ক্রিগিং ইন্টারপোলেশন কীভাবে কাজ করে?

আমি এমন একটি সমস্যায় কাজ করছি যেখানে কিছু পার্শ্ববর্তী ভেরিয়েবলের উপর ভিত্তি করে কিছু ভেরিয়েবলের মান পূর্বাভাস দেওয়ার জন্য আমাকে ক্রিগিং ব্যবহার করতে হবে। আমি নিজেই এর কোডটি প্রয়োগ করতে চাই। সুতরাং, এটি কীভাবে কাজ করে তা বোঝার জন্য আমি অনেকগুলি নথির মধ্যে দিয়েছি তবে আমি এতটা বিভ্রান্ত হয়ে পড়েছিলাম। সাধারণত, আমি বুঝতে পারি যে এটি একটি ওজনযুক্ত গড়, তবে আমি ওজন গণনার প্রক্রিয়াটি সম্পূর্ণরূপে বুঝতে পারি না তারপরে একটি ভেরিয়েবলের মান সম্পর্কে পূর্বাভাস দিতে পারি।

কেউ কি দয়া করে আমাকে এই স্প্রোলটিং পদ্ধতিগুলির গাণিতিক দিকগুলি সহজ পদে ব্যাখ্যা করতে পারেন এবং এটি কীভাবে কাজ করে?

spatial interpolation kriging

— দনিয়া
সূত্র

কোড কার্যকর করা একটি দুর্দান্ত শেখার সরঞ্জাম তবে প্রকৃত সমস্যাগুলিতে কাজ করার জন্য সুপারিশ করা যায় না। আপনি কোডটি লিখিত, ডিবাগড এবং পরীক্ষিত হওয়ার পরে আপনি আবিষ্কার করবেন যে স্থানিক অনুসন্ধানের তথ্য বিশ্লেষণ, ভেরোগ্রাফি, ভেরোগ্রামের ক্রস-বৈধকরণ, আশেপাশের অনুসন্ধান এবং পোস্ট- এর জন্য পরিপূরক সরঞ্জামগুলি সরবরাহ করার জন্য আরও পরিশ্রমের ক্রম প্রয়োজন discover ক্রাইড ফলাফল প্রক্রিয়াজাতকরণ। একটি যুক্তিসঙ্গত এবং কার্যকর সমঝোতা হ'ল জিএসলিব বা জিওআরজিএলএম এর মতো ওয়ার্কিং কোড দিয়ে শুরু করা এবং এটি সংশোধন করা।

— হোবার

অনেক অনেক ধন্যবাদ, এটি একটি দুর্দান্ত ধারণা, তবে আমি ক্রিগিংয়ের গাণিতিক দিকটিও বুঝতে চাই, আপনার কি এমন একটি সংস্থান আছে যা এটিকে সহজ ভাষায় স্পষ্টভাবে ব্যাখ্যা করে? ধন্যবাদ.

— ডানিয়া

এই জবাবটিতে একটি প্রারম্ভিক অংশ রয়েছে যা আমি সম্প্রতি "ইউনিভার্সাল ক্রিগিং" (ইউকে) -র একটি (বিনয়ী) স্পাটিও-টেম্পোরাল এক্সটেনশন বর্ণনা করার জন্য একটি গবেষণাপত্রের জন্য লিখেছিলাম, যা নিজেই "সাধারণ ক্রিগিং" এর একটি পরিমিত সাধারণকরণ। এটিতে তিনটি উপ-বিভাগ রয়েছে: থিওরী একটি পরিসংখ্যানের মডেল এবং অনুমান দেয়; অনুমান সংক্ষেপে সর্বনিম্ন-স্কোয়ার প্যারামিটার অনুমানের পর্যালোচনা করে; এবং ভবিষ্যদ্বাণী দেখায় যে ক্রিগিং কীভাবে জেনারালাইজড লেস্ট স্কোয়ার্স (জিএলএস) কাঠামোর সাথে ফিট করে। আমি পরিসংখ্যানবিদদের, বিশেষত এই সাইটের দর্শকদের কাছে পরিচিত স্বীকৃতি গ্রহণ করার এবং এখানে ভালভাবে ব্যাখ্যা করা ধারণাগুলি ব্যবহার করার চেষ্টা করেছি।

সংক্ষেপে বলতে গেলে , ক্রিগিং এলোমেলো ক্ষেত্রের সেরা লিনিয়ার আনবিয়েড প্রেডিকশন (বিএলইউপি)। এর অর্থ হ'ল যে কোনও নমুনাবিহীন অবস্থানের পূর্বাভাসকৃত মানটি নমুনাযুক্ত স্থানে পর্যবেক্ষণ করা মান এবং সমবায়ুগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে প্রাপ্ত। (অজানা, এলোমেলো) মানটির নমুনা মানগুলির সাথে একটি অনুমানের সম্পর্ক রয়েছে (এবং নমুনা মানগুলি একে অপরের সাথে সম্পর্কযুক্ত)। এই পারস্পরিক সম্পর্ক তথ্য সহজেই পূর্বাভাসের বৈকল্পিক ভাষায় অনুবাদ করা হয়। একটি লিনিয়ার সংমিশ্রণ ("ক্রিগিং ওজন") এর সহগ বাছাই করে যা এই পরিবর্তনকে যতটা সম্ভব ছোট করে তোলে, ভবিষ্যদ্বাণীতে শূন্য পক্ষপাতের শর্ত সাপেক্ষে। বিস্তারিত অনুসরণ করুন।

