মিশ্র প্রভাবগুলি মডেলগুলি নির্ভরতা সমাধান করে কেন?

বলুন যে আমরা কীভাবে শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার গ্রেডগুলি ঘন্টার সংখ্যা দ্বারা প্রভাবিত হয় সে বিষয়ে আগ্রহী students এই সম্পর্কটি অন্বেষণ করতে, আমরা নিম্নলিখিত লিনিয়ার রিগ্রেশন চালাতে পারি:

{exam.grades}_{আমি} = একটি + + β_{1} \times {hours.studied}_{আমি} + + ই_{আমি}

$\text{exam.grades}_i = a + \beta_1 \times \text{hours.studied}_i + e_i$

তবে আমরা যদি শিক্ষার্থীদের বেশ কয়েকটি বিভিন্ন স্কুলে নমুনা করি, আমরা একই বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের বিভিন্ন বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের চেয়ে একে অপরের সাথে আরও মিল হওয়ার আশা করতে পারি। এই নির্ভরতা ইস্যুটি মোকাবেলা করার জন্য, অনেক পাঠ্যপুস্তক / ওয়েবে থাকা পরামর্শটি হল একটি মিশ্র প্রভাব চালানো এবং এলোমেলো প্রভাব হিসাবে স্কুলে প্রবেশ করা। সুতরাং মডেলটি হয়ে উঠবে: তবে কেন এটি নির্ভর করে যে সমস্যাটি বিদ্যমান তা সমাধান করে? লিনিয়ার রিগ্রেশন?

{exam.grades}_{আমি} = একটি + + β_{1} \times {hours.studied}_{আমি} + + {বিদ্যালয়}_{ঞ} + + ই_{আমি}

$\text{exam.grades}_i = a + \beta_1 \times \text{hours.studied}_i + \text{school}_j + e_i$

দয়া করে প্রতিক্রিয়া জানানোর মতো আপনি 12 বছর বয়সের সাথে কথা বলছেন

— Luciano
সূত্র

নির্ভরতা সমস্যাটি "সমাধান" করে কিনা তা প্রসঙ্গে নির্দিষ্ট। তবে আপনি সম্ভবত দেখতে পাবেন যে এখন বর্ধিত মডেলের একটি শব্দ রয়েছে যা কমপক্ষে আংশিকভাবে একটি বিশেষ বিদ্যালয়ের সাথে সম্পর্কিত প্রভাবের জন্য অ্যাকাউন্ট করতে পারে।

— চিত্র_ডোক্টর

মডেলটিতে এলোমেলো শর্তাদি অন্তর্ভুক্ত করা গ্রেডগুলির মধ্যে কিছু সমবায় কাঠামোকে প্ররোচিত করার একটি উপায়। বিদ্যালয়ের জন্য এলোমেলো ফ্যাক্টর একই বিদ্যালয়ের বিভিন্ন শিক্ষার্থীর মধ্যে একটি শূন্য নীতিবাক্যকে প্ররোচিত করে, যখন স্কুলটি আলাদা হয় তখন হয়। $0$

আসুন আপনার মডেলটিকে হিসাবে যেখানে স্কুল এবং সূচকগুলি সূচী করে শিক্ষার্থীরা (প্রতিটি স্কুলে) পদ স্বাধীন র্যান্ডম একটি টানা ভেরিয়েবল ।

{ওয়াই}_{গুলি, আমি} = α + + {ঘন্টার}_{গুলি, আমি} β + + {বিদ্যালয়}_{গুলি} + + ই_{গুলি, আমি}

$Y_{s,i} = \alpha + \text{hours}_{s,i} \beta + \text{school}_s + e_{s, i}$

s

$s$

i

$i$

{school}_{s}

$\text{school}_s$

N (0, τ)

$\mathcal N(0, \tau)$

স্বাধীন র্যান্ডম একটি টানা ভেরিয়েবল

।

e_{s, i}

$e_{s, i}$

N (0, σ^{2})

$\mathcal N(0, \sigma^2)$

এই ভেক্টরটির প্রত্যাশিত মান যা কার্যকালের সময় দ্বারা নির্ধারিত হয়।

{[α + {hours}_{s, i} β]}_{s, i}

$\left[ \alpha + \text{hours}_{s,i} \beta \right]_{s,i}$

মধ্যে সহভেদাংক এবং হয় যখন , যার মানে যে প্রত্যাশিত মান থেকে বাংলাদেশের বিদায়ের স্বাধীন যখন ছাত্র একই স্কুলে নয়। $Y_{s,i}$ $Y_{s',i'}$ $0$ $s \ne s'$

মধ্যে সহভেদাংক এবং হয় যখন , এবং ভ্যারিয়েন্স হয় : একই স্কুল থেকে শিক্ষার্থীদের বাংলাদেশের তাদের প্রত্যাশিত মান থেকে প্রস্থান সম্পর্কিত হবে । $Y_{s,i}$ $Y_{s,i'}$ $\tau$ $i \ne i'$ $Y_{s,i}$ $\tau + \sigma^2$

উদাহরণ এবং সিমুলেটেড ডেটা

পাঁচটি স্কুল থেকে পঞ্চাশজন শিক্ষার্থীর জন্য এখানে একটি সংক্ষিপ্ত আর সিমুলেশন রয়েছে (এখানে আমি নিই ); ভেরিয়েবলের নামগুলি হ'ল স্ব দলিলকরণ: $\sigma^2 = \tau = 1$

set.seed(1)
school        <- rep(1:5, each=10)
school_effect <- rnorm(5)

school_effect_by_ind <- rep(school_effect, each=10)
individual_effect    <- rnorm(50)

আমরা প্রতিটি শিক্ষার্থীর প্রত্যাশিত গ্রেড থেকে বিদায়ের পরিকল্পনা করি, এটি হল একসাথে (বিন্দু লাইন) প্রতিটি বিদ্যালয়ের মধ্যবর্তী প্রস্থান: $\text{school}_s + e_{s, i}$

plot(individual_effect + school_effect_by_ind, col=school, pch=19, 
     xlab="student", ylab="grades departure from expected value")
segments(seq(1,length=5,by=10), school_effect, seq(10,length=5,by=10), col=1:5, lty=3)

মিশ্র মডেল

$\text{school}_s$ $\alpha + \text{hours} \beta$

এই উদাহরণের জন্য ভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স

$\text{school}_s$ $e_{s,i}$

[\begin{matrix} A & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & A & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & A & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & A \end{matrix}]

$\left[\begin{matrix} A & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & A & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & A & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & A \end{matrix}\right]$

10 \times 10

$10\times 10$

A

$A$

A = [\begin{matrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 \end{matrix}] .

$A = \left[\begin{matrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 \end{matrix}\right].$

— Elvis
সূত্র

Elvis: thats probably a great answer for people more versed in statistics than I. However I can extract little meaning from it. Could you edit your response in a way that a 12 year old might be able to understand?

— luciano

A... 12 years old?! Wow! I will add some simulations, if this can help.

— Elvis

Done. Hope this helps. If not, please be more specific about what you don’t get. Note that a 12 yo would not understand the question either... you can’t ask for an answer simpler than the question.

— Elvis