\pi}\frac{d\omega}{1-e^{-j\omega}}=\pi\tag{7}$ $(6)$ $(7)$ $\begin{matrix} (8) & α = π (1 + 2 c) \end{matrix}$ $\alpha=\pi (1+2c)\tag{8}$ $c=-\frac12$ $\alpha=0$ (যা প্রমাণের লেখকের দ্বারা ব্যবহৃত মূল অনুক্রমের সাথে সম্পর্কিত ), এবং (যেমন, ) এর জন্য আমাদের , যা শেষ পর্যন্ত আমাদেরকে আপনার পছন্দসই ডিটিএফটি দেয় : $f[n]$ $c=0$ $f[n]=u[n]$ $\alpha=\pi$ $u[n]$ $\begin{matrix} (9) & U (ω) = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} + π δ (ω) \end{matrix}$ $U(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}+\pi\delta(\omega)\tag{9}$

— ম্যাট এল।
সূত্র

" (4) সন্তুষ্ট (2 প্রদত্ত সমস্ত ফাংশন ", তবে আমাদের কি প্রমাণ করতে হবে যে "সমস্ত ফাংশন সন্তুষ্ট করে (2) ফর্ম (4)" আছে?

F (ω)

$F(\omega)$

F (ω)

$F(\omega)$

— অ্যালেক্সটিপি

@ অ্যালেক্সটিপি: সুতরাং আপনার অর্থ ফর্মটির কার্যকারিতা কেবল সন্তুষ্টিজনক ফাংশনের একটি উপসেট হতে পারে ? এটি একটি বৈধ পয়েন্ট। তবে আমি মনে করি এটি সম্পূর্ণ পরিষ্কার যে অন্য কোনও ফাংশন থাকতে পারে না, কারণ এটি কেবলমাত্র যেখানে আমরা সমস্যাটি পাই, সুতরাং আমাদের ফাংশনগুলির দরকার যা contribution এ অতিরিক্ত অবদান রাখে যা অদৃশ্য হয়ে গেলে । এই জাতীয় ফাংশন (আসলে বিতরণ) হ'ল ডাইরাক ডেল্টা প্ররোচনা এবং এর ডেরাইভেটিভস। যাইহোক, দ্বারা গুণিতকালে ডেরিভেটিভগুলি অদৃশ্য হয় না , সুতরাং এটি কেবলমাত্র ডাইরাক ডেল্টা প্রেরণা বাকি রয়েছে

(4)

$(4)$

(2)

$(2)$

ω = 0

$\omega=0$

ω = 0

$\omega=0$

(1 - e^{- j ω})

$(1-e^{-j\omega})$

(1 - e^{- j ω})

$(1-e^{-j\omega})$

— ম্যাট এল।

আমি সত্যিই নিশ্চিত নই যে এই সম্পত্তি থাকা ডায়রাক ডেল্টা ইমপালস (এবং এর ডেরিভেটিভস) ব্যতীত অন্য কোনও ফাংশন থাকতে পারে না। তবে এটি ঠিক আছে, আপনার উত্তরটি ভাল লেখা আছে। আমি upvote। ধন্যবাদ।

— অ্যালেক্সটিপি

2

ত্রুটিটি "স্পষ্টতই" শব্দটির অনুসরণ করে, যদি এটি ডাইরাক ডেল্টা ফাংশন বলে মনে করা হয়।
আপনার অন্য প্রশ্নের উত্তরটির খসড়া এখানে আমি পোস্ট করি নি:
-------------------------------------------------- -------------
আমি মনে করি না যে কোনও প্রমাণ সম্ভব। এটি পছন্দসই সম্পত্তি থাকার "ক্রিয়ামূলক সংজ্ঞা" এর একটি ক্ষেত্রে হতে পারে।

