নেতিবাচক দ্বিপদী বিতরণের জন্য সর্বাধিক সম্ভাবনার অনুমানক

প্রশ্নটি নিম্নলিখিত:

N মানগুলির একটি এলোমেলো নমুনা কে = 3 পরামিতি সহ নেতিবাচক দ্বিপদী বিতরণ থেকে সংগ্রহ করা হয়।

পরামিতিটির সর্বাধিক সম্ভাবনা অনুমানকারী Find

এই অনুমানের স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটির জন্য একটি অ্যাসিম্পটোটিক সূত্রটি সন্ধান করুন।

প্যারামিটার কে যথেষ্ট পরিমাণে বড় হলে নেতিবাচক দ্বিপদী বিতরণ কেন প্রায় স্বাভাবিক হবে তা ব্যাখ্যা করুন। এই সাধারণ আনুমানিকের পরামিতিগুলি কী কী?

আমার কাজটি নিম্নরূপ হয়েছে:
১. আমার মনে হয় এটি যা চেয়েছিল তবে আমি নিশ্চিত যে আমি এখানে নির্ভুল কিনা বা প্রদত্ত তথ্য প্রদানে সম্ভবত আমি আরও এই গ্রহণ করতে পারি কিনা?

p (x) = (\binom{x - 1}{k - 1}) π^{k} (1 - π)^{x - k} L (π) = Π_{i}^{n} p (x_{n} | π) ℓ (π) = Σ_{i}^{n} \ln (p (x_{n} | π)) ℓ ‘ (π) = Σ_{i}^{n} \frac{k}{π} - \frac{(x - k)}{(1 - π)}

$p(x) = {x-1 \choose k-1}\pi^k(1-\pi)^{x-k}\\ L(\pi) = \Pi_i^n p(x_n|\pi)\\ \ell(\pi) = \Sigma_i^n\ln(p(x_n|\pi))\\ \ell`(\pi) = \Sigma_i^n\dfrac{k}{\pi}-\dfrac{(x-k)}{(1-\pi)}$

আমি মনে করি যে নীচের জন্য জিজ্ঞাসা করা হয়। চূড়ান্ত অংশ জন্য আমার মনে হয় আমার প্রতিস্থাপন করা প্রয়োজন বোধ $\hat{\pi}$ সঙ্গে $\dfrac{k}{x}$
$ℓ'' (\hat{π}) = - \frac{ট}{{\hat{π}}^{2}} + + \frac{এক্স}{(1 - \hat{π})^{2}} গুলি ই (\hat{π}) = \sqrt{- \frac{1}{ℓ'' (\hat{π})}} গুলি ই (\hat{π}) = \sqrt{\frac{{\hat{π}}^{2}}{ট} - \frac{(1 - \hat{π})^{2}}{এক্স}}$ $\ell``(\hat{\pi}) = -\dfrac{k}{\hat{\pi}^2} + \dfrac{x}{(1-\hat{\pi})^2}\\ se(\hat{\pi}) = \sqrt{-\dfrac{1}{\ell``(\hat{\pi})}}\\ se(\hat{\pi}) = \sqrt{\dfrac{\hat{\pi}^2}{k} - \dfrac{(1-\hat{\pi})^2}{x}}\\$
আমি কীভাবে এটি প্রমাণ করতে পারি তা এখনও নিশ্চিত নই এবং এটি এখনও গবেষণা করছি। যে কোনও ইঙ্গিত বা দরকারী লিঙ্কগুলি প্রশংসিত হবে। আমার মনে হয় এটি সম্পর্কিত যে কোনও নেতিবাচক দ্বিপদী বিতরণকে জ্যামিতিক বিতরণের সংগ্রহ বা দ্বিপদী বিতরণের বিপরীত হিসাবে দেখা যেতে পারে তবে কীভাবে এটি পৌঁছানো যায় তা নিশ্চিত নয় to

যে কোনও সহায়তা প্রশংসিত হবে

self-study maximum-likelihood negative-binomial

— Syzorr
সূত্র

(1) সর্বাধিক সম্ভাবনার প্রাক্কলন আপনাকে লগ-সম্ভাবনা কার্যটি সর্বাধিক কোথায় পৌঁছেছে তা সন্ধান করতে হবে। স্কোর গণনা (লগ-সম্ভাবনা ফাংশনটির প্রথম ডাইরিভেটিভ সাথে ) একটি সূচনা - এটি সর্বোচ্চটি কী মূল্য গ্রহণ করবে? (এবং মনে রাখবেন আপনাকে । অনুমান করার দরকার নেই )

\hat{π}

$\hat \pi$

π

$\pi$

k

$k$

— স্কর্চচি - মনিকা পুনরায় স্থাপন করুন

সর্বাধিক সন্ধান করার উদ্দেশ্যে আমি লগ-সম্ভাবনা = 0 এর ডেরিভেটিভ যুক্ত করতে ভুলে গেছি। যদি আমি এটি সঠিকভাবে বুঝতে পেরেছি (পোস্ট করার পরেও এটি নিয়ে এখনও কাজ করছি), আমার কাছে যা আছে তা হ'ল

\frac{k}{π} - \frac{Σ_{i = 0}^{n} (x_{i} - k)}{(1 - π)} = 0

$\dfrac{k}{\pi}-\dfrac{\Sigma_{i=0}^n(x_i-k)}{(1-\pi)} = 0$

— i

যত্ন নিন:এছাড়াও নোট করুন যে ১ থেকে শুরু

\sum_{i = 1}^{n} \frac{k}{π} - \sum_{i = 1}^{n} \frac{(x_{i} - k)}{(1 - π)} = ?

$\sum_{i=1}^n \frac{k}{\pi} - \sum_{i=1}^n{\frac{(x_i-k)}{(1-\pi)}} = \ ?$

i

$i$

— স্কোর্তচি - মনিকা পুনরায় ইনস্টল করুন

(2) এ, এটি খুব কমই ঘটে যায় যে পার্থক্যের পারস্পরিক পারস্পরিক পার্থক্য। এই ভুলটি আপনার জন্য চূড়ান্ত সূত্রকে ব্যাপকভাবে প্রভাবিত করে ।

s e (\hat{π})

$se(\hat\pi)$

— whuber

1।

$p(x) = {x_i-1 \choose k-1}\pi^k(1-\pi)^{x_i-k}$

$L(\pi;x_i) = \prod_{i=1}^{n}{x_i-1 \choose k-1}\pi^k(1-\pi)^{x_i-k}\\$

$\ell(\pi;x_i) = \sum_{i=1}^{n}[log{x_i-1 \choose k-1}+klog(\pi)+(x_i-k)log(1-\pi)]\\ \frac{d\ell(\pi;x_i)}{d\pi} = \sum_{i=1}^{n}[\dfrac{k}{\pi}-\dfrac{(x_i-k)}{(1-\pi)}]$

এটি শূন্যে সেট করুন,

$\frac{nk}{\pi}=\frac{\sum_{i=1}^nx_i-nk}{1-\pi}$

$\therefore$ $\hat\pi=\frac{nk}{\sum_{i=1}^nx}$

2।

দ্বিতীয় অংশের জন্য আপনাকে উপপাদ্যটি ব্যবহার করতে হবে যা , এখানে ফিশারের তথ্য। অতএব, স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন হতে হবে । আপনি এখানে সিএলটি ব্যবহার করার কারণে বা আপনি এটিকে স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি হিসাবে আখ্যায়িত করেছেন। $\sqrt{n}(\hat\theta-\theta) \overset{D}{\rightarrow}N(0,\frac{1}{I(\theta)})$ $I(\theta)$ $\hat\theta$ $[nI(\theta)]^{-1/2}$

সুতরাং আমাদের নেতিবাচক দ্বিপদী বিতরণের জন্য ফিশার তথ্য গণনা করতে হবে।

$\frac{\partial^2 \log(P(x;\pi))}{\partial\pi^2}=-\frac{k}{\pi^2}-\frac{x-k}{(1-\pi)^2}$

$I(\theta)=-E(-\frac{k}{\pi^2}-\frac{x-k}{(1-\pi)^2})=\frac{k}{\pi^2}+\frac{k(1-\pi)}{(1-\pi)^2\pi}$

দ্রষ্টব্য: ণাত্মক দ্বিপদী পিএম এর জন্য rac $E(x) =\frac{k}{\pi}$

সুতরাং, মানক ত্রুটি হল $\hat \pi$ $[n(\frac{k}{\pi^2}+\frac{k(1-\pi)}{(1-\pi)^2\pi})]^{-1/2}$

