নির্ভরশীল ভেরিয়েবলগুলির যোগফলের অর্থ কীভাবে পাওয়া যায়?

Question

আমি জানি যে স্বাধীন ভেরিয়েবলের যোগফলের গড়টি প্রতিটি স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলের অর্থের যোগফল। এটি নির্ভরশীল ভেরিয়েবলগুলিতেও প্রযোজ্য?

Comments

@ ফিটউইট, মাত্র 18 মাস আগে থেকে একটি থ্রেড বাম্প করার জন্য "ধন্যবাদ" অপসারণ করা সত্যিই যথেষ্ট গুরুত্বপূর্ণ নয়। এফডাব্লুআইডাব্লু, আমি এই সম্পাদনাটি প্রত্যাখ্যান করার পক্ষে ভোট দিয়েছি (তবে অন্য 2 জন অনুমোদিত হয়েছে, তাই আপনি অন্যথায় আমার মন্তব্যটি দেখেননি)।

— গুং - মনিকা পুনরায়

@ গুং - সমস্ত ধরণের স্টাফ "সক্রিয়" প্রশ্ন দর্শন নিয়ে গোলমাল করতে পারে। আপনার পর্যবেক্ষণ প্রায়শই তৈরি করা হয়েছে, এবং স্ট্যাক এক্সচেঞ্জের নীতিমালাটি এএফআইএকি হ'ল, যে অপূর্ণতা সত্ত্বেও, বৈধ ছোটখাট সম্পাদনাগুলি ভাল জিনিস ।

— ফুটওয়েট

@ ফিটউইট, আমি নিশ্চিত নই যে কোনও মেটা.ফোটোগ্রাফি পোস্টটি কতটা প্রাসঙ্গিক। প্রতিটি এসই সাইটের নিজস্ব মেটা থাকে এবং সম্প্রদায়ের দ্বারা তাদের নিজস্ব নীতিমালা থাকে। আপনি প্রাসঙ্গিক মেটা.সিভি থ্রেডগুলি দেখতে চাইতে পারেন, উদাহরণস্বরূপ, এটি: পোস্টগুলিতে "প্রস্তাবিত সম্পাদনাগুলি" পরিচালনা করে । আপনি খেয়াল করতে পারেন জবাবের জবাব আটকে দেওয়া জেফ অ্যাটউডের উক্তি, "ছোট্ট সম্পাদনা [গুলি] যেমন ... কোনও পোস্ট থেকে কেবল সালাম মুছে ফেলুন ... চরম কুসংস্কারের সাথে তাদের প্রত্যাখ্যান করুন", এবং জোরান এই বক্তব্যটি তুলে ধরেছে, "কখন আমার দ্বারপ্রান্তে? একটি সম্পাদনা অত্যন্ত গৌণ, বিপরীতভাবে প্রশ্নের বয়সের সাথে সম্পর্কিত "।

— গুং - মনিকা পুনরায়

@ ফোটোগ্রাফি পোস্টটি গুং আমি বিষয়টিতে একটি গুরুত্বপূর্ণ এবং আরও সাম্প্রতিক মেটা স্ট্যাক এক্সচেঞ্জের প্রশ্নোত্তরের লিঙ্কগুলি উল্লেখ করেছি । তবে যদি হোবারের 4 বছরের পুরানো উত্তর ক্রস ভ্যালিটেটেডের পক্ষে এখনও প্রচলিত থাকে তবে আমি সম্মতি জানাতে চাই।

— ফুটওয়েট

Answer 1

প্রত্যাশা (গড় গ্রহণ) একটি লিনিয়ার অপারেটর ।

এর অর্থ হ'ল , অন্যান্য বিষয়ের মধ্যে $\mathbb{E}(X + Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)$ যেকোনও দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবল $X$ এবং $Y$ জন্য (যার জন্য প্রত্যাশা বিদ্যমান) নির্বিশেষে তারা স্বাধীন কিনা।

আমরা জেনারালাইজ করতে পারি (উদাহরণস্বরূপ অন্তর্ভুক্তি ) যাতে $\mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}(X_i)$ যতক্ষণ প্রতিটি প্রত্যাশা $\mathbb{E}(X_i)$ বিদ্যমান থাকে।

