একটি এআর এর স্থিতিশীলতার জন্য একটি প্রমাণ (2)

একটি গড় কেন্দ্রিক শিরোণামে বিবেচনা করুন (2) প্রক্রিয়া যেখানে মান সাদা গোলমাল প্রক্রিয়া। কেবল সরলতার জন্য আমাকে এবং । বৈশিষ্ট্য সমীকরণের আমি পেয়েছি the পাঠ্যপুস্তকের শাস্ত্রীয় শর্তগুলি নিম্নলিখিত: আমি নিজে থেকেই (গাণিতিকের সাহায্যে) শিকড়ের অসমতাগুলি সমাধান করার চেষ্টা করেছি, অর্থাৎ সিস্টেম just কেবল প্রাপ্তি

X_{t} = ϕ_{1} X_{t - 1} + ϕ_{2} X_{t - 2} + ϵ_{t}

$X_t=\phi_1X_{t-1}+\phi_2X_{t-2}+\epsilon_t$

ϵ_{t}

$\epsilon_t$

ϕ_{1} = b

$\phi_1=b$

ϕ_{2} = a

$\phi_{2}=a$

z_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} + 4 a}}{2 a}

$z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2+4a}}{2a}$

{\begin{cases} | a | < 1 \\ a \pm b < 1 \end{cases}

$\begin{cases}|a|<1 \\ a\pm b<1 \end{cases}$

{\begin{cases} | \frac{- খ - \sqrt{খ^{2} + + 4 একটি}}{2 একটি} | > 1 \\ | \frac{- খ + + \sqrt{খ^{2} + + 4 একটি}}{2 একটি} | > 1 \end{cases}

$\begin{cases}|\frac{-b-\sqrt{b^2+4a}}{2a}|>1 \\ |\frac{-b+\sqrt{b^2+4a}}{2a}|>1\end{cases}$

একটি \pm খ < 1

$a \pm b<1$ তৃতীয় শর্তটি ( ) একে অপরের সাথে পূর্ববর্তী দুটি সমাধান যুক্ত করে যা যায় যা কিছু চিহ্নের বিবেচনার মাধ্যমে ? নাকি আমি কোন সমাধান মিস করছি?

| a | < 1

$|a|<1$

a + b + a - b < 2 \Rightarrow a < 1

$a+b+a-b<2 \Rightarrow a<1$

| a | < 1

$|a|<1$

self-study stationarity arma

— মার্কো
সূত্র

আমার অনুমান যে আপনি যে বৈশিষ্ট্যযুক্ত সমীকরণটি ছেড়ে চলেছেন তা আমার থেকে আলাদা। আমরা একমত হয়েছি কিনা তা দেখার জন্য কয়েকটি পদক্ষেপে আমাকে এগিয়ে যেতে দিন।

সমীকরণটি বিবেচনা করুন

λ^{2} - ϕ_{1} λ - ϕ_{2} = 0

$\lambda^2-\phi_1\lambda-\phi_2=0$

যদি $z$ "মান" চরিত্রগত সমীকরণের একটি মূল $1-\phi_1 z-\phi_2 z^2=0$ এবং সেটিং $z^{-1}=\lambda$ , মানক এক rewriting নিম্নরূপ থেকে প্রদর্শন গ্রহণ করে:

\begin{array}{rcl} 1 - ϕ_{1} z - ϕ_{2} z^{2} & = & 0 \\ \Rightarrow z^{- 2} - ϕ_{1} z^{- 1} - ϕ_{2} & = & 0 \\ \Rightarrow λ^{2} - ϕ_{1} λ - ϕ_{2} & = & 0 \end{array}

$\begin{eqnarray*} 1-\phi_1 z-\phi_2 z^2&=&0\\ \Rightarrow z^{-2}-\phi_1 z^{-1}-\phi_2 &=&0\\ \Rightarrow \lambda^2-\phi_1\lambda -\phi_2 &=&0 \end{eqnarray*}$ অতএব, একটি স্থায়িত্ব জন্য বিকল্প শর্ত

A R (2)

$AR(2)$ যে প্রথম প্রদর্শনের সব শিকড় হয়ভিতরেইউনিট বৃত্ত,

| z | > 1 \Leftrightarrow | λ | = | z^{- 1} | < 1

$|z|>1 \Leftrightarrow |\lambda|=|z^{-1}|<1$ ।

আমরা আহরণ করা এই প্রতিনিধিত্ব ব্যবহার stationarity ত্রিভুজ একটি এর $AR(2)$ প্রক্রিয়া, যে হয় যে একটি $AR(2)$ স্থিতিশীল হলে নিম্নলিখিত তিনটি শর্ত পূরণ করা হয়:

$\phi_2<1+\phi_1$
$\phi_2<1-\phi_1$
$\phi_2>-1$

রিকল আপনি (যদি বাস্তব) প্রথম প্রদর্শনের শিকড় লিখতে পারেন যে হিসাবে

λ_{1, 2} = \frac{ϕ_{1} \pm \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}}}{2}

$\lambda_{1,2}=\frac{\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{2}$ প্রথম দুটি শর্ত খুঁজে।

