যদি কোনও টাইম সিরিজ দ্বিতীয় ক্রম স্থিতিশীল হয় তবে এটি কি বোঝায় যে এটি কঠোরভাবে স্থিতিশীল?

এর যৌথ বিতরণ করা হলে একটি প্রক্রিয়া কঠোরভাবে স্থির এর যৌথ বিতরণ হিসাবে সমান সমস্ত , সমস্ত এবং সমস্ত $X_t$ $X_{t_1},X_{t_2},...,X_{t_m}$ $X_{t_1+k},X_{t_2+k},...,X_{t_m+k}$ $m$ $k$ । $t_1,t_2,...,t_m$

কোনও প্রক্রিয়া দ্বিতীয় ক্রম স্থিতিশীল হয় যদি এর গড় ধ্রুবক হয় এবং এর স্বতঃআবর্তন ফাংশন কেবল ল্যাগের উপর নির্ভর করে।

অতএব দ্বিতীয় আদেশ ক্রিয়াকলাপ কি কঠোর স্টেশনারি বোঝায়?

দ্বিতীয় আদেশের স্থিতিশীলের অধীনে এটিও বলেছে যে প্রথম এবং দ্বিতীয় ক্রমের তুলনায় উচ্চতর মুহূর্তগুলি সম্পর্কে কোনও অনুমান করা হয় না। প্রথম মুহূর্তটি এর সাথে মিলে যায়, দ্বিতীয় মুহূর্তটি কী স্বতঃআপনার সাথে মিল রয়েছে?

— Clarkson
সূত্র

সম্পর্কিত আলোচনার জন্য এই পোস্টটি দেখুন ।

— javlacalle

আপনি যাকে (বা আপনার কোর্স কল করেন) সেকেন্ড-অর্ডারের স্টেশনারি বলা হয় প্রায়শই দুর্বলভাবে স্থির বা প্রশস্ত অর্থে স্টেশনারি (ডাব্লুএসএস) বা প্রশস্ত অর্থে স্টেশনারি বলা হয়। ডাব্লুএসএস প্রক্রিয়াগুলি অগত্যা কঠোরভাবে স্থিতিশীল নয় কারণ গড় এবং অটোোকোরিয়ান্স সাধারণভাবে বিতরণ নির্ধারণের জন্য যথেষ্ট নয় । অবশ্যই, একটি ফলক গসিয়ান বা স্বাভাবিক প্রক্রিয়া (সমস্ত অর্থ

স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল) হয় কঠোরভাবে নিশ্চল কারণ গড় এবং সহভেদাংক ম্যাট্রিক্স যৌথ বন্টন নির্ধারণ করে।

X_{t}

$X_t$

— দিলীপ সরোতে

এছাড়াও এমন একটি প্রক্রিয়ার উদাহরণ দেখুন যা 2 য় ক্রম স্থায়ী কিন্তু কঠোরভাবে স্থির নয় । দু'টি সদৃশ হওয়ার খুব কাছে। এই প্রশ্নটি দ্বিতীয় মুহূর্তটি অটোোকোরিয়েন্সকে বোঝায় কিনা সে সম্পর্কেও জিজ্ঞাসা করে, তবে এটি সত্যই একটি উপ-প্রশ্ন এবং কোনও দরে থ্রেডে পরিচালিত হয় দ্বিতীয় আদেশের স্থিতিশীল প্রক্রিয়া কী?

— সিলভারফিশ

ম্যাথওভারফ্লো.नेट

— রবি ম্যাককিলিয়াম

দ্বিতীয় আদেশের স্থিরতা কড়া স্টেরারিটির চেয়ে দুর্বল। দ্বিতীয় আদেশের স্থিতিস্থানের প্রয়োজন যে প্রথম এবং দ্বিতীয় ক্রমের মুহুর্তগুলি (অর্থাত্, বিবর্তন এবং সমবায়িকাগুলি) পুরো সময় স্থির থাকে এবং তাই প্রক্রিয়াটি যে সময়ের মধ্যে পর্যবেক্ষণ করা হয় তার উপর নির্ভর করে না। বিশেষত, যেমনটি আপনি বলেছেন, সমবায়ুতা কেবলমাত্র পিছনের ক্রমের উপর নির্ভর করে, , তবে এটি যে সময় পরিমাপ করা হয় তা নয়, জন্য $k$ $Cov(x_t, x_{t-k}) = Cov(x_{t+h}, x_{t+h-k})$ । $t$

