দুটি * সহসম্পর্কিত * সাধারণ ভেরিয়েবলের উদাহরণ যার যোগফল স্বাভাবিক নয়

Question

আমি সংযুক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির জোড়াগুলির কয়েকটি চমৎকার উদাহরণ সম্পর্কে অবগত যা সামান্য স্বাভাবিক তবে যৌথভাবে স্বাভাবিক নয়। দেখুন এই উত্তরটি দ্বারা দিলীপ Sarwate , এবং এই এক দ্বারা অঙ্কবাচক ।

আমি দুটি সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের উদাহরণ সম্পর্কেও সচেতন, যার যোগফল স্বাভাবিক নয়। দেখুন এই উত্তরটি দ্বারা ম্যাক্রো । তবে এই উদাহরণে, দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবল অপ্রচলিত।

দুটি সাধারণ এলোমেলো ভেরিয়েবলের উদাহরণ রয়েছে যার শূন্য নন কোভারিয়েন্স রয়েছে এবং যার যোগফল স্বাভাবিক নয়? অথবা এটি প্রমাণ করা সম্ভব যে কোনও দুটি স্বতঃস্ফূর্ত সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল, যদিও তারা বিভাজন স্বাভাবিক নয়, অবশ্যই স্বাভাবিক হতে হবে?

[প্রসঙ্গ: আমার একটি হোমওয়ার্ক প্রশ্ন রয়েছে যা বিতরণের জন্য জিজ্ঞাসা করে যেখানে এবং পারস্পরিক সম্পর্ক । সহ স্ট্যান্ডার্ড নরমাল । আমি মনে করি যে প্রশ্নটি নির্দিষ্ট করে বোঝাতে চেয়েছিল যে তারা দ্বিগুণ। কিন্তু আমি অবাক হচ্ছি কিনা যেকোন কিছুর জন্য এই অতিরিক্ত ধৃষ্টতা ছাড়া বলা যেতে পারে নন-জিরো।]এক্স ওয়াই ρ $aX+bY$$X$$Y$$\rho$$\rho$

ধন্যবাদ!

Comments

কার্ডিনালের উত্তর, যা আপনি উদ্ধৃত করেছেন ইতিমধ্যে একটি সমাধান রয়েছে: উদাহরণগুলির প্যানেলের উপরের ডানদিকে দেখুন see

— whuber

আপনি কিভাবে ব্যাখ্যা করতে পারেন? তিনি একটি যৌথ বিতরণ নির্দিষ্ট করে , যা দুটি সাধারণ প্রান্তিকের ফলন দেয়। এটি আমার কাছে পরিষ্কার নয় যে দুটি সাধারণ প্রান্তিকের যোগফল স্বাভাবিক নয়, যা আমি পরে করছি। (নীচে গ্লেন_বি এর উত্তর সম্পর্কে আমার মন্তব্য দেখুন))

— এমটিউব

একা ছবি থেকে এটাই স্পষ্ট যে শূন্যের যোগফলের ঘনত্ব শূন্য (কারণ লাইন একক বিন্দুতে প্লটকে ছেদ করে, যার পরিমাপ শূন্য থাকে), যখন যোগফলটি নিজেই ঠিক তেমন সুস্পষ্টভাবে প্রতিসাম্যপূর্ণ হয় শূন্য, দেখায় যে শূন্যটি যোগফলের বিতরণের কেন্দ্র। এ জাতীয় বিতরণ সাধারণ হতে পারে না কারণ সাধারণ বিতরণগুলির কেন্দ্রগুলিতে ননজারো ঘনত্ব থাকে। $x+y=0$

— whuber

Answer 1

প্রায় কোনও দ্বিখণ্ডিত কপুলা কিছু ননজারো পারস্পরিক সম্পর্কের সাথে একসাথে সাধারণ র্যান্ডম তারতম্যের উত্পাদন করে (কিছু শূন্য দেবে তবে তারা বিশেষ ক্ষেত্রে)। তাদের মধ্যে বেশিরভাগ (প্রায় সবগুলি) একটি অ-সাধারণ যোগফল উত্পাদন করবে।