হ্যাঁ, ভ্যারিয়েবল নির্ভরশীল এমনকি যদি যোগফলের গড়টি গড়ের যোগফলের সমান হয়। তবে নোট করুন যে এটি বৈকল্পিকের জন্য প্রযোজ্য নয়! সুতরাং যখন পৃথক ভেরিয়েবলগুলির জন্য $\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y)$ , অথবা এমনকটি ভেরিয়েবলগুলি যা নির্ভরশীল তবে অসম্পর্কিত , তবে সাধারণ সূত্রটি $\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y) + 2\mathrm{Cov}(X, Y)$ যেখানে$\mathrm{Cov}$ হলভেরিয়েবলেরসমবায়।

Answer 2

টি এল; DR:
এটি বিদ্যমান বলে ধরে নিলে, গড়টি একটি প্রত্যাশিত মান এবং প্রত্যাশিত মান একটি অবিচ্ছেদ্য, এবং সংহতগুলির মধ্যে অঙ্কের ক্ষেত্রে লিনিয়ারিটি সম্পত্তি থাকে।

$Y_n = \sum_{i=1}^n X_i$$E(Y_n)$$\mathbf X$$n$$f_{\mathbf X}(\mathbf x)= f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)$$D = S_{X_1} \times ...\times S_{X_n}$

$$E[Y_n] = \int_D Y_nf_{\mathbf X}(\mathbf x)d\mathbf x$$

$n$

$$E[Y_n] = \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}\Big[\sum_{i=1}^n X_i\Big]f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$$

এবং ইন্টিগ্রালগুলির রৈখিকতা ব্যবহার করে আমরা পচে যেতে পারি

$$= \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n \; + ...\\ ...+\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_nf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$$

$n$

$$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n = \\\int_{S_{X_1}}x_1\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_2}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_2...dx_ndx_1$$

এবং সাধারণভাবে

$$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_j}}...\int_{S_{X_1}}x_jf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_j...dx_n =$$ $$=\int_{S_{X_j}}x_j\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_{j-1}}}\int_{S_{X_{j+1}}}...\int_{S_{X_1}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_{j-1}dx_{j+1}......dx_ndx_j$$

$n$$n$$\int_{S_{X_j}}x_jf_{X_j}(x_j)dx_j$

সব একসাথে এনে আমরা পৌঁছে যাই

$$E[Y_n ] = E[\sum_{i=1}^n X_i] = \int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1}(x_1)dx_1 +...+\int_{S_{X_n}}x_nf_{X_n}(x_n)dx_n$$

তবে এখন প্রতিটি সাধারণ অবিচ্ছেদ্য পৃথকভাবে প্রতিটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশিত মান

$$E[\sum_{i=1}^n X_i] = E(X_1) + ...+E(X_n)$$ $$= \sum_{i=1}^nE(X_i)$$

মনে রাখবেন যে আমরা কখনই জড়িত এলোমেলো পরিবর্তনশীলগুলির স্বাধীনতা বা অ-স্বাধীনতা প্রার্থনা করি নি, তবে আমরা তাদের যৌথ বন্টন দিয়ে একাই কাজ করেছি।

Comments

@ssdecontrol এই এক ভোট দিন আমি প্রশংসা করি না হয়, প্রকৃতপক্ষে ।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

পুনরাবৃত্ত ইন্টিগ্রাল এবং আবার ফিরে বিস্তৃত অপ্রয়োজনীয়। এটি একটি সাধারণ তর্ককে জটিল করে তোলে। আপনি "টিএস; ডিআর" বিভাগটি তার শেষ বাক্যটির সাথে প্রতিস্থাপন করতে পারেন এবং একটি দুর্দান্ত উত্তর পেতে পারেন।

— whuber

@ শুক্রবার দেড় বছর পরে, এটি এখনও আমার হাত থেকে বাঁচে (মানে "প্রত্যাশা অপারেটরের লিনিয়ারিটি" ব্যবহার না করেই, যা ইতিমধ্যে অন্য উত্তরটি ব্যবহার করেছে)। কোনও সাধারণ ইঙ্গিত যাতে আমি এই সহজ যুক্তির দিকে উত্তরটি আবার কাজ করতে পারি?

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

আমি মনে করি যুক্তিটি অতিরিক্তহীন। পুরো জিনিসটির মূল কথাটি হ'ল শেষ বাক্যে আপনার পর্যবেক্ষণ।

— whuber