একটি কঠোর স্টেশনারিটি প্রক্রিয়াতে, সমস্ত আদেশের মুহুর্তগুলি পুরো সময় জুড়ে স্থির থাকে, যেমন আপনি বলেছিলেন, এর যৌথ বন্টন এর যৌথ বিতরণ হিসাবে সমান সবার জন্য $X_{t1},X_{t2},...,X_{tm}$ $X_{t1+k}+X_{t2+k}+...+X_{tm+k}$ এবং । $t1,t2,...,tm$ $k$

অতএব, কঠোরভাবে স্থিতিশীলতার সাথে দ্বিতীয় ক্রম স্থিরত্ব জড়িত তবে কনভার্সটি সত্য নয়।

সম্পাদনা করুন (@ whuber এর মন্তব্যের জবাব হিসাবে সম্পাদিত)

পূর্ববর্তী বিবৃতিটি দুর্বল এবং দৃ strong় স্থিরতার সাধারণ উপলব্ধি। যদিও দৃ weak় অর্থে স্থিরতা বোঝায় না এই ধারণাটি দৃu় অর্থে স্বজ্ঞাততার সাথে একমত হতে পারে তবে নীচের মন্তব্যে হুবহু দ্বারা চিহ্নিত করা যেমন প্রমাণের পক্ষে এতটা সোজা নাও হতে পারে। মন্তব্যটিতে পরামর্শ মতো ধারণাটি চিত্রিত করতে এটি সহায়ক হতে পারে।

দ্বিতীয় অর্ডারের স্থিতিশীল এমন কোনও প্রক্রিয়াটিকে আমরা কীভাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি (মানে, পুরো সময় জুড়ে বৈকল্পিকতা এবং কোভেরিয়েন্স ধ্রুবক) তবে এটি কঠোর অর্থে স্থির নয় (উচ্চতর আদেশের মুহুর্তগুলি সময়ের উপর নির্ভর করে)?

@ হুবারের পরামর্শ অনুসারে (যদি আমি সঠিকভাবে বুঝতে পারি) তবে আমরা বিভিন্ন বিতরণ থেকে আসা পর্যবেক্ষণগুলির ব্যাচগুলিকে একত্রিত করতে পারি। আমাদের কেবল সাবধান হওয়া দরকার যে সেই বিতরণগুলির একই গড় এবং বৈচিত্র রয়েছে (এই মুহুর্তে আসুন বিবেচনা করুন যে তারা একে অপরের থেকে স্বাধীনভাবে নমুনা নিচ্ছেন)। একদিকে আমরা উদাহরণস্বরূপ ডিগ্রি স্বাধীনতার সাথে শিক্ষার্থীর বিতরণ থেকে পর্যবেক্ষণগুলি তৈরি করতে পারি । গড় শূন্য হয় এবং ভ্যারিয়েন্স হয় । অন্য দিকে, আমরা শূন্য গড় এবং ভ্যারিয়েন্স সঙ্গে গসিয়ান বন্টন নিতে পারেন । $t$ $5$ $5/(5-2)=5/3$ $5/3$

উভয় ডিস্ট্রিবিউশন একই গড় (শূন্য) এবং ভ্যারিয়েন্স (ভাগ )। সুতরাং, এই বিতরণ থেকে এলোমেলো মানগুলির উপসংহারটি কমপক্ষে, দ্বিতীয়-ক্রমের স্থিতিশীল হবে। তবে গাউসীয় বিতরণ দ্বারা পরিচালিত সেই পয়েন্টগুলিতে কুর্তোসিসটি হবে , যখন সেই সময় পয়েন্টগুলিতে যেখানে শিক্ষার্থীর বিতরণ থেকে ডেটা আসে এটি । সুতরাং, এই উপায়ে উত্পন্ন ডেটা কঠোর অর্থে স্থিতিশীল নয় কারণ চতুর্থ ক্রমের মুহূর্তগুলি স্থির হয় না। $5/3$ $3$ $t$ $3+6/(5-4)=9$

সমবায়ীরাও স্থির এবং শূন্যের সমান, যেহেতু আমরা স্বাধীন পর্যবেক্ষণ বিবেচনা করি। এটি তুচ্ছ মনে হতে পারে, তাই আমরা নিম্নলিখিত স্বতঃসংশ্লিষ্ট মডেল অনুসারে পর্যবেক্ষণের মধ্যে কিছুটা নির্ভরতা তৈরি করতে পারি।