$X_{2 π} (ω) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] e^{- j ω n}$ $X_{2\pi} \left(\omega\right) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] e^{-j \omega n}$ $U = \sum_{n = 0}^{+ \infty} e^{- j ω n}$ $U = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} e^{-j \omega n}$ $U = lim_{N \to \infty} \sum_{n = 0}^{N - 1} e^{- j ω n}$ $U = \lim_{ N \to \infty } \sum\limits_{n=0}^{N-1} e^{-j \omega n}$ $U = lim_{N \to \infty} [\frac{1 - e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}}]$ $U = \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ 1 - e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right]$ $U = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} - lim_{N \to \infty} [\frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}}]$ $U = \frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } } - \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right]$ শেষ সীমা মানের দিকে । জন্য এটা স্পষ্ট যে এটি একটি ডিরাক ডেল্টা মত কাজ করে। কেন সহগ হওয়া উচিত , আমি জানি না। এটি ইউনিট বৃত্তের ক্ষেত্রের সাথে থাকতে পারে। যখন $\omega = 0$ $\pi$ $\omega \neq 0$ , ডিনোমিনেটর সীমা ছাড়িয়ে ফ্যাক্টর করা যেতে পারে এবং অঙ্কটি কেবল ইউনিট বৃত্তের সাথে লাফিয়ে যায় এবং কখনও সীমাতে পৌঁছায় না। এটিকে শূন্যে সেট করা সংজ্ঞামূলক কাজ।
সংজ্ঞাটি কাঙ্ক্ষিত উপায়ে কাজ করা প্রমাণ করা একটি আলাদা বিষয়।
পৃষ্ঠা 138 প্রমাণ ভুল (কমপক্ষে) কারণ:

$δ (t) = lim_{a \to 0} \frac{1}{2 a} [u (t + a) - u (t - a)] = \frac{d u}{d t}$ $\delta(t) = \lim_{ a \to 0 } \frac{1}{2a} \left[ u(t + a) - u(t - a) \right] = \frac{du}{dt}$ যা এটি সাথে সংজ্ঞায়িত নয় they $\delta(n) = u_2(n) - u_2(n-1)$
আকর্ষণীয় পরিস্থিতি, আমি আশা করি এটি সাহায্য করবে। আপনার যা বলার আছে আমি তার অপেক্ষায় রয়েছি
CED

— সিড্রন ডগ
সূত্র

আপনার উত্তরের জন্য ধন্যবাদ! তবে মনে রাখবেন যে আমরা এখানে আলাদা-সময় সিক্যুয়েন্সের বিষয়ে কথা বলছি, ডাইরাক ডেল্টা প্ররোচনা সম্পর্কে নয়। পৃথক সময়ে, বাদে যেখানে এটি হয় সেখানে সর্বত্র শূন্যের সমান । অবিচ্ছিন্ন সময় হিসাবে কোনও কুৎসিত জিনিস। সুতরাং এক। (3) আমার প্রশ্নে আসলে সঠিক (পৃথক সময়!)।

δ [n]

$\delta[n]$

n = 0

$n=0$

1

$1$

— ম্যাট এল।

সিড্রন, আমি মনে করি এই সমীকরণ: M L @ ম্যাটএল এর এই অন্য প্রশ্নে আগ্রহী হতে পারে .. সম্ভবত আপনি এটিকে আরও কিছু চিন্তাভাবনা করা এবং এটি চান সেখানে পোস্ট করা বিবেচনা করা উচিত।

U = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} - lim_{N \to \infty} [\frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}}]

$U = \frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } } - \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right]$

— টেন্ডেরো

2

আপনি যদি আমাকে শূন্য দ্বারা ভাগ করার অনুমতি দেন তবে আমি আপনাকে এটি প্রমাণ করতে পারি যে । আপনি যখন বলছেন something শূন্য (যখন something ) এ এবং পণ্যটি সমান হওয়ার আশা করে। $1=2$
$F (ω) (1 - e^{- j ω}) = 1$ $F(\omega)\left(1-e^{-j\omega}\right)=1$ $\omega=2k\pi \text{ for } k \in \mathbb{Z}$

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন
সূত্র

3

গল্পটির নৈতিকতা: বিভেদকারীরা তথ্য নষ্ট করে। একটি differentiator মধ্যে পার্থক্য জানে না এবং । হারানো তথ্য পেতে শূন্য দ্বারা ভাগ করার চেষ্টা করবেন না।

u [n]

$u[n]$

u [n] - \frac{1}{2}

$u[n]-\tfrac{1}{2}$

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন 17'18

সুতরাং লেখক কি ত্রুটি সংশোধন করার জন্য বলা উচিত ?

w \neq 2 π k

$w \neq 2\pi k$

— ফ্যাট 32

ভাল, ডিটিএফটি কোনও জন্য 1 সমান , এমনকি যখন ।

δ [n]

$\delta[n]$

ω

$\omega$

ω = 2 k π

$\omega=2k\pi$

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন 17'18

কেন ? ... এটি এর ডোমেন যা সীমাবদ্ধ করে ?

δ [n]

$\delta[n]$

1 - e^{- j w}

$1-e^{-j w}$

F (w)

$F(w)$

— ফ্যাট 32

কারণ যখন ম্যাট বলছেন এবং আপনাকে পেতে উভয় পক্ষকে একীভূত করতে বলেছেন (যা ম্যাটটি Eq.5 এ মূলত বলেছে), তখন আমাদের একটি বাছাই করুন "1 পেতে একই পরিমাণ ট্রিক দিয়ে গুণ এবং ভাগ করুন" । তবে কখনও কখনও তিনি শূন্য দ্বারা গুণ এবং ভাগ করে চলেছেন। শূন্য দ্বারা গুণ করলে তথ্য ধ্বংস হয়। শূন্য দ্বারা ভাগ করা তথ্য আর ফিরে পাবেন না।

f [n] - f [n - 1] = δ [n]

$f[n]-f[n-1]=\delta[n]$

u [n]

$u[n]$

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন

2

সমীকরণ (4) ) হিসাবে লিখতে হবে জন্য , যা (5) নয়। কীভাবে প্রমাণ এড়াতে হবে তা এড়িয়ে চলেন না (3)।
$lim_{N \to \infty} \sum_{n = - N}^{n = N} f [n] e^{- j ω n} (1 - e^{- j ω n}) + (e^{j ω N} f [N] + e^{- j ω N} f [- N]) e^{- j ω} = 1$ $\lim_{N \to \infty} \sum_{n=-N}^{n=N}f[n]e^{-j\omega n} (1-e^{-j\omega n})+(e^{j\omega N}f[N]+e^{-j\omega N}f[-N])e^{-j\omega}=1$ $f[n]=u[n]$ $lim_{N \to \infty} \sum_{n = - N}^{n = N} f [n] e^{- j ω n} (1 - e^{- j ω n}) + e^{j ω N} e^{- j ω} = 1$ $\lim_{N \to \infty} \sum_{n=-N}^{n=N}f[n]e^{-j\omega n} (1-e^{-j\omega n})+e^{j\omega N}e^{-j\omega}=1$

— AlexTP
সূত্র

কেউ তর্ক করতে পারে যে পূর্ণসংখ্যার জন্য যখন উপস্থিত থাকে ।

F (ω)

$F(\omega)$

ω \neq 2 k π

$\omega \ne 2 k \pi$

k

$k$

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন 17'18

@ রবার্টব্রিস্টো-জনসন সম্পাদনার জন্য ধন্যবাদ। আমি বোঝাতে চাইছি যে অস্তিত্ব নেই কারণ নয় because প্রতিটি রূপান্তর করে না । জন্য , এটা এমনকি সঠিক সূত্রের জন্য একটি কোশি প্রধান মান হিসেবে ব্যাখ্যা করা আবশ্যক

F (ω)

$F(\omega)$

ω = 2 k π

$\omega = 2k\pi$

\sum_{n = 1}^{\infty} \sin (ω n)

$\sum_{n=1}^\infty \sin(\omega n)$

ω

$\omega$

ω = 2 k π

$\omega = 2k\pi$

U (ω)

$U(\omega)$

— AlexTP

@ অ্যালেক্সটিপি কেন এই সংমিশ্রনের কারণটি বলছে যে নেই? অনেকগুলি সংকেত এমন হয় যে তাদের "সামিট ডিটিএফটি" বিচ্যুত হয় তবে তবুও তাদের একটি ডিটিএফটি সংজ্ঞায়িত হয় (ডায়ারাক ডেল্টাসের ক্ষেত্রে)। আমি যুক্তিটিকে ভুল বলছি না, আমি কেবল বোঝার চেষ্টা করছি (আমি বিতরণের তত্ত্বের সাথে খুব বেশি পরিচিত নই)।

F (ω)

$F(\omega)$

— টেন্ডেরো

আপনি ঠিক বলেছেন যে পরিমাণগুলি প্রচলিত অর্থে রূপান্তরিত হয় না তবে তবুও, ডিটিএফটিগুলি একটি বন্টনীয় অর্থে বিদ্যমান। সর্বোপরি, একই তর্কটি ডি ডিটিএফটি-র জন্য ধারণ করবে , যা সেই অর্থেও বিদ্যমান। সুতরাং আরও একটি ত্রুটি আছে যা বিচ্যুতির সমস্যার চেয়ে গাণিতিকভাবে জটিল, যা আমরা একরকমভাবে অর্জন করেছি।

u [n]

$u[n]$

— ম্যাট এল।

1

@MattL। এটি সুস্পষ্ট কিনা তা আমি জানি না তবে আমি এবং মধ্যে পার্থক্যটি দেখতে পাচ্ছি না কারণ আমাদেরও !

u [n]

$u[n]$

f [n]

$f[n]$

u [n] - u [n - 1] = δ [n]

$u[n] - u[n-1] = \delta[n]$

— অ্যালেক্সটিপি

2

আমি মনে করি এই প্রমাণটিতে ত্রুটিটি প্রকাশ করার জন্য আমি সর্বোত্তম উপায়টি বের করেছি। সুতরাং আমি এটি অন্য ছুরিকা দিতে যাচ্ছি।
(1) এর পছন্দটি স্বেচ্ছাসেবী। সাথে এটি প্রতিস্থাপন করা যাক । এর মাধ্যমে প্রমাণটি অনুসরণ করুন এবং এর সাথে শেষ করুন: $\frac{1}{2}$ $x$

$U (ω) = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} + 2 π x δ (ω)$ $U(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}+2\pi x \delta(\omega)$
প্রমাণ যা constrains কিছুই নেই হতে , কোনো সসীম মান গ্রহণ করতে পারেন এবং প্রমাণ একই কাজ করে। $x$ $\frac{1}{2}$
তদ্ব্যতীত, আপনি যদি আমার শেষ উত্তরে আমি যে পদক্ষেপটি নিয়ে থাকেন তবে তা (4) হিসাবে প্রকাশিত হবে

$F (ω) (1 - e^{- j ω}) = 1 + 2 π x (1 - e^{- j ω}) δ (ω)$ $F( \omega )(1 - e^{-j\omega} ) = 1 + 2\pi x (1 - e^{-j\omega} ) \delta(\omega)$
এটি (5) এবং (6) এর মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করে অনুসরণ করুন:

$U (ω) = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} + 4 π x δ (ω)$ $U(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}+ 4\pi x \delta(\omega)$
যা আমি আগে উল্লেখ করেছি, সেখানে পৌঁছানোর সংজ্ঞাটির সাথে অসামঞ্জস্যপূর্ণ।
এই প্রমাণটি প্রদর্শন করতে ব্যর্থ হয়েছে এবং এটি মনে হয় যে কোনও সংজ্ঞায়িত এক্সের জন্য, অসঙ্গতিপূর্ণ ফলাফল অনুসরণ করবে। অতএব আমি আমার প্রথম উত্তরে বিবৃতিতে ফিরে যাই যে এর সহগের জন্য। এর মান একটি সংজ্ঞামূলক কর্ম, কোনও গাণিতিক ট্রুইজম নয়। $x = \frac{1}{2}$ $\pi$ $\delta(\omega)$
সম্ভবত আরও কিছু পরিস্থিতি রয়েছে যা কে সঠিক মান করে তবে এই প্রমাণটি এটি সরবরাহ করে না। $x=\frac{1}{2}$
CED

— সিড্রন ডগ
সূত্র

1

এটি আমার প্রথম উত্তরের মন্তব্যের জবাবে। স্পয়লার ক্লোকিংয়ের কারণে আমি এটি আলাদা উত্তর হিসাবে পোস্ট করছি।
আমি অন্য প্রশ্নের আমার অন্যান্য উত্তর পোস্ট করতে যাচ্ছিলাম, কিন্তু এই ক্ষেত্রে আমার অভিজ্ঞতার অভাবের কারণে আমি তা করি নি। আমি গতকাল এটি পোস্ট করেছি, এটি মুছে ফেলেছি, তারপরে মুছে ফেলা হয়েছে, তারপরে কীভাবে স্পয়লার ট্যাগগুলিকে নিয়োগ করতে হবে তা নির্ধারণ করেছি।
স্পষ্টতই সমস্যাটিতে সংজ্ঞায়িত ফাংশনটি ডাইরাক ডেল্টা ফাংশন নয়। আমি উইকিপিডিয়ায় ডিটিএফটি দেখলাম এবং ডায়ারাক ডেল্টা ফাংশনের জন্য ডিটিএফটি এক। আমি ডাকব সমস্যা । $\delta$ $\delta$ $\delta_p$

$δ_{p} [n] = f [n] - f [n - 1] = u [n] - u [n - 1]$ $\delta_p[n] = f[n] - f[n-1] = u[n] - u[n-1]$
বাম এবং ডান অংশের ডিটিএফটি নেওয়া। আমি নিশ্চিত নই যে আমার স্বরলিপি ঠিক আছে, তবে গণিতটি পরিষ্কার হওয়া উচিত। যে সংজ্ঞাটি প্রমাণিত হচ্ছে তা ব্যবহার করে।

