এর জন্য সর্বনিম্ন বৈকল্পিক সহ নিরপেক্ষ अनुमानক

দিন $X_1, ...,X_n$ বিতরণ একটি এলোমেলো নমুনা ফেম হতে $Geometric(\theta)$ জন্য $0<\theta<1$ । অর্থাত,

p_{θ} (x) = θ (1 - θ)^{x - 1} I_{{1, 2, . . .}} (x)

$p_{\theta}(x)=\theta(1-\theta)^{x-1} I_{\{1,2,...\}}(x)$

এর জন্য সর্বনিম্ন বৈকল্পিক সহ নিরপেক্ষ আনুষঙ্গিক খুঁজুন $g(\theta)=\frac{1}{\theta}$

আমার প্রচেষ্টা:

যেহেতু জ্যামিতিক বিতরণটি তাত্পর্যপূর্ণ পরিবার থেকে, পরিসংখ্যান

\sum X_{i}

$\sum X_i$ সম্পূর্ণ এবং জন্য যথেষ্ট

θ

$\theta$ । এছাড়াও, যদি

T (X) = X_{1}

$T(X)=X_1$ জন্য একটি অনুমানকারী

g (θ)

$g(\theta)$ এটা নিরপেক্ষ। সুতরাং, রাও-ব্ল্যাকওয়েল উপপাদ্য এবং লেহমান-শেফি উপপাদ্য দ্বারা,

W (X) = E [X_{1} | \sum X_{i}]

$W(X) = E[X_1|\sum X_i]$ আমরা যে অনুমানকটি খুঁজছি।

আমাদের নিম্নলিখিত রয়েছে:

$W(X) = \sum_{i=1}^t i\, P(X_1=i|\sum X_i =t) = \sum_{i=1}^t i\, \frac{P(\sum_{i \geq 2} X_i =t-i)P(X_1=i)}{P(\sum_{i \geq 1}X_i =t)}$

যেহেতু ভেরিয়েবলগুলি আইড জ্যামিতিক, তাই যোগফলগুলি বিতরণ উভয়ই নেতিবাচক দ্বিপদী হয়। তবে দ্বিপাক্ষিক সহগের প্রতিদ্বন্দ্বিতা করা এবং এটি সম্ভব হলে আরও ভাল ফর্মের সাথে একটি চূড়ান্ত উত্তর দিতে আমার সমস্যা হচ্ছে। আমি যদি কিছু সহায়তা পেতে পারি তবে আমি খুশি হব।

ধন্যবাদ!

সম্পাদনা: আমি মনে করি না আপনি লোকেরা আমার সন্দেহ বুঝতে পেরেছেন: Ithink আমি সমস্ত সঠিক পদক্ষেপ নিয়েছি, সম্ভবত কিছু সূচক ফাংশন ভুলে গিয়েছি। আমি যা করেছি তা এখানে:

. . . = \sum_{i = 1}^{t} i \frac{(\binom{t - i - 1}{n - 2}) θ^{n - i} (1 - θ)^{t - i - n + 1} θ (1 - θ)^{i - 1}}{(\binom{t - 1}{n - 1}) θ^{n} (1 - θ)^{t - n}} = \sum_{i = 1}^{t} i \frac{(\binom{t - i - 1}{n - 2})}{(\binom{t - 1}{n - 1})}

$...=\sum_{i=1}^ti\frac{\binom{t-i-1}{n-2}\theta^{n-i}(1-\theta)^{t-i-n+1} \theta(1-\theta)^{i-1}}{\binom{t-1}{n-1}\theta^n(1-\theta)^{t-n}}=\sum_{i=1}^t i \frac{\binom{t-i-1}{n-2}}{\binom{t-1}{n-1}}$

যেমনটি আমি বলেছি, এটিকে সহজ করার জন্য এবং সোম্যাটরি সূচক নিয়ে আমার সমস্যা হচ্ছে

— Giiovanna
সূত্র

প্রকৃতপক্ষে জ্যামিতিক ta থিতা ভেরিয়েটের জন্য, , এবং রাও-ব্ল্যাকওয়েল উপপাদ্যটি বোঝায় যে হ'ল বৈকল্পিক নিরপেক্ষ অনুমানক। তবে এই শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশাকে সরাসরি গণনার চেষ্টা করার পরিবর্তে, কেউ মন্তব্য করতে পারে যে তাই দ্রষ্টব্য, ঘটনাক্রমে, যেহেতু ${\cal G}(\theta)$ $X$

E_{θ} [X] = 1 / θ = g (θ)

$\mathbb{E}_\theta[X]=1/\theta=g(\theta)$

\hat{θ} (T) = E_{θ} [X_{1} | \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = T]

$\hat{\theta}(T)=\mathbb{E}_\theta\left[X_1\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]$

E_{θ} [X_{1} | \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = T] = \dots = E_{θ} [X_{n} | \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = T]

$\mathbb{E}_\theta\left[X_1\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]=\ldots=\mathbb{E}_\theta\left[X_n\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]$

E_{θ} [X_{1} | \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = T] = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} E_{θ} [X_{i} | \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = T] = \frac{T}{n}

$\mathbb{E}_\theta\left[X_1\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbb{E}_\theta\left[X_i\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]=\frac{T}{n}$

\sum_{j \geq 2} X_{j}

$\sum_{j\ge 2} X_j$ একটি নেতিবাচক দ্বিপদী সুতরাং চূড়ান্ত যোগফলটি বেছে নেওয়া উচিত be

N e g (n - 1, θ)

$\cal{N}eg(n-1,\theta)$

P (\sum_{j \geq 2} X_{j} = m) = (\binom{m - 1}{n - 2}) θ^{n - 1} (1 - θ)^{m - n + 1} I_{m > n - 1}

$\mathbb{P}\left(\sum_{j\ge 2} X_j=m\right)={m-1\choose n-2}\theta^{n-1}(1-\theta)^{m-n+1}\mathbb{I}_{m>n-1}$

\sum_{i = 1}^{t - n + 1} i (\binom{t - i - 1}{n - 2}) / (\binom{t - 1}{n - 1})

$\sum_{i=1}^{t-n+1} i {\binom{t-i-1}{n-2}}\bigg/{\binom{t-1}{n-1}}$

— সিয়ান
সূত্র