শূন্য স্কিউনেস এবং শূন্য অতিরিক্ত কুর্তোসিস সহ সাধারণ-সাধারণ বিতরণ?

বেশিরভাগ তাত্ত্বিক প্রশ্ন। সাধারণের তুলনায় প্রথম চার মুহুর্তের অ-স্বাভাবিক বিতরণের কোনও উদাহরণ রয়েছে কি? তারা তত্ত্ব থাকতে পারে?

— egor
সূত্র

এমনকি মাত্র 2 টি নরমাল (5 পরামিতি - 2 অর্থ, 2 রূপ এবং মিশ্রণের সম্ভাবনা) এর মিশ্রণটি বিবেচনা করে আপনি প্রথম চার মুহুর্তের বিস্তৃত সমস্যার সমাধান করতে পারেন।

— শেরিডান গ্রান্ট

উত্তর:

হ্যাঁ, স্কিউনেস এবং অতিরিক্ত কুর্তোসিসের উদাহরণগুলি শূন্য উভয়ই নির্মাণ করা তুলনামূলক সহজ। (নীচে উদাহরণস্বরূপ (ক) থেকে (ডি) এর পিয়ারসন গড়-মধ্যমা সংক্রান্ত স্কিউনেস 0ও রয়েছে)

(ক) উদাহরণস্বরূপ, এই উত্তরে একটি গামা ভেরিয়েটের 50-50 মিশ্রণ গ্রহণের মাধ্যমে একটি উদাহরণ দেওয়া হয় (যা আমি $X$ ), এবং দ্বিতীয়টির নেগেটিভ, যার ঘনত্ব এইরকম দেখায়:

dgam 2.3

স্পষ্টতই ফলাফলটি প্রতিসম এবং সাধারণ নয়। স্কেল প্যারামিটারটি এখানে গুরুত্বহীন, তাই আমরা এটি তৈরি করতে পারি 1. গামার আকারের প্যারামিটারের যত্ন সহকারে পছন্দ প্রয়োজনীয় কুর্তোসিস প্রদান করে:

এই ডাবল-গামা ( $Y$ ) এর প্রকরণটি গামা ভেরিয়েটের ভিত্তিতে কার্যকর যার উপর ভিত্তি করে: $\text{Var}(Y)=E(X^2)=\text{Var}(X)+E(X)^2=\alpha+\alpha^2$ ।
পরিবর্তনশীল চতুর্থ কেন্দ্রীয় মুহূর্ত $Y$ হিসাবে একই $E(X^4)$ , যা একটি গামা (জন্য $\alpha$ ) হল $\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)$

ফলস্বরূপ কুর্তোসিসটি হ'ল $\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha^2(\alpha+1)^2}=\frac{(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha(\alpha+1)}$ । এটি $3$ $(\alpha+2)(\alpha+3)=3\alpha(\alpha+1)$ যখন, যখন ঘটে $\alpha=(\sqrt{13}+1)/2\approx 2.303$ ।

(খ) দুটি ইউনিফর্মের স্কেল মিশ্রণ হিসাবে আমরা উদাহরণও তৈরি করতে পারি। যাক $U_1\sim U(-1,1)$ দিন $U_2\sim U(-a,a)$ , এবং দিন $M=\frac12 U_1+\frac12 U_2$ । স্পষ্টতই বিবেচনা করে যে $M$ সমমিত এবং এর সীমাবদ্ধ পরিসীমা রয়েছে, আমাদের অবশ্যই $E(M)=0$ ; skewness 0 এবং কেন্দ্রীয় মুহুর্ত এবং কাঁচা মুহুর্ত একই হবে।

$\text{Var}(M)=E(M^2)=\frac12\text{Var}(U1)+\frac12\text{Var}(U_2)=\frac16[1+a^2]$ ।

একইভাবে, $E(M^4)=\frac{1}{10} (1+a^4)$ এবং তাই কুরটোসিসটি $\frac{\frac{1}{10} (1+a^4)}{[\frac16 (1+a^2)]^2}=3.6\frac{1+a^4}{(1+a^2)^2}$

আমরা যদি বেছে নিই $a=\sqrt{5+\sqrt{24}}\approx 3.1463$ , তারপরে3, এবং ঘনত্বটি দেখতে দেখতে:

(গ) এখানে একটি মজার উদাহরণ। যাক $X_i\stackrel{_\text{iid}}{\sim}\text{Pois}(\lambda)$ , জন্য $i=1,2$ ।

যাক $Y$ একটি 50-50 মিশ্রণ হতে $\sqrt{X_1}$ এবং $-\sqrt{X_2}$ :

enter image description here

প্রতিসাম্য দ্বারা $E(Y)=0$ (আমাদেরও সীমাবদ্ধ হতে $E(|Y|)$ প্রয়োজন তবে প্রদত্ত $E(X_1)$ সীমাবদ্ধ, আমাদের তা রয়েছে)