সরীকরণ করুন আমরা পেয়ে যাব $se(\pi)=\sqrt{\dfrac{\pi^2(\pi-1)}{kn}}$

3।

জ্যামিতিক বিতরণ হ'ল kণাত্মক দ্বিপদী বিতরণের একটি বিশেষ কেস যখন 1. = দ্রষ্টব্য a একটি জ্যামিতিক বিতরণ $\pi(1-\pi)^{x-1}$

অতএব, নেতিবাচক দ্বিপদী ভেরিয়েবলকে k এর স্বতন্ত্র, অভিন্নভাবে বিতরণ করা (জ্যামিতিক) এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগ হিসাবে লেখা যায়।

সুতরাং সিএলটি দ্বারা প্যারামিটার কে যথেষ্ট বড় হলে নেতিবাচক দ্বিপদী বিতরণ প্রায় স্বাভাবিক হবে be

— গভীর উত্তর
সূত্র

দয়া করে পড়ুন আমি এখানে কোন বিষয় সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করতে পারি? স্ব-অধ্যয়ন প্রশ্নাবলীতে: লোকদের জন্য তাদের গৃহকর্ম না করে আমরা তাদের এটি করার জন্য তাদের সাহায্য করার চেষ্টা করি।

— স্কর্চচি - মনিকা পুনরায় ইনস্টল করুন

আপনি কি নমুনা আকার বিবেচনা করতে হবে MLE গণক করে। আপনি স্বতন্ত্র পর্যবেক্ষণগুলির একটি অ্যাকাউন্ট বিভ্রান্ত করছেন the একক পর্যবেক্ষণের অ্যাকাউন্ট সহ ব্যর্থতা ( reach ) এ পৌঁছানোর জন্য প্রয়োজনীয় পরীক্ষাগুলি । ব্যর্থতা পৌঁছানোর জন্য প্রয়োজনীয় পরীক্ষার ( )। পূর্ববর্তীটি ; পরেরটির, ।

n

$n$

n

$n$

k

$k$

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

$x_1, x_2, \ldots, x_n$

k

$k$

n

$n$

\sum_{i = 1}^{n} π^{(} 1 - π)^{x_{i} - k}

$\sum_{i=1}^n{\pi^(1-\pi)^{x_i-k}}$

π^{k} (1 - π)^{n - k}

$\pi^k(1-\pi)^{n-k}$

— স্কর্চচি - মনিকা পুনরায় ইনস্টল করুন

আপনি ঠিক বলেছেন, আমি সবসময় এই অংশটি নিয়ে বিভ্রান্তি বোধ করি। আপনাকে অনেক ধন্যবাদ. আমি এই বোর্ডে অনেকগুলি প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করি, তবে আমি সত্যিই আশা করি লোকেরা আমাকে খুব বিস্তারিত উত্তর দিতে পারে, তবে আমি নিজেই ধাপে ধাপে এটি অধ্যয়ন করতে পারি।

— গভীর উত্তর

হ্যাঁ। আমি পেয়েছি কেন খুব বেশি বিস্তৃত বিবরণ দেওয়ার বিরুদ্ধে বিধি কিন্তু বক্তৃতা থেকে আমার নিজের নোটের সাথে মিলিত এই উত্তরটি আমাকে অনেকগুলি আলগা প্রান্তটি এক সাথে বেঁধে রাখতে দেয়। আমি আজ আমার প্রভাষকের সাথে এ বিষয়ে কথা বলার ইচ্ছা করি যাতে আমি তাঁর কাছ থেকে স্পষ্টতা পেতে পারি। এখন এখানে শুক্রবার। উপরোক্ত হিসাবে সোমবার কারণে বরাদ্দ। আমরা বুধবার এটি শিখেছি এবং দ্বি-দ্বি বিতরণ ব্যবহার করে কেবল তার একক উদাহরণ রয়েছে। বিস্তারিত জানার জন্য অনেক ধন্যবাদ।

— সাইজারর

সেখানে আপনার কাজ করার ক্ষেত্রে কিছু ত্রুটি রয়েছে কারণ আমি (θ) = ই [] নন-ই [] (যা আপনি ব্যবহার করেছেন যে সমীকরণগুলি অনুসন্ধান না করা পর্যন্ত আমাকে বিভ্রান্ত করে চলেছে) অবশেষে দিয়ে শেষ হয়েছে

s e (π) = \sqrt{\frac{π^{2} (π - 1)}{k n}}

$se(\pi)=\sqrt{\dfrac{\pi^2(\pi-1)}{kn}}$

— সিজর