দুই গাউসিয়ান এর ওজনযুক্ত মিশ্রণের বৈচিত্র কী?

বলুন আমার কাছে দুটি এবং দুটি সাধারণ বিতরণ আছে যার অর্থ এবং এবং বৈকল্পিকগুলি এবং । আমি এই দুটি বিতরণের একটি ভারী মিশ্রণ নিতে চাই ওয়েট এবং ব্যবহার করে যেখানে এবং । আমি জানি যে এই মিশ্রণের হবে । $\mu_A$ $\mu_B$ $\sigma_A$ $\sigma_B$ $p$ $q$ $0\le p \le 1$ $q = 1-p$ $\mu_{AB} = (p\times\mu_A) + (q\times\mu_B)$

তারতম্য কি হবে?

একটি দৃ concrete় উদাহরণ হ'ল যদি আমি পুরুষ এবং মহিলা উচ্চতার বন্টনের পরামিতিগুলি জানতাম। আমার যদি লোকদের একটি কক্ষ থাকে যা %০% পুরুষ ছিল তবে আমি পুরো ঘরের জন্য প্রত্যাশিত গড় উচ্চতা তৈরি করতে পারতাম, তবে তারতম্য সম্পর্কে কী বলা যায়?

normal-distribution mixture

— JoFrhwld
সূত্র

পুনরায় পরিভাষা: মিশ্রণের কেবল একটি গড় এবং একটি বৈচিত্র রয়েছে; এগুলিকে "প্রত্যাশিত" হিসাবে যোগ্য করে তোলার কোনও বুদ্ধি নেই যতক্ষণ না আপনি সম্ভবত ইঙ্গিত করছেন যে এবং এলোমেলো ভেরিয়েবল হিসাবে বিবেচনা করা উচিত।

p

$p$

q

$q$

— whuber

আমি জানি যে দুটি গাউসি বিতরণের মিশ্রণটি শনাক্তযোগ্য। তবে দু'টি বিতরণে কি একই ইমান থাকে? অর্থাত:, একই মাধ্যম এবং বিভিন্ন স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতিগুলির সাথে দুটি সাধারণ বিতরণের মিশ্রণটি কি সনাক্তযোগ্য? এই প্রসঙ্গে কাগজপত্র আছে? অগ্রিম ধন্যবাদ

উত্তরের সাথে একই ধরণের প্রশ্ন রয়েছে (গোপনীয়তাগুলির সাথেও ডিল করছে): math.stackexchange.com/q/195911/96547

— hplieninger

প্রকরণটি দ্বিতীয় মুহুর্তটি প্রথম মুহুর্তের বর্গাকার বিয়োগ, সুতরাং মিশ্রণের মুহুর্তগুলি গণনা করার পক্ষে এটি যথেষ্ট।

সাধারণভাবে, ডিস্ট্রিবিউশন দেওয়া PDF গুলি সঙ্গে এবং ধ্রুবক (অ-র্যান্ডম) ওজন , মিশ্রণ পিডিএফ হয় $f_i$ $p_i$

f (x) = \sum_{i} p_{i} f_{i} (x),

$f(x) = \sum_i{p_i f_i(x)},$

যেখান থেকে এটা কোনো মুহূর্তে অবিলম্বে অনুসরণ করে যে $k$

μ^{(k)} = E_{f} [x^{k}] = \sum_{i} p_{i} E_{f_{i}} [x^{k}] = \sum_{i} p_{i} μ_{i}^{(k)} .

$\mu^{(k)} = \mathbb{E}_{f}[x^k] = \sum_i{p_i \mathbb{E}_{f_i}[x^k]} = \sum_i{p_i \mu_i^{(k)}}.$

আমি লিখেছি জন্য মুহূর্ত এবং জন্য মুহূর্ত । $\mu^{(k)}$ $k^{th}$ $f$ $\mu_i^{(k)}$ $k^{th}$ $f_i$

এই সূত্রগুলি ব্যবহার করে, বৈচিত্রটি লেখা যেতে পারে

Var (f) = μ^{(2)} - {(μ^{(1)})}^{2} = \sum_{i} p_{i} μ_{i}^{(2)} - {(\sum_{i} p_{i} μ_{i}^{(1)})}^{2} .

$\text{Var}(f) = \mu^{(2)} - \left(\mu^{(1)}\right)^2 = \sum_i{p_i \mu_i^{(2)}} - \left(\sum_i{p_i \mu_i^{(1)}}\right)^2.$

সমানভাবে, যদি এর হিসাবে দেওয়া হয় , তবে , মিশ্রণ এর বৈকল্পিকগুলি এর উপাদানগুলির রূপগুলি এবং উপায়গুলির নিরিখে লেখা যেতে সক্ষম করে $f_i$ $\sigma^2_i$ $\mu^{(2)}_i = \sigma^2_i + \left(\mu^{(1)}_i\right)^2$ $f$

\begin{aligned} Var (f) & = \sum_{i} p_{i} (σ_{i}^{2} + {(μ_{i}^{(1)})}^{2}) - {(\sum_{i} p_{i} μ_{i}^{(1)})}^{2} \\ = \sum_{i} p_{i} σ_{i}^{2} + \sum_{i} p_{i} {(μ_{i}^{(1)})}^{2} - {(\sum_{i} p_{i} μ_{i}^{(1)})}^{2} . \end{aligned}

