সর্বনিম্ন ঝুঁকি শ্রেণিবদ্ধের জন্য গণনা প্রান্তিক?

ধরুন, দুটি শ্রেণি $C_1$ এবং $C_2$ এর একটি বৈশিষ্ট্য $x$ এবং এর বিতরণ $\cal{N} (0, 0.5)$ এবং $\cal{N} (1, 0.5)$ । নিম্নলিখিত ব্যয় ম্যাট্রিক্সের জন্য যদি আমাদের সমান পূর্ববর্তী $P(C_1)=P(C_2)=0.5$ :

$L= \begin{bmatrix} 0 & 0.5 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

কেন, $x_0 < 0.5$ ন্যূনতম ঝুঁকি (ব্যয়) শ্রেণিবদ্ধের জন্য প্রান্তিক?

এটি আমার নোটের উদাহরণ যা আমি ভুল বুঝেছি (অর্থাত, এই প্রান্তিকের কীভাবে পৌঁছেছে?)

সম্পাদনা 1: আমি মনে করি সম্ভাবনা অনুপাতের প্রান্তিকের জন্য আমরা পি (সি 1) / পি (সি 2) ব্যবহার করতে পারি।

সম্পাদনা 2: আমি প্যাটার্নে ডুডা বুক থেকে প্রান্তিকের সম্পর্কে কিছু পাঠ্য যোগ করি। এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

— user153695
সূত্র

ব্যয় ম্যাট্রিক্স

L = [\begin{matrix} 0 & 0.5 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \end{matrix} prediction \begin{matrix} c_{1} & c_{2} \end{matrix} truth

$L= \begin{bmatrix} 0 & 0.5 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix} \;\text{prediction} \\ \hspace{-1.9cm} \begin{matrix} c_1 & c_2 \end{matrix} \\ \hspace{-1.9cm}\text{truth}$

বর্গ পূর্বাভাসের হারানোর যখন সত্য ক্লাস হয় হয় এবং ক্লাস পূর্বাভাসের খরচ যখন সত্য ক্লাস হয় হয় । সঠিক পূর্বাভাসের জন্য কোনও মূল্য নেই, । শর্তাধীন ঝুঁকি পারেন বর্গ পূর্বাভাসের জন্য তারপর $c_1$ $c_2$ $L_{12} = 0.5$ $c_2$ $c_1$ $L_{21} = 1$ $L_{11} = L_{22} = 0$ $R$ $k$

\begin{aligned} R (c_{1} | x) & = L_{11} Pr (c_{1} | x) + L_{12} Pr (c_{2} | x) = L_{12} Pr (c_{2} | x) \\ R (c_{2} | x) & = L_{22} Pr (c_{2} | x) + L_{21} Pr (c_{1} | x) = L_{21} Pr (c_{1} | x) \end{aligned}

$\begin{align} R(c_1|x) &= L_{11} \Pr (c_1|x) + L_{12} \Pr (c_2|x) = L_{12} \Pr (c_2|x) \\ R(c_2|x) &= L_{22} \Pr (c_2|x) + L_{21} \Pr (c_1|x) = L_{21} \Pr (c_1|x) \end{align}$

ঝুঁকি / ক্ষতি হ্রাস করার জন্য আপনি পূর্বাভাস দিয়েছেন যদি খরচ হয় (তবে এটি ভবিষ্যদ্বাণীটি ভুল বলে সম্ভাবনা বার বার ভুল ভবিষ্যদ্বাণী হ'ল ) হয় ভুলভাবে বিকল্পের পূর্বাভাস দেওয়ার ব্যয়ের চেয়ে ছোট, $c_1$ $L_{12} \Pr (c_2|x)$

\begin{aligned} L_{12} Pr (c_{2} | x) & < L_{21} Pr (c_{1} | x) \\ L_{12} Pr (x | c_{2}) Pr (c_{2}) & < L_{21} Pr (x | c_{1}) Pr (c_{1}) \\ \frac{L_{12} Pr (c_{2})}{L_{21} Pr (c_{1})} & < \frac{Pr (x | c_{1})}{Pr (x | c_{2})} \end{aligned}

$\begin{align} L_{12} \Pr (c_2|x) &< L_{21} \Pr (c_1|x) \\ L_{12} \Pr (x|c_2) \Pr (c_2) &< L_{21} \Pr (x|c_1) \Pr (c_1) \\ \frac{L_{12} \Pr (c_2)}{L_{21} \Pr (c_1)} &< \frac{\Pr (x|c_1)}{ \Pr (x|c_2)} \end{align}$ যেখানে দ্বিতীয় লাইনে বিধি ব্যবহার করা হয়েছে । সমান পূর্বের সম্ভাব্যতা দেওয়া হয়েছে আপনি পাবেন

Pr (c_{2} | x) \propto Pr (x | c_{2}) Pr (c_{2})

