অনন্য MVUE সন্ধান করুন

এই প্রশ্নটি রবার্ট হগের গাণিতিক পরিসংখ্যানের 6th ষ্ঠ সংস্করণের সমস্যা সম্পর্কিত পৃষ্ঠা থেকে page.৪.৯ পৃষ্ঠায় is

যাক IID সঙ্গে পিডিএফ হতে শূন্য অন্যত্র, যেখানে । $X_1,...,X_n$ $f(x;\theta)=1/3\theta,-\theta<x<2\theta,$ $\theta>0$

(ক) MLE খুঁজুন এর $\hat{\theta}$ $\theta$

(খ) Is একটি জন্য যথেষ্ট পরিসংখ্যান ? কেন? $\hat{\theta}$ $\theta$

(গ) টুটা ta থিতা থটির অনন্য এমভিইউ ? কেন? $(n+1)\hat{\theta}/n$ $\theta$

আমি মনে করি আমি (ক) এবং (খ) সমাধান করতে পারি তবে আমি (সি) দ্বারা বিভ্রান্ত হয়ে পড়েছি।

একটি জন্য):

যাক হতে অর্ডার পরিসংখ্যান। $Y_1<Y_2<...Y_n$

$L(\theta;x)=\frac{1}{3\theta}\times\frac{1}{3\theta}\times...\times\frac{1}{3\theta}=\frac{1}{(3\theta)^n}$ কখন এবং ; অন্য কোথাও $-\theta< y_1$ $y_n < 2\theta$ $L(\theta;x)=0$

$\frac{dL(\theta;x)}{d\theta}=-n(3\theta)^{n-1}$ , যেহেতু $\theta>0$ , আমরা দেখতে পাচ্ছি যে এই অনুভূতিটি নেতিবাচক,

সুতরাং সম্ভাবনা ফাংশন $L(\theta;x)$ হ্রাস পাচ্ছে।

থেকে $(-\theta< y_1$ এবং $y_n < 2\theta)$ , $\Rightarrow$ $(\theta>-y_1$ এবং $\theta>y_n/2), \Rightarrow \theta>max(-y_1,y_n/2)$

$L(\theta,x)$ হ্রাস পাচ্ছে , সুতরাং যখন অতি সামান্যতম মান পাবে তখন সম্ভাবনা ফাংশন সর্বাধিক অর্জন করবে, যেহেতু , যখন, , সম্ভাবনা ফাংশন সর্বাধিক মান অর্জন করবে। $\theta$ $\theta>max(-y_1,y_n/2)$ $\theta=max(-y1,y_n/2)$

$\therefore$ ম্লে $\hat{\theta}=max(-y_1,y_n/2)$

(খ) এর জন্য:

$f(x_1;\theta)f(x_2;\theta)...f(x_n;\theta)=\frac{1}{(3\theta)^n}\prod_{i}^{n} I(-\theta<x_i<2\theta)=\frac{1}{(3\theta)^n}I(max(x_i)<2\theta)\times 1$

$\therefore$ ফ্যাক্টরাইজেশন উপপাদ্য দ্বারা, জন্য পর্যাপ্ত পরিসংখ্যান । অতএব, এটিও পর্যাপ্ত পরিসংখ্যান $y_n=max(x_i)$ $\theta$ $y_n/2$

Samely,

$f(x_1;\theta)f(x_2;\theta)...f(x_n;\theta)=\frac{1}{(3\theta)^n}\prod_{i}^{n} I(-\theta<x_i<2\theta)=\frac{1}{(3\theta)^n}I(min(x_i)>-\theta)\times 1$

$\therefore$ ফ্যাক্টরাইজেশন উপপাদ্য দ্বারা, পক্ষে যথেষ্ট পরিসংখ্যান । সুতরাং, একটি পর্যাপ্ত স্ট্যাটাসিটও। $y_1=min(x_i)$ $\theta$ $-y_1$

(গ) এর জন্য:

প্রথমত, আমরা এর সিডিএফ খুঁজে পাই $X$

$F(x)=\int_{-\theta}^{x}\frac{1}{3\theta}dt=\frac{x+\theta}{3\theta},-\theta<x<2\theta$