$\eqalign{ \text{Var}(f) &= \sum_i{p_i \left(\sigma^2_i + \left(\mu^{(1)}_i\right)^2\right)} - \left(\sum_i{p_i \mu_i^{(1)}}\right)^2 \\ &= \sum_i{p_i \sigma^2_i} + \sum_i{p_i\left(\mu_i^{(1)}\right)^2} - \left(\sum_{i}{p_i \mu_i^{(1)}}\right)^2. }$

কথায় কথায়, এটি হ'ল (ওজনযুক্ত) গড় বৈকল্পিক প্লাস গড় বর্গক্ষেত্র গড় গড় বিয়োগ বর্গকে। স্কোয়ারিং একটি উত্তল ক্রিয়াকলাপ, জেনসেনের বৈষম্য দৃser়ভাবে দাবি করে যে গড় বর্গক্ষেত্র গড় গড় গড় বর্গের চেয়ে কম হতে পারে না। এটি আমাদের সূত্রটি বুঝতে সাহায্য করে যে মিশ্রণের বৈচিত্রটি উল্লেখ করে বিভিন্ন ধরণের মিশ্রণটি প্লাস অর্থগুলির (ভারিত) বিচ্ছুরণের জন্য একটি অ-নেতিবাচক শর্তের অ্যাকাউন্টিং।

আপনার ক্ষেত্রে বৈকল্পিক হয়

p_{A} σ_{A}^{2} + p_{B} σ_{B}^{2} + [p_{A} μ_{A}^{2} + p_{B} μ_{B}^{2} - (p_{A} μ_{A} + p_{B} μ_{B})^{2}] .

$p_A \sigma_A^2 + p_B \sigma_B^2 + \left[p_A\mu_A^2 + p_B\mu_B^2 - (p_A \mu_A + p_B \mu_B)^2\right].$

আমরা এটি ব্যাখ্যা করতে পারি, , এবং একটি (প্রয়োজনীয় ধনাত্মক) সংশোধন শব্দটি সামগ্রিক মিশ্রণের সাথে সম্পর্কিত হিসাবে পৃথক উপকরণের পরিবর্তনের জন্য অ্যাকাউন্টে সংশোধন শর্ত $p_A\sigma_A^2 + p_B\sigma_B^2$

বিশ্লেষণকারী ডেটার ব্যাখ্যায় এই বৈকল্পিকতার উপযোগ যেমন প্রশ্নটিতে দেওয়া হয়েছে তা সন্দেহজনক, কারণ মিশ্রণ বিতরণটি সাধারণ হবে না (এবং এটি থেকে দ্বিপাক্ষিকতা প্রদর্শনের পরিমাণ পর্যন্ত যথেষ্ট পরিমাণে চলে যেতে পারে)।

— whuber
সূত্র

বিশেষত, উল্লেখ করে , আপনার শেষ ।

p_{A} + p_{B} = 1

$p_A+p_B=1$

σ^{2} = μ^{(2)} - μ^{2} = p_{A} σ_{A}^{2} + p_{B} σ_{B}^{2} + p_{A} p_{B} (μ_{A} - μ_{B})^{2}

$\sigma^2=\mu^{(2)}-\mu^2=p_A\sigma_A^2+p_B\sigma_B^2+p_Ap_B(\mu_A-\mu_B)^2$

— ইলমারি করোনেন

অথবা, যদি আমরা (ক মিশ্রণ ঘনত্ব জন্য একটি সম্ভাব্য ব্যাখ্যা আরোপ একটি ইভেন্ট আছে কি probabiity এর এবং শর্তাধীন ঘনত্ব দেওয়া হল যখন শর্তসাপেক্ষ ঘনত্ব দেওয়া হ'ল ), তারপরে ভার শর্তসাপেক্ষ পরিবর্তনের যোগফল এবং শর্তাধীন যোগফলের যোগফল। পরেরটি হ'ল একটি বিচ্ছিন্ন আরভি যার সাথে মানগুলি হয় সম্ভাব্যতা

এবং

A

$A$

p_{A}

$p_A$

X

$X$

A

$A$

N (μ_{A}, σ_{A}^{2})

$N(\mu_A,\sigma_A^2)$

X

$X$

A^{c} = B

$A^c = B$

N (μ_{B}, σ_{B}^{2})

$N(\mu_B,\sigma_B^2)$

(X)

$(X)$

Y

$Y$

μ_{A}, μ_{B}

$\mu_A, \mu_B$

p

$p$

q

$q$ এবং বর্গাকার বন্ধনীগুলিতে আপনার প্রকাশটি সহজেই

হিসাবে স্বীকৃত ।

E [Y^{2}] - (E [Y])^{2}

$E[Y^2]-(E[Y])^2$

— দিলীপ সরোতে 20'15

@ নিউডিমে সংজ্ঞা অনুসারে, ভিন্নতা দ্বিতীয় মুহুর্ত থেকে গড় স্কোয়ার বিয়োগ করবে। অতএব, দ্বিতীয় মুহূর্তটি হল ভেরিয়েন্স প্লাস গড় গড় স্কোয়ার।

— whuber

@Neodyme ব্যবহার

।

E (X) = μ

$E(X)=\mu$

— হোবার

@Kiran কিছু ক্ষেত্রে মিশ্রণ পারে যদিও চেহারা স্বাভাবিক, এটা হবে না। এটি দেখার একটি উপায় হ'ল এখানে দেওয়া সূত্রগুলি ব্যবহার করে এর অতিরিক্ত কুর্তোসিস গণনা করা। সমস্ত স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি সমান না হলে এটি ননজারো হবে - এই ক্ষেত্রে "মিশ্রণ" সত্যই প্রথম স্থানে মিশ্রণ নয়।

— হোবার