$F_{p} (ω) = F_{u} (ω) - F_{u} (ω) e^{- j ω}$ $F_p( \omega ) = F_u( \omega ) - F_u( \omega ) e^{-j\omega}$

$F_{p} (ω) = [\frac{1}{1 - e^{- j ω}} + π δ (ω)] - [\frac{e^{- j ω}}{1 - e^{- j ω}} + (π e^{- j ω}) δ (ω)]$ $F_p( \omega ) = \left[ \frac{1}{1-e^{-j\omega}}+\pi\delta(\omega) \right] - \left[ \frac{e^{-j\omega}}{1-e^{-j\omega}}+ ( \pi e^{-j\omega} ) \delta(\omega) \right]$

$F_{p} (ω) = \frac{1 - e^{- j ω}}{1 - e^{- j ω}} + π (1 - e^{- j ω}) δ (ω)$ $F_p( \omega ) = \frac{1-e^{-j\omega}}{1-e^{-j\omega}} + \pi (1 - e^{-j\omega} )\delta(\omega)$

$F_{p} (ω) = 1 + π (1 - e^{- j ω}) δ (ω) \neq 1$ $F_p( \omega ) = 1 + \pi (1 - e^{-j\omega} ) \delta(\omega) \neq 1$
সুতরাং 4 when ব্যতীত (4) এর আরএইচএস ভুল হয় । [সম্পাদনা: দোহ, এটি ডায়রাক ডেল্টা, সুতরাং এই বক্তব্যটি ভুল। আমার ধারণা "অপরিজ্ঞাত" বাদে এটি সঠিক হওয়া উচিত । বাস্তব বিশ্লেষণ আমার সর্বনিম্ন প্রিয় গণিত ছিল। আমি এখন এই একা চলে যাচ্ছি।] $\omega = 2k\pi$ $\omega = 2k\pi$
CED
==============================
ফলোআপ:
এটি একটি স্পষ্ট যে 1 টি হওয়া উচিত যখন এটি একটি প্লাগ হয়। সুতরাং, যেহেতু আমি একটি পৃথক উত্তর পেয়েছি সংজ্ঞাটি প্রমাণ করার জন্য ব্যবহার করার অর্থ এটি প্রমাণিত যে সংজ্ঞাটি সঠিক নয় (গাণিতিক অর্থে)। তদ্ব্যতীত, আপনি প্রমাণের শেষে যদি সংশোধনটি চালিয়ে যান তবে আপনি একটি আলাদা সংজ্ঞাতে পৌঁছেছেন। সত্যতা বলে ধরে নিলে এটি মিথ্যা প্রমাণ করার জন্য ব্যবহৃত হয়। $\delta_p$

— সিড্রন ডগ
সূত্র

আপনি প্রকৃতপক্ষে দেখিয়েছেন কারণ শব্দটি সমান। এটি কেস কারণ এ অবিচ্ছিন্ন যে কোনও ফাংশনের জন্য আপনার থাকে এবং যদি (যা এখানে মামলা), পুরো শব্দটি অদৃশ্য হয়ে যায়।

F_{p} (ω) = 1

$F_p(\omega)=1$

(1 - e^{- j ω}) δ (ω)

$(1-e^{-j\omega})\delta(\omega)$

f (ω)

$f(\omega)$

ω = 0

$\omega=0$

f (ω) δ (ω) = f (0) δ (ω)

$f(\omega)\delta(\omega)=f(0)\delta(\omega)$

f (0) = 0

$f(0)=0$

— ম্যাট এল।

1

আমার কাছে, (3) এবং (4) এর মধ্যে প্রথম ত্রুটি দেখা দেয়: এটি ধ্রুপদী অযত্ন অবিচ্ছেদ্য / অসীম যোগ বিভাজনের একটি উদাহরণ। সমীকরণের অনুমতি দেওয়ার জন্য শর্তাদি প্রয়োজনীয়: স্ট্যান্ডার্ড বা শর্তগুলি যথেষ্ট তীক্ষ্ণ নাও হতে পারে। এটি এখানে সম্পর্কিত হতে পারে, রূপের কারণে ফুবিনি ডেরাইভেশন উপপাদ্যের সাথে বা: আমরা কখন অসীম যোগফল এবং বিচ্ছিন্ন ডেরিভেটিভ বিনিময় করতে পারি? আশেপাশের উপায়গুলি একঘেয়ে বা সিজারোর মতো অঙ্কের চারপাশে ঘোরাফেরা করতে পারে তবে আমি এই বিষয়ে আর চিন্তা করব।
$\sum (a [n] - b [n]) c_{ω} [n] = \sum a [n] c_{ω} [n] - \sum b [n] c_{ω} [n]$ $\sum (a[n] - b[n])c_\omega[n] = \sum a[n]c_\omega[n]- \sum b[n]c_\omega[n]$ $\ell_1$ $\ell_2$ $f[n]-f[n-1]$