তারপরে, $AR(2)$ স্থিতিশীল iff $|\lambda|<1$ , অত (যদি $\lambda_i$ আসল):

\begin{array}{rcl} - 1 < \frac{ϕ_{1} \pm \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}}}{2} & < & 1 \\ \Rightarrow - 2 < ϕ_{1} \pm \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}} & < & 2 \end{array}

$\begin{eqnarray*} -1<\frac{\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{2}&<&1\\ \Rightarrow -2<\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2 \end{eqnarray*}$ দুটি

λ_{i}

$\lambda_i$

দ্বারা আবদ্ধ

ϕ_{1} + \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}} < 2

$\phi_1+\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}<2$ , অথবা:

\begin{array}{rcl} ϕ_{1} + \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}} & < & 2 \\ \Rightarrow \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}} & < & 2 - ϕ_{1} \\ \Rightarrow ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2} & < & (2 - ϕ_{1})^{2} \\ \Rightarrow ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2} & < & 4 - 4 ϕ_{1} + ϕ_{1}^{2} \\ \Rightarrow ϕ_{2} & < & 1 - ϕ_{1} \end{array}

$\begin{eqnarray*} \phi_1+\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2\\ \Rightarrow \sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2 - \phi_1\\ \Rightarrow \phi_1^2+4\phi_2&<&(2 - \phi_1)^2\\ \Rightarrow \phi_1^2+4\phi_2&<&4 - 4\phi_1+\phi_1^2\\ \Rightarrow \phi_2&<&1 - \phi_1 \end{eqnarray*}$ সমানভাবে, আমরা দেখতে পাই যে

ϕ_{2} < 1 + ϕ_{1}

$\phi_2<1 + \phi_1$ ।

তাহলে $\lambda_i$ কমপ্লেক্স, তারপর $\phi_1^2<-4\phi_2$ এবং তাই

λ_{1, 2} = ϕ_{1} / 2 \pm i \sqrt{- (ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2})} / 2.

$\lambda_{1,2} = \phi_1/2\pm i\sqrt{-(\phi_1^2+4\phi_2)}/2.$

λ^{2} = (ϕ_{1} / 2)^{2} + {(\sqrt{- (ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2})} / 2)}^{2} = ϕ_{1}^{2} / 4 - (ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}) / 4 = - ϕ_{2} .

$\lambda^2 = (\phi_1/2)^2 + \left(\sqrt{-(\phi_1^2+4\phi_2)}/2\right)^2 = \phi_1^2/4-(\phi_1^2+4\phi_2)/4 = -\phi_2.$ This is stable if

| λ | < 1

$|\lambda|<1$ , hence if

- ϕ_{2} < 1

$-\phi_2<1$ or

ϕ_{2} > - 1

$\phi_2>-1$ , as was to be shown. (The restriction

ϕ_{2} < 1

$\phi_2<1$ resulting from

ϕ_{2}^{2} < 1

$\phi_2^2<1$ is redundant in view of

ϕ_{2} < 1 + ϕ_{1}

$\phi_2<1+\phi_1$ and

ϕ_{2} < 1 - ϕ_{1}

$\phi_2<1-\phi_1$ .)

Plotting the stationarity triangle, also indicating the line that separates complex from real roots, we get

enter image description here

Produced in R using

phi1 <- seq(from = -2.5, to = 2.5, length = 51) 
plot(phi1,1+phi1,lty="dashed",type="l",xlab="",ylab="",cex.axis=.8,ylim=c(-1.5,1.5))
abline(a = -1, b = 0, lty="dashed")
abline(a = 1, b = -1, lty="dashed")
title(ylab=expression(phi[2]),xlab=expression(phi[1]),cex.lab=.8)
polygon(x = phi1[6:46], y = 1-abs(phi1[6:46]), col="gray")
lines(phi1,-phi1^2/4)
text(0,-.5,expression(phi[2]<phi[1]^2/4),cex=.7)
text(1.2,.5,expression(phi[2]>1-phi[1]),cex=.7)
text(-1.75,.5,expression(phi[2]>1+phi[1]),cex=.7)

— Christoph Hanck
সূত্র

this is a very detailed explanation.

— Marco

@Christoph: Is there a typo in the answer? Look at equation for

λ^{2}

$\lambda^2$ . Also, what do you mean by square of a complex number? If

z = a + b i

$z = a + bi$ then

z^{2} = a^{2} - b^{2} + 2 i a b

$z^2 = a^2 - b^2 + 2iab$ . How do you say square of a complex number is "square of the real plus the square of the imaginary part"

— shani

Thanks, quite right! I was referring to the sqaured modulus, see the edit.

— Christoph Hanck

@ChristophHanck, what is your take on Aksakal's answers in these two threads: 1 and 2? Are they in conflict with your answer, and if so, what is the correct answer?

— Richard Hardy

I think he is quite right when defining weak stationarity as constancy of the first two moments. Often, and also in the present thread, "stationarity" and "existence of a causal representation", i.e., a summable

M A (\infty)

$MA(\infty)$ representation without dependence on the future, are conflated. What my answer therefore more precisely shows is conditions for the existence of the latter.

— Christoph Hanck