বোরেল-ক্যান্তেল্লি লেমা সম্পর্কিত একটি প্রশ্ন

বিঃদ্রঃ:

বোরেল-ক্যান্তেল্লি লেমা বলে

$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) < \infty \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 0$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) \lt \infty \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=0$
$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) = \infty and A_{n}'s are independent \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 1$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) =\infty \textrm{ and } A_n\textrm{'s are independent} \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=1$

তারপর,

যদি

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n} A_{n + 1}^{c}) < \infty

$\sum_{n=1}^\infty P(A_nA_{n+1}^c )\lt \infty$

বোরেল-ক্যান্তেল্লি লেমা ব্যবহার করে

আমি এটা দেখাতে চাই

প্রথমত,

$\lim_{n\to \infty}P(A_n)$ বিদ্যমান

এবং দ্বিতীয়ত,

$\lim_{n\to \infty}P(A_n) =P(\lim\sup A_n)$

দয়া করে এই দুটি অংশ দেখানোর জন্য আমাকে সহায়তা করুন। ধন্যবাদ.

— B11b
সূত্র

না, বোরেল-ক্যান্তেল্লি লেমা এটি (সমস্ত) বলে না, কমপক্ষে, আরও অনুমান ছাড়াই নয়।

— কার্ডিনাল

@ কার্ডিনাল ভাল, আমি কীভাবে এই দুটি বিবৃতি প্রদর্শন করতে পারি? দয়া করে আপনি আমাকে এটি ব্যাখ্যা করতে পারেন? আমি কোন যথেষ্ট ধারণা আছে। আপনি যদি সলটিনের উপায় দেখান তবে আমি খুশি হব :) আপনাকে ধন্যবাদ

— বি 11 বি

একটি "আরও অনুমান" যুক্ত করা হয়েছে।

— জেন

গৌণ নোট: যেমনটি এখানে উল্লেখ করা হয়েছে , উদাহরণস্বরূপ, আমরা দ্বিতীয় অংশে এর স্বাধীনতার সাথে পেতে পারি

A_{n}

$A_n$

— jld

জোরের কোনওটিই সত্য নয়।

যাক একটি মুদ্রা উল্টানো মধ্যে মাথা সম্ভাবনা, সম্ভাব্যতা সাথে থাকতে যখন বিজোড় এবং যখন এমনকি হল। তারপর: $A_n$ $1/n^2$ $n$ $1-\frac{1}{n^2}$ $n$

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}, A_{n + 1}^{c}) = \sum_{o d d n}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) + \sum_{e v e n n} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) < \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} < \infty .

$\sum_{n=1}^\infty P(A_n,A_{n+1}^c)=\sum_{odd \ n}^\infty \frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)+\sum_{even \ n}\frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)<\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}<\infty.$

তবে, পরিষ্কারভাবে বিদ্যমান নেই। আপনি যে সিদ্ধান্তটি শেষ করতে পারেন তা হ'ল । $\lim_nP(A_n)$ $\lim_n P(A_n,A_{n+1}^c)\rightarrow 0$

— অ্যালেক্স আর।
সূত্র