কিছু কপুলার পরিবারে কোনও পছন্দসই (জনসংখ্যা) স্পিয়ারম্যান পারস্পরিক সম্পর্ক তৈরি করা যেতে পারে; অসুবিধাটি কেবল সাধারণ মার্জিনের জন্য পিয়ারসন পারস্পরিক সম্পর্ক সন্ধানে; এটি নীতিগতভাবে কার্যকর, তবে বীজগণিত সাধারণভাবে বেশ জটিল হতে পারে। [তবে, আপনার যদি জনসংখ্যার স্পিয়ারম্যান পারস্পরিক সম্পর্ক থাকে তবে পিয়ারসন পারস্পরিক সম্পর্ক - কমপক্ষে গাউসের মতো হালকা লেজযুক্ত মার্জিনের জন্য - এটি অনেক ক্ষেত্রে খুব বেশি দূরে নাও থাকতে পারে]]

কার্ডিনালের প্লটের প্রথম দুটি উদাহরণ বাদে সমস্তকে অ-স্বাভাবিক অঙ্ক দেওয়া উচিত।

---

কিছু উদাহরণ - প্রথম দুটি হ'ল একই কপুলার পরিবার থেকে কার্ডিনালের উদাহরণ বিভারিয়েট বিতরণের পঞ্চম হিসাবে, তৃতীয়টি হ'ল অবক্ষয়।

উদাহরণ 1:

ক্লেটন কোপুলা ( )$\theta=-0.7$

এখানে যোগফলটি খুব স্পষ্টভাবে পিক এবং মোটামুটি দৃ strongly়ভাবে ডান স্কিউ w

$\ $

উদাহরণ 2:

ক্লেটন কোপুলা ( )$\theta=2$

এখানে যোগফলটি হালকাভাবে বাম স্কু হয়। এটি সবার কাছে একেবারেই সুস্পষ্ট না হলে, আমি এখানে বিতরণটি উল্টিয়েছি (অর্থাত আমাদের ফ্যাকাশে বেগুনিতে একটি হিস্টোগ্রাম রয়েছে ) এবং এটি সুপারিপোজড করেছি যাতে আমরা অসম্পূর্ণতা আরও পরিষ্কারভাবে দেখতে পারি:$-(x+y)$

$\hspace{1cm}$

$\ $

আমরা সহজেই যোগফলের স্কিউনেসের দিকটি বিনিময় করতে পারি যাতে নেতিবাচক সম্পর্কটি বাম স্কিউ এবং ডান স্কিউয়ের সাথে ধনাত্মক পারস্পরিক সম্পর্কের সাথে চলে যায় (উদাহরণস্বরূপ, এবং প্রতিটির মধ্যে নিয়ে উপরের কেসগুলি - নতুন ভেরিয়েবলের পারস্পরিক সম্পর্ক পূর্বের মতই হবে তবে যোগফলের বিভাজনটি 0-এর আশপাশে উল্টে থাকবে, স্কিউনেসকে বিপরীত করে তুলবে)।$X^*=-X$$Y^*=-Y$

অন্যদিকে, আমরা যদি কেবল তাদের একটিটিকে অবহেলা করি তবে আমরা পারস্পরিক সম্পর্কের চিহ্ন (তবে এটির দিক নয়) দিয়ে স্কিউনেসের শক্তির মধ্যে সংযোগ পরিবর্তন করব change

বাইভারিয়েট বিতরণ এবং সাধারণ মার্জিনের সাথে কী ঘটতে পারে তার অনুভূতি পেতে কয়েকটি পৃথক কপুলা নিয়ে ঘুরে বেড়ানোর পক্ষে এটি মূল্যবান।