এরপরে, আমরা আদেশের পরিসংখ্যানগুলির জন্য বইয়ের সূত্র থেকে এবং উভয়ের জন্য পিডিএফ খুঁজে পেতে পারি । $Y_1$ $Y_n$

$f(y_1)=\frac{n!}{(1-1)!(n-1)!}[F(y_1)]^{1-1}[1-F(y_1)]^{n-1}f(y_1)=n[1-\frac{y_1+\theta}{3\theta}]^{n-1}\frac{1}{3\theta}=n\frac{1}{(3\theta)^n}(2\theta-y_1)^{n-1}$

Samely,

$f(y_n)=n(\frac{y_n+\theta}{3\theta})^{n-1}\frac{1}{3\theta}=n\frac{1}{(3\theta)^n}(y_n+\theta)^{n-1}$

এরপরে, আমরা এবং জন্য পিডিএফ পরিবারের সম্পূর্ণতা দেখাই $f(y_1)$ $f(y_n)$

$E[u(Y_1)]=\int_{-\theta}^{2\theta}u(y_1)n\frac{1}{(3\theta)^n}(2\theta-y_1)^{n-1}dy_1=0 \Rightarrow \int_{-\theta}^{2\theta}u(y_1)(2\theta-y_1)dy_1=0$ । দ্বারা (অবিচ্ছেদ্য derivate) আমরা দেখাতে পারি সবার জন্য । $FTC$ $u(\theta)=0$ $\theta>0$

সুতরাং, পিডিএফ পরিবার সম্পূর্ণ .. $Y_1$

একইভাবে, এখনও দ্বারা , আমরা পিডিএফ পরিবারটি সম্পূর্ণরূপে দেখাতে পারি । $FTC$ $Y_n$

সমস্যাটি এখন আমাদের দেখাতে হবে যে নিরপেক্ষ $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$

যখন $\hat{\theta}=-y_1$

$E(-y_1)=\int_{-\theta}^{2\theta}(-y_1)\frac{n}{(3\theta)^n}(2\theta-y_1)^{n-1}dy_1=\frac{1}{(3\theta)^n}\int_{-\theta}^{2\theta}y_1d(2\theta-y_1)^n$

আমরা অবিচ্ছেদ্য সমাধান করতে পার্টস দ্বারা বিভক্ত

$E(-y_1)=\frac{1}{(3\theta)^n}[y_1(2\theta-y_1)^n\mid_{-\theta}^{2\theta}-\int_{-\theta}^{2\theta}(2\theta-y_1)^ndy_1]=\frac{1}{(3\theta)^n}[\theta (3\theta)^n-\frac{(3\theta)^{n+1}}{n+1}]=\theta-\frac{3\theta}{n+1}=\frac{(n-2)\theta}{n+1}$

$\therefore E(\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n})=\frac{n+1}{n}E(-y_1)=\frac{n+1}{n}\frac{(n-2)\theta}{n+1}=\frac{n-2}{n}\theta$

সুতরাং, যখন একটি নিরপেক্ষ $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$ $\theta$ $\hat{\theta}=-y_1$

যখন $\hat{\theta}=y_n/2$

$E(Y_n)=\int_{-\theta}^{2\theta}y_n\frac{n}{(3\theta)^n}(y_n+\theta)^{n-1}dy_n=\frac{1}{(3\theta)^n}\int_{-\theta}^{2\theta}y_nd(y_n+\theta)^n=\frac{1}{(3\theta)^n}[y_n(y_n+\theta)^n\mid_{-\theta}^{2\theta}-\int_{-\theta}^{2\theta}(y_n+\theta)^ndy_n]=\frac{1}{(3\theta)^n}[2\theta(3\theta)^-\frac{(3\theta)^{n+1}}{n+1}]=2\theta-\frac{3\theta}{n+1}=\frac{2n-1}{n+1}\theta$