$\Pr (c_2|x) \propto \Pr (x|c_2) \Pr (c_2)$

Pr (c_{1}) = Pr (c_{2}) = 0.5

$\Pr (c_1) = \Pr (c_2) = 0.5$

\frac{1}{2} < \frac{Pr (x | c_{1})}{Pr (x | c_{2})}

$\frac{1}{2} < \frac{\Pr (x|c_1)}{ \Pr (x|c_2)}$

সুতরাং আপনি একটি পর্যবেক্ষণকে শ্রেণিবদ্ধ করা বেছে নেবেন কারণ হ'ল সম্ভাবনার অনুপাত এই প্রান্তিকের চেয়ে বেশি। আপনি সম্ভবত সম্ভাবনার অনুপাতের দিক থেকে বা এর গুণাবলী অনুসারে আপনি "সেরা থ্রোসোল্ড "টি জানতে চেয়েছিলেন কিনা তা এখন আমার কাছে স্পষ্ট নয় । উত্তর ব্যয় কার্যকারিতা অনুযায়ী পরিবর্তন হয়। এবং , সহ বৈষম্যের ক্ষেত্রে গাউসিয়ান ব্যবহার করা , $c_1$ $x$ $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$ $\mu_1 = 0$ $\mu_2 = 1$

\begin{aligned} \frac{1}{2} & < \frac{\frac{1}{\sqrt{2 π} σ} \exp [- \frac{1}{2 σ^{2}} (x - μ_{1})^{2}]}{\frac{1}{\sqrt{2 π} σ} \exp [- \frac{1}{2 σ^{2}} (x - μ_{2})^{2}]} \\ \log (\frac{1}{2}) & < \log (\frac{1}{\sqrt{2 π} σ}) - \frac{1}{2 σ^{2}} (x - 0)^{2} - [\log (\frac{1}{\sqrt{2 π} σ}) - \frac{1}{2 σ^{2}} (x - 1)^{2}] \\ \log (\frac{1}{2}) & < - \frac{x^{2}}{2 σ^{2}} + \frac{x^{2}}{2 σ^{2}} - \frac{2 x}{2 σ^{2}} + \frac{1}{2 σ^{2}} \\ \frac{x}{σ^{2}} & < \frac{1}{2 σ^{2}} - \log (\frac{1}{2}) \\ x & < \frac{1}{2} - \log (\frac{1}{2}) σ^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{2} &< \frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp \left[ -\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu_1)^2 \right]}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp \left[ -\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu_2)^2 \right]} \\ \log \left(\frac{1}{2}\right) &< \log \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right) -\frac{1}{2\sigma^2}(x-0)^2 - \left[ \log \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right) -\frac{1}{2\sigma^2}(x-1)^2 \right] \\ \log \left(\frac{1}{2}\right) &< -\frac{x^2}{2\sigma^2} + \frac{x^2}{2\sigma^2} - \frac{2x}{2\sigma^2} + \frac{1}{2\sigma^2} \\ \frac{x}{\sigma^2} &< \frac{1}{2\sigma^2} - \log \left(\frac{1}{2}\right) \\ x &< \frac{1}{2} - \log \left(\frac{1}{2}\right) \sigma^2 \end{align}$ সুতরাং পদে একটি পূর্বাভাস প্রান্তিক

x

$x$ আপনি যেমন অনুসন্ধান করছেন কেবলমাত্র যদি মিথ্যা পূর্বাভাসের একই হয়, যেমন কেবলমাত্র তখনই অর্জন করা যায় কারণ কেবল তখনই আপনার কাছে এবং আপনি পেতে ।

L_{12} = L_{21}

$L_{12} = L_{21}$

\log (\frac{L_{12}}{L_{21}}) = \log (1) = 0

$\log \left( \frac{L_{12}}{L_{21}} \right) = \log (1) = 0$

x_{0} < \frac{1}{2}

$x_0 < \frac{1}{2}$

— অ্যান্ডি
সূত্র

ভাল উত্তর, কিন্তু আমাকে বিভ্রান্ত! আপনি যদি বা বেছে নিতে চান তবে কোনটি সঠিক?

x_{0} = 0.5

$x_0=0.5$

x_{0} < 0.5

$x_0<0.5$

— ব্যবহারকারী 153695

সুতরাং সিদ্ধান্তের সীমানায় ঠিক আপনার পর্যবেক্ষণ এক বা দুই শ্রেণিতে হওয়া উচিত কিনা তা সঠিকভাবে বলতে পারবেন না (কারণ এটি ঠিক সীমানায় রয়েছে)। সুতরাং বা উপর করে পর্যবেক্ষণ 1 ম শ্রেণিতে হওয়া উচিত কিনা তা বেছে নেওয়া । বিশাল পরিমাণে নমুনাগুলি সহ এটি খুব কম পর্যবেক্ষণের জন্য হওয়া উচিত তাই মার্জিনে এটি আপনার ফলাফলের জন্য শ্বাসকষ্টের বিষয়টি বিবেচনা করবে।

x_{0} = 0.5

$x_0=0.5$

i

$i$

x_{0} \leq 0.5

$x_0 \leq 0.5$

x_{0} < 0.5

$x_0 < 0.5$

— অ্যান্ডি

আমার সমস্ত সমস্যা যে এটির জন্য অনুগ্রহ করে সেট আমার প্রোফাইলে। গণনা করা হয়েছে এবং গ্রহণ না করে দয়া করে প্রশ্নে আমার সম্পাদনা দেখুন, আমি পাতলা হতে হবে ।

x_{0} < 0.5

$x_0<0.5$

x_{0} = 0.5

$x_0=0.5$

x_{0} < 0.5

$x_0<0.5$

— ব্যবহারকারী 153695

হতে পারে 0.5-ln :)

— ব্যবহারকারীর 153695

@ শুকরিয়া ধন্যবাদ, আমি পুরোপুরি মিস করেছি তাই আমি সম্পূর্ণ ভুল প্রান্ত থেকে শুরু করেছিলাম।

— অ্যান্ডি