টি-কোপুলার সাথে গাউসিয়ান মার্জিনগুলি কপুলাসের বিশদ সম্পর্কে খুব বেশি চিন্তা না করে পরীক্ষা-নিরীক্ষা করা যেতে পারে (পারস্পরিকভাবে বিভাজনীয় টি থেকে উত্পন্ন, যা সহজ, তারপরে সম্ভাব্য ইন্টিগ্রাল ট্রান্সফর্মের মাধ্যমে ইউনিফর্ম মার্জিনে রূপান্তরিত হবে, তারপরে ইউনিফর্ম মার্জিনগুলি গাউসিয়ানের মাধ্যমে রূপান্তর করবে) বিপরীত সাধারণ সিডিএফ)। এটিতে একটি নন-নরমাল-তবে-সিমমেট্রিক যোগফল থাকবে। সুতরাং আপনার কাছে কপুলা-প্যাকেজগুলি সুন্দর না থাকলেও আপনি কিছু কিছু নিখরচায় করতে পারেন (উদাহরণস্বরূপ, যদি আমি এক্সেলের মধ্যে চূড়ান্তভাবে একটি উদাহরণ দেখানোর চেষ্টা করছিলাম, আমি সম্ভবত টি-কোপুলা দিয়ে শুরু করব)।

-

উদাহরণ 3 : (এটি আমার শুরুতে শুরু করা উচিত এটির মতো)

স্ট্যান্ডার্ড ইউনিফর্ম উপর ভিত্তি করে একটি কপুলা বিবেচনা করুন এবং এবং জন্য জন্য প্রদান করুন । ফলাফলটি এবং জন্য সমান প্রান্তিক রয়েছে , তবে দ্বিপরিচালিত বিতরণ অধঃপতন হয়। উভয় মার্জিনকে সাধারণ to এ রূপান্তর করা , আমরা জন্য এমন একটি বিতরণ পেয়েছি যা দেখতে এরকম দেখাচ্ছে:$U$$V=U$$0\leq U<\frac{1}{2}$$V=\frac{3}{2}-U$$\frac{1}{2}\leq U\leq 1$$U$$V$$X=\Phi^{-1}(U), Y=\Phi^{-1}(V)\,$$X+Y$

এই ক্ষেত্রে তাদের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক 0.66 এর কাছাকাছি।

সুতরাং আবারও এবং সাথে একটি স্বাভাবিক সম্পর্ক রয়েছে (এই ক্ষেত্রে, স্বতন্ত্রভাবে) অ-সাধারণ যোগফল - কারণ তারা বিভাজনযুক্ত সাধারণ নয়।$X$$Y$

[ONE কেন্দ্রে আলোকসম্পাতের দ্বারা সম্পর্কযুক্তরূপে একটি সীমার উৎপন্ন পারে (ইন , জন্য মধ্যে ), প্রাপ্ত করতে । এগুলির স্পাইকটি 0 এ থাকবে এবং তারপরে একটি ফাঁক দিয়ে স্বাভাবিক লেজ থাকবে]$U$সি[0,$(\frac{1}{2}-c,\frac{1}{2}+c)$$c$$[0,\frac{1}{2}]$$V$

---

কিছু কোড:

library("copula")
par(mfrow=c(2,2))

# Example 1
U <- rCopula(100000, claytonCopula(-.7))
x <- qnorm(U[,1])
y <- qnorm(U[,2])
cor(x,y)
hist(x,n=100)
hist(y,n=100)
xysum <- rowSums(qnorm(U))
hist(xysum,n=100,main="Histogram of x+y")
plot(x,y,cex=.6,
       col=rgb(0,100,0,70,maxColorValue=255),
       main="Bivariate distribution")
text(-3,-1.2,"cor = -0.68")
text(-2.5,-2.8,expression(paste("Clayton: ",theta," = -0.7")))

দ্বিতীয় উদাহরণ:

#--
# Example 2:
U <- rCopula(100000, claytonCopula(2))
x <- qnorm(U[,1])
y <- qnorm(U[,2])
cor(x,y)
hist(x,n=100)
hist(y,n=100)
xysum <- rowSums(qnorm(U))
hist(xysum,n=100,main="Histogram of x+y")
plot(x,y,cex=.6,
    col=rgb(0,100,0,70,maxColorValue=255),
    main="Bivariate distribution")
text(3,-2.5,"cor = 0.68")
text(2.5,-3.6,expression(paste("Clayton: ",theta," = 2")))
#
par(mfrow=c(1,1))

তৃতীয় উদাহরণের জন্য কোড:

#--
# Example 3:
u <- runif(10000)
v <- ifelse(u<.5,u,1.5-u)
x <- qnorm(u)
y <- qnorm(v)
hist(x+y,n=100)

