পর্যাপ্ততা বা অপর্যাপ্ততা

Question

একটি র্যান্ডম নমুনা বিবেচনা করুন যেখানে IID হয় র্যান্ডম ভেরিয়েবল যেখানে । চেক জন্য যথেষ্ট পরিসংখ্যাত হয় ।$\{X_1,X_2,X_3\}$$X_i$$Bernoulli(p)$$p\in(0,1)$$T(X)=X_1+2X_2+X_3$$p$

প্রথমত, আমরা কীভাবে খুঁজে পেতে পারি ? অথবা এটি ভেঙে ফেলা উচিত এবং তারপরে এটি অনুসরণ করবে ? আমি মনে করি না কারণ এখানে উল্লেখ করুন যে সমস্ত ভেরিয়েবলগুলি এখানে স্বাধীন নয়।$(X_1+2X_2+X_3)$$X_1+X_2+X_2+X_3$$Bin(4,p)$

পর্যায়ক্রমে, আমি যদি কেবলমাত্র এর যৌথ বিবেচনা করে ফ্যাক্টরাইজেশন শর্তটি নিযুক্ত করি তবে যেখানে ।$(X_1,X_2,X_3)$$f(X_1,X_2,X_3)=p^{x_1+x_2+x_3}(1-p)^{3-(x_1+x_2+x_3)}=[p^{t(x)}(1-p)^{3-t(x)}]p^{-x_2}(1-p)^{x_2}$$t(x)=x_1+2x_2+x_3$

এটি দেখায় যে যথেষ্ট নয়।$T$

তবে আমি যদি সংজ্ঞাটি অনুসরণ করতে চাই এবং এই অনুপাতটি স্বতন্ত্র কিনা তা পরীক্ষা করতে apply প্রয়োগ করতে চাইলে কী হয়? তারপরে আমার এর বিতরণ জানতে হবে । তারপরে, কী?$\dfrac{f(X|p)}{g(T(X)|p)}$$p$$g$$T(X)=X_1+2X_2+X_3$

Comments

ইঙ্গিত: আপনার সম্পূর্ণ বিতরণ জানতে হবে না । উদাহরণস্বরূপ, কেস : শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা বিতরণ কী? $T(X)$$T(X)=2$$(X|T(X)=2)$

— whuber

তাহলে তারপর । সুতরাং যা উপর নির্ভরশীল , সঠিক? $T(X)=2$$(X_1,X_2,X_3)\in\{(1,0,1),(0,1,0)\}$$P(X|T(X)=2)=p^2(1-p)+p(1-p)^2=p(1-p)$$p$

— ল্যান্ডন কার্টার

এটি সঠিক ধারণা - তবে আপনি কেন দুটি সম্ভাবনা যুক্ত করছেন তা আমি দেখতে পাচ্ছি না। নন একটি ভেক্টর ? (যদি আপনি চান, আপনি সম্পূর্ণ বিতরণ খুঁজে পেতে একই ধরণের গণনা ব্যবহার করতে পারেন (এটি কেবল মান অর্জন করতে পারে )) তবে এটি আর দরকার নেই, তাই না? ))$X$$T(X)$$0,1,2,3,4$

— whuber

হ্যাঁ ঠিক. ধন্যবাদ! সুতরাং একবার আমরা দেখাই যে এই অনুপাতটি কমপক্ষে একবার নমুনার জন্য স্বতন্ত্র নয় , তারপরে আমাদের হয়ে গেছে! ধন্যবাদ. এবং শুভ নববর্ষ :)$p$

— ল্যাণ্ডন কার্টারের

হ্যাঁ একটি ভেক্টর, তবে আরও গুরুত্বপূর্ণভাবে এবং সম্ভাবনা । আমি ভুল হলে আমাকে সংশোধন করুন। $X$$X=(X_1,X_2,X_3)$$P(X|T(X)=2)=P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))$

— ল্যান্ডন কার্টার

Answer 1

আমার "হোবার" সাথে আলোচনা হয়েছিল এবং যে কোনও নমুনা বিন্দুটি দেখার জন্য আমি একটি (সঠিক?) ইঙ্গিত পেয়েছি: যে নমুনা বিন্দু এবং এই অনুপাত প্যারামিটারের স্বাধীন হলে এই ক্ষেত্রে, চেক ।$\dfrac{P(X=x)}{P(T(X)=T(x))}$$x$$p$

সুতরাং তারপর । সুতরাং আমরা মূল্যায়ন করি , এখন, সম্পত্তি হিসাবে,এছাড়াও$x=(1,0,1)$$T(1,0,1)=2$$\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}$

$$T(X)=2 \text{ iff } X\in\{(1,0,1),(0,1,0)\}.$$ $$P(X=(1,0,1))=p^2(1-p)\text{ and }P(X=(0,1,0))=p(1-p)^2.$$ $$P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))=p(1-p).$$

সুতরাং যা স্পষ্টভাবে উপর নির্ভরশীল , এবং তাই পর্যাপ্ত পরিসংখ্যান নয়।

$$\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}=\dfrac{p^2(1-p)}{p(1-p)}=p$$ $p$$T$