$\therefore E(\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n})=\frac{n+1}{n}E(Y_n/2)=\frac{n+1}{2n}E(Y_n)=\frac{n+1}{2n}\frac{2n-1}{n+1}\theta=\frac{2n-1}{2n}\theta$

তবুও, যখন একটি নিরপেক্ষ $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$ $\theta$ $\hat{\theta}=y_n/2$

তবে বইয়ের উত্তরটি হ'ল একটি অনন্য এমভিইউ। আমি যদি এটি পক্ষপাতদুষ্ট অনুমানকারী হয় তবে কেন এটি এমভিইউ হ'ল আমি তা স্পষ্ট করে বলছি না। $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$

বা আমার ক্লকুলেশনগুলি ভুল, দয়া করে আমাকে ভুলগুলি খুঁজে পেতে সহায়তা করুন, আমি আপনাকে আরও বিশদ গণনা দিতে পারি।

আপনাকে অনেক ধন্যবাদ.

— গভীর উত্তর
সূত্র

আমি বিতরণের কোনও গণনা দেখতে পাচ্ছি না ।

\hat{θ}

$\hat\theta$

— হোবার

ধন্যবাদ, হাহাকার, । এটি হয় বা নির্ভর করে কোনটি বড়আমি এবং উভয়ের জন্য বিতরণ গণনা । আপনি এবং the পাঠ্যে।

\hat{θ} = m a x (- y_{1}, y_{n} / 2)

$\hat{\theta}=max(-y_1,y_n/2)$

- y_{1}

$-y_1$

y_{n} / 2

$y_n/2$

y_{1}

$y_1$

y_{n}

$y_n$

f (y_{1}) = n \frac{1}{(3 θ)^{n}} (2 θ - y_{1})^{n - 1}

$f(y_1)=n\frac{1}{(3\theta)^n}(2\theta-y_1)^{n-1}$

f (y_{n}) = n \frac{1}{(3 θ)^{n}} (y_{n} + θ)^{n - 1}

$f(y_n)=n\frac{1}{(3\theta)^n}(y_n+\theta)^{n-1}$

— গভীর উত্তর

এবং উপরোক্ত দুটি বিতরণ থেকে, আমি এবং তারপর

E (\hat{θ}) = E (- Y_{1})

$E(\hat{\theta})=E(-Y_1)$

E (\hat{θ}) = E (Y_{n} / 2)

$E(\hat{\theta})=E(Y_n/2)$

E (\frac{n + 1}{n} \hat{θ})

$E(\frac{n+1}{n}\hat{\theta})$

— ডিপ উত্তর

এক্সট্রিমার সাথে কাজ করা যত্ন প্রয়োজন, তবে এটি কঠিন হতে হবে না। পোস্টের মাঝখানে কাছে পাওয়া গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নটি হল

... আমাদের দেখাতে হবে যে নিরপেক্ষ $\frac{n+1}{n}{\hat \theta}^{n}$

আগে আপনি প্রাপ্ত

\hat{θ} = max (- y_{1}, y_{n} / 2) = max {- min {y_{i}}, max {y_{i}} / 2} .

$\hat\theta = \max(-y_1, y_n/2) = \max\{-\min\{y_i\}, \max\{y_i\}/2\}.$

যদিও এটি অগোছালো মনে হচ্ছে, যখন আপনি ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন বিবেচনা করেন তখন গণনাগুলি প্রাথমিক হয়ে যায় । এটির সাথে শুরু করতে, নোট করুন । যাক এই সীমার মধ্যে একটি সংখ্যা হওয়া। সংজ্ঞানুসারে, $F$ $0\le \hat\theta \le \theta$ $t$

\begin{aligned} F (t) & = Pr (\hat{θ} \leq t) \\ = Pr (- y_{1} < t and y_{n} / 2 \leq t) \\ = Pr (- t \leq y_{1} \leq y_{2} \dots \leq y_{n} \leq 2 t) . \end{aligned}

$\eqalign{ F(t) &= \Pr(\hat\theta\le t) \\&= \Pr(-y_1 \lt t\text{ and }y_n/2 \le t) \\ &= \Pr(-t \le y_1 \le y_2 \cdots \le y_n \le 2t). }$

এই সুযোগটি যে সমস্ত মানগুলি এবং । এই মানগুলি দৈর্ঘ্যের অন্তরকে আবদ্ধ করে । বিতরণ অভিন্ন হওয়ার কারণে, কোনও নির্দিষ্ট এই ব্যবধানে থাকা সম্ভাবনা তার দৈর্ঘ্যের সাথে সমানুপাতিক: $n$ $-t$ $2t$ $3t$ $y_i$

pr (Y_{আমি} \in [- টি, 2 টি]) = \frac{3 টি}{3 θ} = \frac{টি}{θ} ।

$\Pr(y_i \in [-t, 2t]) = \frac{3t}{3\theta} = \frac{t}{\theta}.$

যেহেতু স্বতন্ত্র, এই সম্ভাবনাগুলি বহুগুণে দেয়, দেয় $y_i$

এফ (টি) = {(\frac{টি}{θ})}^{এন} ।

$F(t) = \left(\frac{t}{\theta}\right)^n.$

প্রত্যাশা অবিলম্বে বেঁচে থাকার ফাংশন একীভূত পাওয়া যাবে সম্ভাব্য মান ব্যবধান ধরে , ব্যবহার পরিবর্তনশীল জন্য: $1-F$ $\hat\theta$ $[0, \theta]$ $y=t/\theta$

ই (\hat{θ}) = \int_{0}^{θ} (1 - {(\frac{টি}{θ})}^{এন}) ঘ টি = \int_{0}^{1} (1 - Y^{এন}) θ ঘ Y = \frac{এন}{এন + + 1} θ ।

$\mathbb{E}(\hat\theta) = \int_0^\theta \left(1 - \left(\frac{t}{\theta}\right)^n\right)dt = \int_0^1 (1-y^n)\theta dy = \frac{n}{n+1}\theta.$

(প্রত্যাশার জন্য এই সূত্রটি সাধারণ অবিচ্ছেদ্য থেকে কিছু অংশের মাধ্যমে সংহতকরণের মাধ্যমে নেওয়া হয়েছে Details বিশদটি https://stats.stackexchange.com/a/105464 এর শেষে দেওয়া আছে ))

মাধ্যমে পুনরুদ্ধার করা $(n+1)/n$

ই (\frac{এন + + 1}{এন} \hat{θ}) = θ,

$\mathbb{E}\left(\frac{n+1}{n}\,{\hat \theta}\right) = \theta,$

Qed ।

— whuber
সূত্র

সর্বশেষ সূত্রের জন্য একটি টাইপো রয়েছে, এটি নয় be হওয়া উচিত

\hat{θ}

$\hat \theta$

{\hat{θ}}^{n}

$\hat \theta^n$

— ডিপ নর্থ

@ ডিপ ওহ, অবশ্যই! এটি নির্দেশ করার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। এটা এখন স্থির।

— whuber

অনন্য MVUE সন্ধান করুন

আমি মনে করি আমি (ক) এবং (খ) সমাধান করতে পারি তবে আমি (সি) দ্বারা বিভ্রান্ত হয়ে পড়েছি।

সমস্যাটি এখন আমাদের দেখাতে হবে যে নিরপেক্ষ( n + 1 ) θ^এন(এন+ +1)θ^এন\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}

সুতরাং, যখন একটি নিরপেক্ষ(n+1)θ^n(n+1)θ^n\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}θθ\thetaθ^=−y1θ^=−y1\hat{\theta}=-y_1

তবুও, যখন একটি নিরপেক্ষ(n+1)θ^n(n+1)θ^n\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}θθ\thetaθ^=yn/2θ^=yn/2\hat{\theta}=y_n/2

সমস্যাটি এখন আমাদের দেখাতে হবে যে নিরপেক্ষ $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$

সুতরাং, যখন একটি নিরপেক্ষ $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$ $\theta$ $\hat{\theta}=-y_1$

তবুও, যখন একটি নিরপেক্ষ $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$ $\theta$ $\hat{\theta}=y_n/2$