Comments

ধন্যবাদ - তবে আমি যদি ভুল না হয়ে থাকি তবে স্বাভাবিক। (যখন , আমরা পেতে , এবং যখন , আমরা পেতে । সুতরাং সম্ভাব্যতা 1 আমরা দুটি স্বাধীন মান লম্ব এর সমষ্টি, যা স্বাভাবিক পেতে।) আমি একটি মামলা যেখানে পরে আছি সমষ্টি দুটি পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত স্বাভাবিকের ক্ষেত্রে যৌথ বন্টন স্বাভাবিক নয় এমন একটি মামলার চেয়ে স্বাভাবিক নয়। আই = 0 ইউ + ভি আই = 1 2 $X+Y=2IZ+(1-I)U+(1-I)V$$I=0$$U+V$$I=1$$2Z$

— এমইউ

বেশ ডান - আমার বিভাজনীয়-সাধারণ উদাহরণ তৈরির বিভিন্ন প্রয়াসের মধ্যে যেখানে আমি পারস্পরিক সম্পর্ক বেছে নিতে পারি, লাইন বরাবর কোথাও আমি যোগফলটি পরীক্ষা করাই স্বাভাবিক ছিল না। আমি উদাহরণটিকে এমন কিছু দিয়ে প্রতিস্থাপন করব যেখানে আমি একটি অ-সাধারণ যোগফল প্রদর্শন করি তবে এর মধ্যে সরাসরি select নির্বাচন করার ক্ষমতা থাকবে না । ধরুন, আমি এটি পৌঁছাতে আরও এক ঘন্টা সময় নিতে পারে। $\rho$

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

ক্লেটন কপুলাস ব্যবহার করে আমি দুটি নির্দিষ্ট উদাহরণ দিয়ে উদাহরণটি প্রতিস্থাপন করেছি

— Glen_b -Rininstate Monica

চমত্কার - ধন্যবাদ! আর কোডের জন্য বিশেষ ধন্যবাদ।

— এমডউ

আমি একটি তৃতীয় উদাহরণ যুক্ত করেছি এবং এর শেষে আমি মূলত যা চেষ্টা করছিলাম তার মতো কিছু পাওয়ার একটি উপায়ের রূপরেখা তৈরি করেছি - -1 এবং 1 (শেষের দিকে বিশেষ ক্ষেত্রেগুলি বাদ দিয়ে) এর মধ্যে একটি সুরযুক্ত সম্পর্ক স্থাপনের উপায়, তবে যার জন্য যোগফলটি স্বাভাবিক নয়।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

Answer 2

আমি একটি উদাহরণ নিয়ে এসেছি। এক্স স্ট্যান্ডার্ড নরমাল ভেরিয়েবল এবং ওয়াই =-এক্স। তারপরে এক্স + ওয়াই = 0 যা ধ্রুবক। কেউ কি এটির পাল্টা নমুনা নিশ্চিত করতে পারে?

আমরা সত্যটি জানি যে যদি এক্স, ওয়াই যৌথভাবে স্বাভাবিক হয় তবে তাদের যোগফলটিও স্বাভাবিক। তবে তাদের পারস্পরিক সম্পর্ক -১ হয় কি?

আমি এই সম্পর্কে একটু বিভ্রান্ত। ধন্যবাদ.

Comments

এক্স = ওয়াই এবং তারপরে এক্সওয়াই = 0 হলে আপনি একই জিনিসটি পেতে পারেন। এগুলি হ'ল সাধারণ বিতরণ যা সাধারণত বিভাজনযুক্ত নয়। সুতরাং যে সম্পত্তির রৈখিক সংমিশ্রণগুলি স্বাভাবিক হয় যা দ্বিবিবাহিত স্বাভাবিকের জন্য প্রযোজ্য তা প্রয়োগ করার প্রয়োজন হয় না।

— মাইকেল আর চেরনিক

@ জিরুই আইএমও এটি সরাসরি (te ) একটি প্রত্যক্ষ পাল্টানো নমুনা না হয়ে বরং এটি আপনার সংজ্ঞাগুলির উপর নির্ভর করে a $\sigma\to 0$

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা