তাত্ক্ষণিক বিতরণের এমএল অনুমান (সেন্সরযুক্ত ডেটা সহ)

বেঁচে থাকার বিশ্লেষণে, আপনি কোনও আরভি বেঁচে থাকার সময়টি তাত্পর্যপূর্ণভাবে বিতরণ করে । এখন বিবেচনা করে আমার কাছে এর এর "ফলাফল" রয়েছে । এই ফলাফলগুলির কিছু অংশই আসলে "সম্পূর্ণ উপলব্ধি", অর্থাৎ অবশিষ্ট পর্যবেক্ষণগুলি এখনও "জীবিত"। $X_i$ $x_1,\dots,x_n$ $X_i$

যদি আমি বিতরণের হার প্যারামিটার- জন্য এমএল অনুমান $\lambda$ করতে চাই, তবে আমি কীভাবে অনুভূত পর্যবেক্ষণগুলিকে সুসংগত / যথাযথ উপায়ে ব্যবহার করতে পারি? আমি বিশ্বাস করি তাদের এখনও অনুমানের জন্য দরকারী তথ্য রয়েছে।

এই বিষয়টিতে কেউ আমাকে সাহিত্যের জন্য গাইড করতে পারেন? আমি নিশ্চিত এটি বিদ্যমান। তবে বিষয়টির জন্য ভাল কীওয়ার্ড / অনুসন্ধানের শব্দগুলি খুঁজে পেতে আমার সমস্যা হচ্ছে।

— গুড গাই মাইক
সূত্র

সুতরাং আপনি বলছেন যে এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির মধ্যে আপনার একটি পরিমাপ রয়েছে, বলুন পর্যবেক্ষণগুলি "চূড়ান্ত" জীবন-দৈর্ঘ্যের প্রতিনিধিত্ব করে (কারণ, সম্পর্কিত এলোমেলো পরিবর্তনগুলি পরিমাপের সময় "মৃত" ছিল, যখন বাকী পর্যবেক্ষণগুলি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বেঁচে থাকার দৈর্ঘ্য যা পরিমাপের সময়ে "এখনও বেঁচে ছিল"? (

n

$n$

n_{1} < n

$n_1 < n$

n_{2} < n

$n_2 <n$

n_{1} + n_{2} = n

$n_1+n_2 = n$

— n_1

এটি একটি কাটা মডেল, পর্যবেক্ষণ থামার সময় "জীবিত" র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি কেটে ফেলা হয়।

— শি'আন

কাটা তথ্য এবং সম্পর্কিত উত্সগুলির জন্য টোবিট মডেলগুলি দেখুন (উদাহরণস্বরূপ এখানে )।

— রিচার্ড হার্ডি

আপনি লাইফটাইমের মতো সেন্সর করা ডেটা বলে মনে করছেন, যেখানে কিছু লোক মারা গিয়েছিল, তবে কিছু এখনও বেঁচে আছে, আপনি কেবল এটি জানেন যে, কিছু পরিচিত ধ্রুবক ।

x_{i} > t_{i}

$x_i > t_i$

t_{i}

$t_i$

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন

দুটি পরিস্থিতিতে মাঝে মাঝে সূক্ষ্ম পার্থক্য সম্পর্কে সাবধান থাকুন। কাটা কাটাটি সেন্সর করার জন্য বিভ্রান্ত হওয়া অস্বাভাবিক নয় এবং তদ্বিপরীত।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

আপনি সম্ভাবনা সরাসরি ব্যবহার করে প্যারামিটারগুলি অনুমান করতে পারেন। পর্যালোচনাগুলিকে রেট এবং অজানা সহ তাত্পর্যপূর্ণ বিতরণ সহ হতে দিন । ঘনত্বের ফাংশনটি হ'ল , संचयी বিতরণ ফাংশন এবং লেজ ফাংশন । ধরুন প্রথম পর্যবেক্ষণগুলি সম্পূর্ণরূপে পর্যবেক্ষণ করা হয়েছে, তবে আমরা কেবলমাত্র জানি কিছু পরিচিত ধনাত্মক ধ্রুবক $x_1, \dots, x_n$ $\lambda>0$ $f(x;\lambda)= \lambda e^{-\lambda x}$ $F(x;\lambda)=1-e^{-\lambda x}$ $G(x;\lambda)=1-F(x;\lambda) = e^{-\lambda x}$ $r$ $x_{r+1}, \dots, x_n$ $x_j > t_j$ $t_j$ । সর্বদা হিসাবে, সেন্সর করা পর্যবেক্ষণগুলির জন্য সম্ভাবনাটি "পর্যবেক্ষণ করা তথ্যের সম্ভাবনা", যা , সুতরাং সম্পূর্ণ সম্ভাবনা ফাংশনটি হ'ল d সিডট ল্যাম্বদা লগলিস্টিভ্যালিটি ফাংশনটি তখন ল্যাম্বদা যা স্বাভাবিক, সম্পূর্ণরূপে পর্যবেক্ষিত ক্ষেত্রে জন্য loglikelihood হিসাবে একই ফর্ম আছে প্রথম মেয়াদে থেকে ছাড়া মধ্যে স্থান । লেখা পর্যবেক্ষণ এবং সেন্সর সময়ের গড় জন্য, সর্বোচ্চ সম্ভাবনা মূল্নির্ধারক হয়ে $P(X_j > t_j) = G(t_j;\lambda)$

L (λ) = \prod_{i = 1}^{r} f (x_{i}; λ) \cdot \prod_{i = r + 1}^{n} G (t_{j}; λ)

$L(\lambda) = \prod_{i=1}^r f(x_i;\lambda) \cdot \prod_{i=r+1}^n G(t_j;\lambda)$

l (λ) = r লগ λ - λ ({এক্স}_{1} + + \dots + + {এক্স}_{R} + + {টি}_{R + + 1} + + \dots + + {টি}_{এন})

$l(\lambda) = r\log\lambda -\lambda(x_1+\dots+x_r+t_{r+1}+\dots+ t_n)$

r \log λ

$r\log\lambda$

n \log λ

$n\log\lambda$

T

$T$

λ

$\lambda$

\hat{λ} = \frac{r}{n T}

$\hat{\lambda}=\frac{r}{nT}$ , যা আপনি নিজেই সম্পূর্ণ পর্যবেক্ষণের ক্ষেত্রে তুলনা করতে পারেন।

 EDIT

মন্তব্যে প্রশ্নের জবাব দেওয়ার চেষ্টা করার জন্য: যদি সমস্ত পর্যবেক্ষণগুলি সেন্সর করা হত, তবে আমরা কোনও ঘটনা (মৃত্যু) পর্যবেক্ষণ করার জন্য দীর্ঘ সময়ের জন্য অপেক্ষা করি না, আমরা কী করতে পারি? সেক্ষেত্রে, , তাই loglikelihood হয়ে যে, এটা কমে রৈখিক হয় । সুতরাং সর্বাধিক হতে হবে ! তবে, হার প্যারামিটার- র জন্য শূন্য একটি বৈধ মান নয়, কারণ এটি কোনও ক্ষতিকারক বিতরণের সাথে সামঞ্জস্য করে না। আমাদের অবশ্যই সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে হবে যে সেক্ষেত্রে সর্বাধিক সম্ভাবনার অনুমানকারী উপস্থিত নেই! হয়তো কেউ জন্য কিছুটা আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরির চেষ্টা করতে পারে $r=0$

ঠ (λ) = - এন টি λ

$l(\lambda) = -nT \lambda$

λ

$\lambda$

λ = 0

$\lambda=0$

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$ সেই লগলিস্টিভেন্সি ফাংশনের ভিত্তিতে? তার জন্য, নীচে দেখুন।

তবে, যাই হোক না কেন, সেই ক্ষেত্রে থাকা ডেটা থেকে আসল উপসংহারটি হ'ল আমরা কিছু ইভেন্ট না পাওয়া পর্যন্ত আমাদের আরও বেশি সময় অপেক্ষা করা উচিত ...

সমস্ত পর্যবেক্ষণগুলি সেন্সর করা হলে আমরা কীভাবে জন্য (একতরফা) আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানটি তৈরি করতে পারি তা এখানে । সেই ক্ষেত্রে সম্ভাবনা ফাংশনটি হ'ল , যা দ্বিপদী পরীক্ষা থেকে সম্ভাবনা ফাংশন হিসাবে একই ফর্ম যেখানে আমরা সমস্ত সাফল্য পেয়েছি, যা (এছাড়াও দ্বিপদী অনুমানের আশ্বাসের অন্তর অন্তর দেখুন 0 বা 1 )। সেক্ষেত্রে আমরা ফর্মের এর জন্য একতরফা আত্মবিশ্বাসের অন্তর চাই । তারপরে আমরা সমাধান করে জন্য একটি বিরতি পাই । $\lambda$ $e^{-\lambda n T}$ $p^n$ $p$ $[\underset{\bar{}}{p}, 1]$ $\lambda$ $\log p = -\lambda T$

আমরা আস্থা ব্যবধান পেতে সমাধান করে যাতে । এটি অবশেষে : for এর জন্য আস্থার ব্যবধান দেয় $p$

পি (এক্স = এন) = {পি}^{এন} \geq 0.95 (বলুন)

$P(X=n) = p^n \ge 0.95 ~~~~\text{(say)}$

n \log p \geq \log 0.95

$n\log p \ge \log 0.95$

λ

$\lambda$

λ \leq \frac{- লগ 0.95}{এন টি} ।

$\lambda \le \frac{-\log 0.95}{n T}.$

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন en
সূত্র

প্রশ্নোত্তর পড়ে আমি ভাবলাম "কী হবে যদি সমস্ত পর্যবেক্ষণগুলি দ্বিতীয় ধরণের হয়, যার জন্য আমরা কেবল জানি যে , এবং কোনও পর্যবেক্ষণ পুরোপুরি পর্যবেক্ষণ করা হয়নি?" আপনার উত্তরে এই কেসটি এক্সটেনশন হিসাবে অন্তর্ভুক্ত করা সত্যিই দরকারী।

x_{j} > t_{j}

$x_j > t_j$

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লো