সম্ভাবনা বৈষম্য

আমি আনবাউন্ডেড এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের জন্য কিছু সম্ভাবনার বৈষম্য খুঁজছি। যদি কেউ আমাকে কিছু চিন্তা সরবরাহ করতে পারে তবে আমি সত্যিই এটির প্রশংসা করব।

আমার সমস্যাটি হ'ল সম্ভাবনাময় উপরের বেঁধে সন্ধান করতে পারে যে আনবাউন্ডড আইড র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল, যা আসলে দুটি আইড গাউসের গুণ, কিছু নির্দিষ্ট মানকে ছাড়িয়ে যায়, যেমন, , যেখানে , এবং থেকে IID তৈরি হয় । $\mathrm{Pr}[ X \geq \epsilon\sigma^2 N] \leq \exp(?)$ $X = \sum_{i=1}^{N} w_iv_i$ $w_i$ $v_i$ $\mathcal{N}(0, \sigma)$

আমি মুহূর্ত উত্পন্নকরণের ফাংশন (এমজিএফ) ব্যবহার করে চেরনফ বাউন্ডটি ব্যবহার করার চেষ্টা করেছি, উত্পন্ন বাউন্ডটি দেওয়া হয়েছে:

$\begin{eqnarray} \mathrm{Pr}[ X \geq \epsilon\sigma^2 N] &\leq& \min\limits_s \exp(-s\epsilon\sigma^2 N)g_X(s) \\ &=& \exp\left(-\frac{N}{2}\left(\sqrt{1+4\epsilon^2} -1 + \log(\sqrt{1+4\epsilon^2}-1) - \log(2\epsilon^2)\right)\right) \end{eqnarray}$

যেখানে $g_X(s) = \left(\frac{1}{1-\sigma^4 s^2}\right)^{\frac{N}{2}}$ এর এমজিএফ । তবে বাঁধা তেমন শক্ত নয়। আমার সমস্যার মূল সমস্যাটি হ'ল এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি সীমাহীন এবং দুর্ভাগ্যক্রমে আমি হফফিং বৈষম্যের সীমাটি ব্যবহার করতে পারি না। $X$

আপনি যদি আমাকে কিছু শক্ত ঘনিষ্ঠভাবে সীমাবদ্ধ খুঁজে পেতে সহায়তা করেন তবে আমি খুশি হব।

— Farzad
সূত্র

সংকুচিত-সংবেদনশীল সম্পর্কিত সমস্যার মতো মনে হচ্ছে। আরস ভার্শিনিনের ন্যানসিম্পটোটিক এলোমেলো ম্যাট্রিক্স তত্ত্বের নোটগুলি দেখুন, বিশেষত তিনি যেটিকে সুব্যাক্সোনশিয়াল এলোমেলো ভেরিয়েবল বলছেন তার সীমানা । এটি আপনাকে শুরু করব। আপনার যদি আরও পয়েন্টার দরকার হয় তবে আমাদের জানান এবং আমি আরও কিছু তথ্য পোস্ট করার চেষ্টা করব।

— কার্ডিনাল

গণিত.এস.ই. সম্পর্কে এই বিষয়টিতে কমপক্ষে দু'একটি সম্পর্কিত প্রশ্ন ও উত্তর রয়েছে (দাবি অস্বীকার: আমি এতে অংশ নিয়েছি এমন একটি সহ)।

— কার্ডিনাল

পণ্যটির

w_{i} v_{i}

$w_i v_i$ একটি 'সাধারণ পণ্য' বিতরণ রয়েছে। আমি বিশ্বাস করি এই পণ্যের গড় শূন্য হয় এবং ভ্যারিয়েন্স হয়

σ^{4}

$\sigma^4$ যেখানে

σ^{2}

$\sigma^2$ ভ্যারিয়েন্স হয়

w_{i}

$w_i$ এবং

v_{i}

$v_i$ । জন্য

N

$N$ largeish, আপনি কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য ব্যবহার আনুমানিক norality পেতে পারে

X

$X$ । আপনি যদি সাধারণ পণ্য বিতরণের স্কিউ গণনা করতে পারেন তবে আমি বিশ্বাস করি আপনি সিডিএফের রূপান্তর হারের সীমাবদ্ধ করতে বেরি-এসিন উপপাদ্য প্রয়োগ করতে পারেন।

— shabbychef

@shabbychef, জাম-Esseen যেহেতু এটি একটি অভিন্ন সব বন্টন ফাংশন ক্লাস শেষ আবদ্ধ নেই, চমত্কার ধীর অভিসৃতি হয়েছে ।

F

$F$

— কার্ডিনাল

@ দিলিপ সরওয়াতে: দুঃখিত যে আমি এখন থেকে কিছুক্ষণ আগে আপনার মন্তব্যটি দেখছি। আমি মনে করি আপনি নীচের ছোট্ট কাগজটিতে আগ্রহী হতে পারেন, যা আমি গণিত.এসইতেও কয়েকবার সংযুক্ত করেছি: টি কে ফিলিপস এবং আর নেলসন (১৯৯৫), এই মুহূর্তটি চেরনফের ধনাত্মক লেজের জন্য আবদ্ধের চেয়ে আবদ্ধ। সম্ভাব্যতা , আমেরিকান পরিসংখ্যানবিদ , খণ্ড 42, নং। 2., 175-178।

— কার্ডিনাল

উত্তর:

চেরনোফ বাউন্ড ব্যবহার করে আপনি কিছু জন্য পরামর্শ দিয়েছেন যা পরে নির্দিষ্ট করা হবে, যেখানে দ্বিতীয় বৈষম্য ধন্যবাদ রাখে যে কোনও । এখন এবং , ডান হাতের অংশটি যা জন্য কোনও । $s\le 1/(2\sigma^2)$

P [X > t] \leq \exp (- s t) \exp (- (N / 2) \log (1 - σ^{4} s^{2})) \leq \exp (- s t + σ^{4} s^{2} N)

$P[X>t] \le \exp(-st) \exp\Big(-(N/2) \log(1-\sigma^4s^2) \Big) \le \exp(-st + \sigma^4s^2 N)$

- \log (1 - x) \leq 2 x

$-\log(1-x)\le 2x$

x \in (0, 1 / 2)

$x\in(0,1/2)$

t = ϵ σ^{2} N

$t=\epsilon \sigma^2 N$

s = t / (2 σ^{4} N)

$s=t/(2\sigma^4N)$

\exp (- t^{2} / (4 σ^{4} N) = \exp (- ϵ^{2} N / 4)

$\exp(-t^2/(4\sigma^4N)=\exp(-\epsilon^2 N/4)$

P [X > ϵ σ^{2} N] \leq \exp (- ϵ^{2} N / 4) .

$P[X>\epsilon \sigma^2 N] \le \exp(-\epsilon^2 N/4).$

ϵ \in (0, 1)

$\epsilon\in(0,1)$

আরেকটি অ্যাভিনিউ হ'ল হ্যানসন-রাইট অসমতার মতো ঘনত্বের অসমতা বা অর্ডার 2 এর গাউসিয়ান বিশৃঙ্খলার জন্য ঘনত্বের অসমতাগুলি প্রয়োগ করা যা আপনার আগ্রহী এলোমেলো পরিবর্তনশীলকে অন্তর্ভুক্ত করে।

মুহুর্ত তৈরির ফাংশনটি ব্যবহার না করেই সহজ পদ্ধতির

সরলতার জন্য নিন (অন্যথায়, কেউ দ্বারা ভাগ করে পুনরুদ্ধার করতে পারে )। $\sigma=1$ $\sigma^2$

লিখন এবং । আপনি উপরের সীমা জিজ্ঞাসা করছেন । $v=(v_1,...,v_n)^T$ $w=(w_1,...,w_n)^T$ $P(v^Tw>\epsilon N)$

যাক। তারপর স্বাধীনতার দ্বারা এবং স্বাধীন সঙ্গে সঙ্গে বন্টন ডিগ্রী অফ স্বাধীনতা। $Z= w^T v/\|v\|$ $Z\sim N(0,1)$ $v,w$ $\|v\|^2$ $Z$ $\chi^2$ $n$

স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ এবং এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলিতে স্ট্যান্ডার্ড সীমানা অনুসারে , ইউনিয়ন আবদ্ধ সঙ্গে মিশ্রন একটি ঊর্ধ্ব উপর আবদ্ধ দেয় ফর্মের । $\chi^2$

P (| Z | > ϵ \sqrt{n / 2}) \leq 2 \exp (- ϵ^{2} n / 4), P (‖ v ‖ > \sqrt{2 n}) \leq \exp (- n (\sqrt{2} - 1)^{2} / 2) .

$P(|Z|>\epsilon\sqrt{n/2})\le 2\exp(-\epsilon^2 n/4), \qquad\qquad P(\|v\|>\sqrt{2n}) \le \exp(-n(\sqrt 2 -1)^2/2).$

P (v^{T} w > ϵ N)

$P(v^Tw>\epsilon N)$

2 \exp (- ϵ^{2} n / 4) + \exp (- n (\sqrt{2} - 1)^{2} / 2)

$2\exp(-\epsilon^2 n/4) + \exp(-n(\sqrt 2 -1)^2/2)$

— jlewk
সূত্র

আপনি যে সীমাটি পেয়েছেন সেটি হ'ল হিসাবে । আমি মনে করি না আপনি সাধারণ- পক্ষে আরও ভাল কিছু করতে পারেন । থেকে পণ্য ভেরিয়েবল উইকিপিডিয়ার পৃষ্ঠা বিতরণের হয় যেখানে একটি পরিবর্তিত বেসেল ফাংশন। ডিএলএমএফ ফাংশন তালিকার (10.25.3) থেকে , যাতে পর্যায়ে যথেষ্ট বড় যা আপনাকে একটি উপ-গাউশিয়ান সীমানা দেয় না। $e^{-\epsilon}$ $\epsilon \to \infty$ $\epsilon$ $w_i v_i$ $K_0(z)/\pi$ $K_0$ $K_0(t) \sim e^{-t}/\sqrt{t}$ $x$ $\mathbb{P}(w_i v_i > x) \sim \int_x^\infty e^{-t}/\sqrt{t} dt$

— BookYourLuck
সূত্র