তত্ত্ব

যুক্তরাজ্যে দুটি পদ্ধতি রয়েছে - একটি অনুমানের এবং অন্যটি পূর্বাভাস - একটি অধ্যয়নের ক্ষেত্রের জন্য একটি জিএলএস মডেল প্রসঙ্গে প্রণীত। GLS মডেল ধারণা নমুনা তথ্য যে একটি প্রবণতা প্রায় র্যান্ডম বিচ্যুতি ফল এবং ঐ বিচ্যুতি সম্পর্কিত করা হয়। একটি প্রবণতা একটি মানের সাধারণ অর্থে বোঝানো হয় যা অজানা সহগের (প্যারামিটার) ) এর রৈখিক সংমিশ্রণ দ্বারা নির্ধারণ করা যায় $z_i,\ (i = 1, 2, ..., n)$ $p$ । (এই পোস্টটি সর্বত্র, প্রধানমন্ত্রী -এর মানে ম্যাট্রিক্স TRANSPOSE এবং সব ভেক্টর কলাম ভেক্টর বলে মনে করা হয়।) $\beta=(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_p)^\prime$ $^\prime$

অধ্যয়নের ক্ষেত্রের যে কোনও স্থানে সংখ্যাসূচক গুণাবলী যাকে "স্বতন্ত্র ভেরিয়েবল" বা "covariates" বলা হয়। (সাধারণত একটি "ধ্রুবক শব্দ," এবং স্থানিক স্থানাঙ্ক হতে পারে এবং অতিরিক্ত $\mathbf y = (y_1, y_2, \ldots, y_p)^\prime$ $y_1 = 1$ $y_2$ $y_3$ $y_i$ $i$ $y_i = (y_{i1}, y_{i2}, \ldots, y_{ip})^\prime$ $z_i$ $Z_i$ $y_i$ $y_i$ $Z_i$

E [Z_{i}] = {y^{'}}_{i} β = y_{i 1} β_{1} + y_{i 2} β_{2} + \dots + y_{i p} β_{p}

${\bf{E}}\left[ {Z_i } \right] = {\bf{y'}}_i {\bf{\beta }} = y_{i1} \beta _1 + y_{i2} \beta _2 + \cdots + y_{ip} \beta _p$

Z_{i}

$Z_i$

β

$\beta$

i

$i$

{\hat{β}}_{i}

$\hat\beta_i$

β_{i}

$\beta_i$

i = 1, 2, \dots, n

$i = 1, 2, \ldots, n$

i = 0

$i = 0$

z_{0}

$z_0$

y_{0}^{'} β

$y_0^\prime\beta$

0

$0$ । উদাহরণস্বরূপ, কনট্যুরিংয়ের জন্য উপযুক্ত পয়েন্টগুলির নিয়মিত গ্রিড বরাবর কোনও পৃষ্ঠকে ম্যাপ করার জন্য পূর্বাভাস দেওয়া হয়।

প্রাক্কলন

$Z_i$ $Z_i$ $Z_j$ $c_{ij}$

\hat{β} = H z, H = {({Y^{'} C}^{- 1} Y)}^{- 1} {Y^{'} C}^{- 1}

$\hat\beta=\bf{Hz},\ {\bf{H}} = \left( {{\bf{Y'C}}^{{\bf{ - 1}}} {\bf{Y}}} \right)^{{\bf{ - 1}}} {\bf{Y'C}}^{{\bf{ - 1}}}$

z = (z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n})

${\bf {z}} = (z_1, z_2, \ldots, z_n)$

n

$n$

Y = (y_{i j})

${\bf Y} = (y_{ij})$

n

$n$

p

$p$

y_{i}^{'}, 1 \leq i \leq n

$y_i^\prime, 1 \le i \le n$

C = (c_{i j})

$\mathbf C = (c_{ij})$

n

$n$

n

$n$

p

$p$

n

$n$

H

$\mathbf H$

z

$\mathbf z$

\hat{β}

$\hat \beta$

\hat{β}

$\hat\beta$

C = (c_{i j})

$\mathbf C = (c_{ij})$

ভবিষ্যদ্বাণী

$z_0$

{\hat{z}}_{0} = λ_{1} z_{1} + λ_{2} z_{2} + \dots + λ_{n} z_{n} = λ^{'} z .

$\hat z_0 = \lambda _1 z_1 + \lambda _2 z_2 + \cdots + \lambda _n z_n = {\bf{\lambda 'z}}.$

λ_{i}

$\lambda_i$

z_{0}

$z_0$

z_{0}

$z_0$

Z_{i}

$Z_i$

Z_{0}

$Z_0$

0 = E [{\hat{Z}}_{0} - Z_{0}] = E [λ^{'} Z - Z_{0}] .