সঙ্গে

Y_{টি} = φ Y_{টি - 1} + + ε_{টি}, | φ | < 1, টি = 1, 2, । । ।, 120

$y_t = \phi y_{t-1} + \epsilon_t \,, \quad |\phi| < 1 \,, \quad t = 1,2,...,120$

\begin{array}{rcl} ε_{টি} ~ {\begin{cases} এন (0, σ^{2} = 5 / 3) & যদি টি \in [0, 20], [41, 60], [81, 100] \\ {টি}_{5} & যদি টি \in [21, 40], [61, 80], [101, 120] । \end{cases} \end{array}

$\begin{eqnarray} \epsilon_t \sim \left\{ \begin{array}{ll} N(0, \sigma^2=5/3) \quad & \hbox{if} \; t \in [0,20], [41,60], [81,100] \\ t_5 \quad & \hbox{if} \; t \in [21,40], [61,80], [101,120] \,. \end{array} \right. \end{eqnarray}$

$|\phi| < 1$

$20$ $\phi=0.8$ $n=240$

# this function is required below
kurtosis <- function(x)
{
  n <- length(x)
  m1 <- sum(x)/n
  m2 <- sum((x - m1)^2)/n
  m3 <- sum((x - m1)^3)/n
  m4 <- sum((x - m1)^4)/n
  b1 <- (m3/m2^(3/2))^2
  (m4/m2^2)
}
# begin simulation
set.seed(123)
n <- 240
Mmeans <- Mvars <- Mcovs <- Mkurts <- matrix(nrow = 1000, ncol = n/20)
for (i in seq(nrow(Mmeans)))
{
  eps1 <- rnorm(n = n/2, sd = sqrt(5/3))
  eps2 <- rt(n = n/2, df = 5)
  eps <- c(eps1[1:20], eps2[1:20], eps1[21:40], eps2[21:40], eps1[41:60], eps2[41:60], 
    eps1[61:80], eps2[61:80], eps1[81:100], eps2[81:100], eps1[101:120], eps2[101:120])
  y <- arima.sim(n = n, model = list(order = c(1,0,0), ar = 0.8), innov = eps)

  ly <- split(y, gl(n/20, 20))
  Mmeans[i,] <- unlist(lapply(ly, mean))
  Mvars[i,] <- unlist(lapply(ly, var))
  Mcovs[i,] <- unlist(lapply(ly, function(x) 
    acf(x, lag.max = 1, type = "cov", plot = FALSE)$acf[2,,1]))
  Mkurts[i,] <- unlist(lapply(ly, kurtosis))
}

ফলাফলগুলি আমার প্রত্যাশা মতো নয়:

round(colMeans(Mmeans), 4)
#  [1]  0.0549 -0.0102 -0.0077 -0.0624 -0.0355 -0.0120  0.0191  0.0094 -0.0384
# [10]  0.0390 -0.0056 -0.0236
round(colMeans(Mvars), 4)
#  [1] 3.0430 3.0769 3.1963 3.1102 3.1551 3.2853 3.1344 3.2351 3.2053 3.1714
# [11] 3.1115 3.2148
round(colMeans(Mcovs), 4)
#  [1] 1.8417 1.8675 1.9571 1.8940 1.9175 2.0123 1.8905 1.9863 1.9653 1.9313
# [11] 1.8820 1.9491
round(colMeans(Mkurts), 4)
#  [1] 2.4603 2.5800 2.4576 2.5927 2.5048 2.6269 2.5251 2.5340 2.4762 2.5731
# [11] 2.5001 2.6279

$t$ $20$

— javlacalle
সূত্র

যদিও আপনি সঠিক, আপনি যথেষ্ট পরিমাণে চূড়ান্ত উপসংহারটি প্রদর্শন করেন নি। (আপনি মনে করছেন যে দ্বিতীয়-আদেশের স্থিতিশীল প্রক্রিয়াটির উচ্চতর মুহূর্তগুলি তার প্রথম দুটি মুহুর্তের তুলনায় স্বতন্ত্রভাবে নির্ধারণ করা যেতে পারে তবে এটি - যদিও আংশিক সত্য - এটি সুস্পষ্ট নয়)) আপনার উপসংহারটি প্রদর্শনের সবচেয়ে শক্তিশালী উপায় হবে এমন প্রক্রিয়া প্রদর্শন করতে যা দ্বিতীয়-ক্রমের স্থায়ী তবে স্থিতিশীল নয়। যদিও এটি স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের উপযুক্ত ক্রম সহ করা সহজ তবে সমস্ত ল্যাগে অদৃশ্য সম্পর্কগুলির একটি উদাহরণ সরবরাহ করা আগ্রহী।