— লরেন্ট ডুভাল
সূত্র

1

তাই ম্যাট,

শক্তির সংকেতগুলির সাথে বিদ্যুত সংকেতগুলির তুলনা করা কেন আপনার সমস্যা মনে হয় না তা আমি জানি না, তবে ধরুন আমরা সংজ্ঞাটি কিছুটা সংশোধন করেছি: $f[n]$

f [n] ≜ {\begin{cases} \frac{1}{2} e^{- α n} & n \geq 0 \\ - \frac{1}{2} e^{α n} & n < 0 \end{cases}

$f[n] \triangleq \begin{cases} \ \tfrac12 e^{-\alpha n} \qquad & n \ge 0 \\ -\tfrac12 e^{ \alpha n} \qquad & n < 0 \\ \end{cases}$

কিছু জন্য । $\alpha > 0$

এখন আমাদের সসীম শক্তি সংকেত রয়েছে এবং ডিটিএফটিগুলি সমস্ত তুলনামূলক হওয়া উচিত।

\begin{aligned} f [n] - f [n - 1] & = {\begin{cases} \frac{1}{2} (e^{- α n} - e^{- α (n - 1)}) & n > 0 \\ \frac{1}{2} (1 + e^{- α}) & n = 0 \\ - \frac{1}{2} (e^{α n} - e^{α (n - 1)}) & n < 0 \end{cases} \\ = {\begin{cases} \frac{1}{2} (1 - e^{α}) e^{- α n} & n > 0 \\ \frac{1}{2} (1 + e^{- α}) & n = 0 \\ \frac{1}{2} (e^{- α} - 1) e^{α n} & n < 0 \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f[n]-f[n-1] &= \begin{cases} \tfrac12 (e^{-\alpha n} - e^{-\alpha (n-1)}) \qquad & n > 0 \\ \tfrac12 (1 + e^{ -\alpha })\qquad & n = 0 \\ -\tfrac12 (e^{\alpha n} - e^{\alpha(n-1)})\qquad & n < 0 \\ \end{cases} \\ \\ \\ &= \begin{cases} \tfrac12 (1 - e^{\alpha}) e^{-\alpha n} \qquad & n > 0 \\ \tfrac12 (1 + e^{ -\alpha }) \qquad & n = 0 \\ \tfrac12 (e^{-\alpha} - 1)e^{\alpha n} \qquad & n < 0 \\ \end{cases} \\ \end{align}$

আমি ভাবছি ডিটিএফটি কি? এবং তারপরে আমরা কী পারি? আমি মনে করি এখনও তথ্য বিচ্ছিন্নকারীদের সমস্যা আছে (এবং ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে 0 দ্বারা গুণ করে তথ্যের সাথে সম্পর্কিত ধ্বংস) এটি একটি সমস্যা। তবে সম্ভবত আমরা সিগন্যাল ক্লাসগুলির তুলনা করার সমস্যাটি হারাতে পারি যা একই হিলবার্ট স্পেস ভাগ করে না। $\alpha \to 0$

কিন্তু হায় আফসোস, প্রায় 2 টা বেজে গেছে এবং আমি এখন এটি নিয়ে কাজ করব না।

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন
সূত্র

সেই জিনিসটি ভাল, এবং সীমাবদ্ধতা নিয়ে those ক্ষয়িষ্ণু সংকেতগুলির ডিটিএফটি গণনা করার এটি একটি বিকল্প । এটি চেষ্টা করুন, এবং আমি নিশ্চিত যে আপনি সফল হবেন, তবে এটি বেদনাদায়ক। একই ফলাফল পাওয়ার সহজ উপায় রয়েছে। প্রদত্ত প্রমাণটি আসলে এমনভাবে সংশোধন করা যেতে পারে যে এটি আইএমএইচও (আমার উত্তর দেখুন) কাজ করে।

α

$\alpha$

α \to 0

$\alpha\rightarrow 0$

— ম্যাট এল।