$0 = {\bf{E}}\left[ {\hat Z_0 - Z_0 } \right] = {\bf{E}}\left[ {{\bf{\lambda 'Z}} - Z_0 } \right].$

n + 1

$n+1$

Z_{0}

$Z_0$

Z = (Z_{1}, Z_{2}, \dots, Z_{n})

$\mathbf Z = (Z_1, Z_2, \ldots, Z_n)$

\begin{aligned} 0 & = E [λ^{'} Z - Z_{0}] = λ^{'} E [Z] - E [Z_{0}] = λ^{'} (Y β) - {y^{'}}_{0} β = (λ^{'} Y - {y^{'}}_{0}) β \\ = β^{'} (Y^{'} λ - y_{0}) \end{aligned}

$\eqalign{ 0 &= {\bf{E}}\left[ {{\bf{\lambda 'Z}} - Z_0 } \right] = {\bf{\lambda 'E}}\left[ {\bf{Z}} \right] - {\bf{E}}\left[ {Z_0 } \right] = {\bf{\lambda '}}\left( {{\bf{Y\beta }}} \right) - {\bf{y'}}_0 {\bf{\beta }} = \left( {{\bf{\lambda 'Y}} - {\bf{y'}}_0 } \right){\bf{\beta }}\\ &= {\bf{\beta '}}\left( {{\bf{Y'\lambda }} - {\bf{y}}_0 } \right) }$

$\beta$

{\hat{Y}}^{'} λ = y_{0} .

$\hat{\mathbf Y}^\prime \lambda = \mathbf{y}_0.$

$\lambda$ $\hat Z_0 - Z_0$

V a r ({\hat{Z}}_{0} - Z_{0}) = E [{({\hat{Z}}_{0} - Z_{0})}^{2}] = E [{(λ^{'} Z - Z_{0})}^{2}] = c_{00} - 2 {λ^{'} c}_{0} + λ^{'} C λ

${\rm{Var}}\left( {\hat Z_0 - Z_0 } \right) = {\bf{E}}\left[ {\left( {\hat Z_0 - Z_0 } \right)^2 } \right] = {\bf{E}}\left[ {\left( {{\bf{\lambda 'Z}} - Z_0 } \right)^2 } \right] = c_{00} - 2{\bf{\lambda 'c}}_0 + {\bf{\lambda 'C\lambda }}$

c_{0} = (c_{01}, c_{02}, \dots, c_{0 n})^{'}

$\mathbf c_0 = (c_{01}, c_{02}, \ldots, c_{0n})^\prime$

Z_{0}

$Z_0$

Z_{i}, i \geq 1

$Z_i,\ i \ge 1$

c_{00}

$c_{00}$

Z_{0}

$Z_0$

$\lambda$ $p$ $\mu$ $\hat{\mathbf Y}^\prime \lambda = \mathbf{y}_0$ $n+p$

(\begin{matrix} C & Y \\ Y^{'} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} λ \\ μ \end{matrix}) = (\begin{matrix} c_{0} \\ y_{0} \end{matrix})

$\left( {\begin{array}{*{20}c} {\bf{C}} & {\bf{Y}} \\ {{\bf{Y'}}} & {\bf{0}} \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} {\bf{\lambda }} \\ {\bf{\mu }} \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {{\bf{c}}_{\bf{0}} } \\ {{\bf{y}}_{\bf{0}} } \\ \end{array}} \right)$

0

$\mathbf 0$

p

$p$

p

$p$

1

$\mathbf 1$

n

$n$

n

$n$

λ

$\lambda$

λ = {H^{'} y}_{0} + C^{- 1} (1 - Y H) c_{0} .

${\bf{\lambda }} = {\bf{H'y}}_0 + {\bf{C}}^{ - 1} \left( {{\bf{1}} - {\bf{YH}}} \right){\bf{c}}_0.$

(একাধিক প্রতিরোধের সাথে পরিচিত পাঠকরা সাধারণ ন্যূনতম বর্গক্ষেত্রের সাধারণ সমীকরণের সমবায় ভিত্তিক সমাধানের সাথে এই সমাধানটির তুলনা করা শিক্ষণীয় বলে মনে করতে পারেন , যা প্রায় হুবহু দেখতে একই রকম, তবে কোনও ল্যাঞ্জ্রেঞ্জ গুণক শর্ত নয়))

$\lambda$ $[\mathbf H^\prime\, \mathbf y_0]$ $Z_0$ $\hat z_0$

— whuber
সূত্র

আপনাকে অনেক শুকরিয়া ধন্যবাদ, আমি ঠিক এটিই খুঁজছি। আপনি আমার জন্য এই সমস্যার সমাধান করেছেন, এখন আমি ক্রিগিংকে বুঝতে পারি। আমি আপনার সহায়তার সত্যই প্রশংসা করি, অনেক অনেক ধন্যবাদ।

— ডানিয়া

{\hat{Y}}^{'}

$\hat{\mathbf Y}^\prime$

Y^{'} = (y_{j i})

${\bf Y}^\prime = (y_{ji})$

p

$p$

n

$n$

y_{i}, 1 \leq i \leq n

$y_i, 1 \le i \le n$