— হোবার

@ আমি আমার উত্তর সম্পাদনা করেছি আমি ভেবেছিলাম আমি আপনার বক্তব্য বুঝতে পেরেছি কিন্তু আপনার ধারণা অনুসরণ করার আমার প্রচেষ্টা সম্পূর্ণ সন্তোষজনক ছিল না।

— javlacalle

U_{i}, i = 0, 1

$U_i,i=0,1$

p \neq 1 / 2

$p\ne 1/2$

1 - p

$1-p$

(X_{i})

$(X_i)$

i \in Z

$i\in\mathbb{Z}$

Y_{i} = U_{[i]} - p_{[i]} + X_{i}

$Y_i=U_{[i]}-p_{[i]}+X_i$

[i] = 0

$[i]=0$

i

$i$

[i] = 1

$[i]=1$ Rn <- 300; p <- 1/4; x <- rnorm(n, (rbinom(2,1,c(p,1-p))-c(p,1-p)), 1/8)

আমি কঠোর স্টেশনার্টি এবং কোভেরিয়েন্স-স্টেশনারিটির অর্ডার দেব না (যদিও "দুর্বল" শব্দটি ব্যবহারের পরেও দুর্ভাগ্যক্রমে এই আদেশের দিকে নির্দেশ করে)। কারণটি হ'ল কঠোর স্টেশনারিটি সমবায়তা-স্টেশনারিটি বোঝায় না: প্রক্রিয়াটি কঠোরভাবে স্থিতিশীল হতে পারে তবে বিতরণের মুহুর্তগুলির অস্তিত্ব বা অসীম নাও হতে পারে, সেক্ষেত্রে এই কঠোরভাবে স্থিতিশীল প্রক্রিয়াটি সহজাত-স্টেশনারি নয়।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লো

আমরা মুহুর্তের অস্তিত্বকে সরাসরি অনুকরণ করতে পারি না । তুচ্ছ উদাহরণটি গ্রহণ করার জন্য একটি কচিকে কঠোরভাবে স্থিতিশীল প্রক্রিয়া তৈরি করুন। গ্রাফটি পুরোপুরি "স্থিতিশীল" দেখবে, কারণ প্রক্রিয়াটির আচরণটি পুনরাবৃত্তিযোগ্য, এমন একটি আচরণ যা মুহুর্তগুলির উপর নির্ভর করে যখন তারা বিদ্যমান থাকে । যদি তাদের অস্তিত্ব না থাকে, তবে আচরণটি বর্ণনা করা হয় এবং বিতরণের অন্যান্য বৈশিষ্ট্যগুলির উপর নির্ভর করে।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

যেহেতু আমি মন্তব্য করতে পারছি না, এবং @ জাভালাকালীর জবাব সম্পর্কে আমার একটি সার্থক সতর্কতা রয়েছে, তাই আমি এটিকে পৃথক উত্তর অন্তর্ভুক্ত করতে বাধ্য হচ্ছি:

@ জাভালাক্যাল লিখেছেন যে

কঠোর স্টেশনারিটির সাথে দ্বিতীয় ক্রম স্থিরত্ব জড়িত তবে কনভার্সটি সত্য নয়।

তবে দৃ strong় স্টেশনারিটি দুর্বল স্টেশনারিটি বোঝায় না। কারণটি হ'ল দৃ strong় স্টেশনারিটির অর্থ এই নয় যে প্রক্রিয়াটি অগত্যা একটি সীমাবদ্ধ মুহুর্তে থাকে। উদাহরণস্বরূপ, স্ট্যান্ডার্ড কচী বিতরণ সহ একটি আইডির প্রক্রিয়া কঠোরভাবে স্থিতিশীল তবে এর কোনও সীমাবদ্ধ দ্বিতীয় মুহূর্ত নেই। প্রকৃতপক্ষে, দৃ a়ভাবে স্থিতিশীল প্রক্রিয়াটির দুর্বল স্থিতিশীলতার জন্য সীমাবদ্ধ দ্বিতীয় মুহূর্ত থাকা একটি প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত।

তথ্যসূত্র: মায়ার্স, ডিই, 1989. হতে হবে বা হবে না। । । নিশ্চল? ওটাই হচ্ছে প্রশ্ন. ম্যাথ। Geol। 21, 347–362।

— ShayPal5
সূত্র