$Var(Y)=E(Y^2)=E(X_1)=\lambda$

প্রতিসাম্য দ্বারা (এবং সত্য যে তৃতীয় মুহূর্তটি বিদ্যমান) স্কিউ = 0 =

$E(Y^4) = E(X_1^2) = \lambda+\lambda^2$

$\frac{\lambda+\lambda^2}{\lambda^2}= 1+1/\lambda$

তো কখন $\lambda=\frac12$ , কুরটোসিসটি 3 above এটি উপরে বর্ণিত কেস।

(d) আমার এখনও পর্যন্ত সমস্ত উদাহরণগুলি প্রতিসামগ্রী ছিল, যেহেতু প্রতিসাম্য উত্তরগুলি তৈরি করা সহজ - তবে অসম্পূর্ণ সমাধানগুলিও সম্ভব। এখানে একটি পৃথক উদাহরণ।

enter image description here

আপনি যেমন দেখেন, এই উদাহরণগুলির কোনওটিই বিশেষত "সাধারণ" দেখাচ্ছে না। একই বৈশিষ্ট্যযুক্ত যে কোনও সংখ্যক বিযুক্ত, একটানা বা মিশ্র ভেরিয়েবল তৈরি করা সহজ বিষয় হবে। আমার বেশিরভাগ উদাহরণগুলি মিশ্রণ হিসাবে নির্মিত হয়েছিল, তবে মিশ্রণগুলির জন্য বিশেষ কিছু নেই , অন্যদিকে লেগো দিয়ে জিনিস তৈরির মতো, সম্পত্তিগুলির সাথে বিতরণ করার প্রায়শই আপনার পক্ষে সহজ উপায় than

এই উত্তরটি কুরটোসিস সম্পর্কে কিছু অতিরিক্ত বিশদ দেয় যা অন্যান্য উদাহরণগুলি আরও পরিষ্কার করার সাথে জড়িত কিছু বিবেচনা করা উচিত।

আপনি অনুরূপ ফ্যাশনে আরও মুহুর্তগুলি মেলাতে পারেন, যদিও এটি করার জন্য আরও বেশি প্রচেষ্টা প্রয়োজন requires তবে, সাধারণের এমজিএফ উপস্থিত থাকায় আপনি কিছু স্বাভাবিক অস্তিত্বের সাথে স্বাভাবিকের সমস্ত পূর্ণসংখ্যার মুহুর্তগুলি মেলে ধরতে পারবেন না, কারণ এর অর্থ তাদের এমজিএফ ম্যাচ হবে, দ্বিতীয় বিতরণটিও স্বাভাবিক ছিল।

— গ্লেন_বি -রাইনস্টেট মনিকা
সূত্র

-4

ভাল পয়েন্টগুলি গ্লেন_বি দ্বারা তৈরি করা হয়েছে। আমি কেবল ডিলাক ডেল্টা ফাংশনটি মিলের জন্য অতিরিক্ত গ্রিস্ট হিসাবে বিবেচনা করব। উইকিপিডিয়ায় নোট হিসাবে, "ডিডিএফ হ'ল একটি সাধারণ ক্রিয়াকলাপ, বা বিতরণ, শূন্য ব্যতীত সর্বত্র শূন্য হয়, পুরো আসল লাইনের উপরে একটির একক ইন্টিগ্রাল সহ" ডিডিএফের সমস্ত উচ্চতর মুহুর্তগুলি ফলাফলের সাথে শূন্য।

পল ডেরাক ১৯৩১ সালে কোয়ান্টাম মেকানিক্সে এটি প্রয়োগ করেছিলেন কোয়ান্টাম মেকানিক্সের প্রিন্সিপাল বইতে, তবে এর উত্স ফুরিয়ার, লেসবেগসু, কচী এবং অন্যান্যদের। ডিডিএফ-এর বেসবলকে আঘাত করা ব্যাটের ক্র্যাকের বন্টনকে মডেলিংয়ের ক্ষেত্রেও শারীরিক এনালগ রয়েছে।

— মাইক হান্টার
সূত্র

What has this to do with the question?

— kjetil b halvorsen

The question is explicit about making the "first four moment[s] equal to those of [a] normal [distribution]". You haven't a hope of even matching the second central moment when you use a delta distribution.

— whuber

Perhaps you can give an example where you match moments of a standard normal (mean 0, variance 1,

E [(X - μ)^{3}] = E (X^{3}) = 0

$E[(X-\mu)^3]=E(X^3)=0$ and

E [(X - μ)^{4}] = E (X^{4}) = 3

$E[(X-\mu)^4]=E(X^4)=3$ ). If you do that, it will answer the questions being raised and clarify your point.

— Glen_b -Reinstate Monica

@A. Donda: Excess kurtosis is the 4th standardized moment about the mean minus 3, i.e.

E (X - E X)^{4} / (E (X - E X)^{2})^{2}

$\mathrm{E}(X - \mathrm{E} X)^4 / (\mathrm{E}(X - \mathrm{E} X)^2)^2$ , so I don't think you can say it's -3 in the case of Dirac's delta function - rather it's undefined, as the variance is zero.

— Scortchi - Reinstate Monica

@Mike Hunter: I think the questions in the title & body are equivalent: once you have a distribution with defined skewness & excess kurtosis both equal to zero, matching mean & variance to any Gaussian you want is just shifting & stretching. I stress defined because both skewness & kurtosis are standardized moments, so the Dirac delta function doesn't have them.

— Scortchi - Reinstate Monica