হাইপোথিসিসের সমান পি-মান ব্যবহার করে অনুমানকে প্রত্যাখ্যান করা কি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের সাথে সম্পর্কিত নয়?

আনুষ্ঠানিকভাবে একটি অনুমানের আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানটি অর্জন করার সময়, আমি একটি সূত্র দিয়ে শেষ করেছি যেভাবে $p$ ভ্যালুটি গণনা করা হয় তার সাথে খুব সান্নিধ্যপূর্ণ।

সুতরাং প্রশ্ন: তারা কি আনুষ্ঠানিকভাবে সমতুল্য? অর্থাত একটি অনুমানের প্রত্যাখ্যান করা হয় সমালোচনামূলক মান সমতূল্য সমালোচনামূলক মান আস্থা ব্যবধান একাত্মতার না ? $H_0 = 0$ $\alpha$ $0$ $\alpha$

hypothesis-testing confidence-interval p-value

— জর্জি লাইতাও
সূত্র

@f কপেন্স: হ্যাঁ, যদি দুটি পরিসংখ্যান ব্যবহার করা হয়, বিভিন্ন পরিসংখ্যান সহ, আপনি দুটি ভিন্ন আত্মবিশ্বাসের অন্তর দিয়ে শেষ করেন। তবে আমি মনে করি যে ওপি একটি মৌলিক সত্য আবিষ্কার করেছে: আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান এবং পি-মান উভয়ই একই পরিসংখ্যানের বিতরণ থেকে প্রাপ্ত, তাই উভয়ই নাল অনুমানকে প্রত্যাখ্যান করার বিষয়ে সিদ্ধান্ত নিতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

— StijnDeVuyst

@ স্টিজনডেভিয়েস্ট: একটি অনুপাতের জন্য ক্লপার / পিয়ারন ব্যবধান এবং একটি অনুপাতের জন্য স্টের্ন ব্যবধান উভয়ই একই আকারের দ্বিপদী বিতরণ থেকে প্রাপ্ত (পি অজানা কারণ তারা পি এর জন্য একটি আস্থা অন্তর খুঁজে পান)। ক্লোপার / পিয়ারসন এবং স্টের্নের মধ্যে পার্থক্য দ্বি-দ্বি ঘনত্বের অসম্পূর্ণতার কারণে। স্টের্ন অন্তর অন্তরের প্রস্থকে হ্রাস করার চেষ্টা করে এবং ক্লোপার_পিয়ারসন প্রতিসাম্যতা রাখার চেষ্টা করে (তবে দ্বিপদীটির সঙ্কোচনের কারণে এটি কেবল প্রায় পাওয়া যায়)।

সাধারণভাবে না, না। এমন ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন যেখানে ব্যবধানের প্রস্থটি অনুমিত প্যারামিটার মানের একটি ফাংশন, যখন পরীক্ষার জন্য অন্তরালের প্রস্থটি অনুমানযুক্তটির একটি ফাংশন। একটি সুস্পষ্ট উদাহরণ হ'ল দ্বিপদী পি পরীক্ষা করা। আসুন সাধারণ প্রায় ব্যবহার করা যাক। সরলতার জন্য (যদিও আর্গুমেন্টের ফর্ম এটি নির্ভর করে না)। N = 10 এবং p = 0.5 এর একটি নাল বিবেচনা করুন। 2 মাথা পর্যবেক্ষণ কল্পনা করুন; নাল প্রত্যাখ্যাত হয় না (কারণ "2" 0.5 সম্পর্কে একটি 95% ব্যবধান ভিতরে) কিন্তু পি জন্য সি আই 0.5 অন্তর্ভুক্ত নয় (কারণ সি আই নাল অধীনে বিরতি প্রস্থ চেয়ে সংকীর্ণ।

— Glen_b -Reinstate মনিকা

বা আপনার যদি এটির প্রায় বড় হওয়ার প্রয়োজন হয় যে স্বাভাবিক প্রায় ভাল হয় তবে এইচ 0 পি = 0.5 এর জন্য 1000 টি টসে 469 মাথা চেষ্টা করুন; আবার p এর জন্য 95% CI 0.5 এর অন্তর্ভুক্ত নয় তবে 5% পরীক্ষাটি প্রত্যাখ্যান করে না, কারণ H0 এর অধীনে অন্তর্গত প্রস্থটি বিকল্পের চেয়ে বৃহত্তর (যা আপনি সিআই থেকে করেন)।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

@ গ্লেেন_ বি: মনে হচ্ছে যে এই নতুন প্রশ্নটি stats.stackexchange.com/questions/173005 আপনি এখানে ঠিক কী পরিস্থিতির বর্ণনা দিচ্ছেন তার উদাহরণ দেয়।

— অ্যামিবা বলছেন মনিকাকে

উত্তর:

হ্যা এবং না.

প্রথমে "হ্যাঁ"

আপনি যা পর্যবেক্ষণ করেছেন তা হ'ল যখন একটি পরীক্ষা এবং আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান একই পরিসংখ্যানের উপর ভিত্তি করে হয়, তখন তাদের মধ্যে একটি সমতা হয়: আমরা ভ্যালুটিকে এর ক্ষুদ্রতম মান হিসাবে ব্যাখ্যা করতে পারি যার জন্য প্যারামিটারের নাল মান হবে অন্তর্ভুক্ত করা আস্থা ব্যবধান। $p$ $\alpha$ $1-\alpha$

যাক প্যারামিটার স্থান একটি অজানা প্যারামিটার হতে , এবং নমুনা দিন $\theta$ $\Theta\subseteq\mathbb{R}$ দৈব চলক একটি আদায় হতে। সরলতার জন্য, একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানএলোমেলো ব্যবধান হিসাবেসংজ্ঞায়িতকরুন এরকাভারেজ সম্ভাবনা $\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathcal{X}^ n\subseteq\mathbb{R}^n$ $\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n)$ $I_\alpha(\mathbf{X})$ (আপনি একইভাবে, আরও সাধারণ অন্তর বিবেচনা করতে পারে যেখানে কভারেজ সম্ভাব্যতা পারেন দ্বারা বেষ্টিত বা আনুমানিক হয় সমান । যুক্তি অনুরূপ।)

P_{θ} (θ \in I_{α} (X)) = 1 - α for all α \in (0, 1) .

$P_\theta(\theta\in I_\alpha(\mathbf{X}))= 1-\alpha\qquad\mbox{for all }\alpha\in(0,1).$

1 - α

$1-\alpha$

পয়েন্ট-নাল হাইপোথিসিস দ্বি-পক্ষীয় পরীক্ষা বিবেচনা করুন বিকল্প বিপরীতে । স্তর প্রত্যাখ্যান অঞ্চলটি হল এর সেট যা প্রত্যাখ্যান করে $H_0(\theta_0): \theta=\theta_0$ $H_1(\theta_0): \theta\neq \theta_0$ । আসুন পরীক্ষার পি-মান বোঝায়। যে কোনও , স্তরে প্রত্যাখ্যান করা হয় যদি $\lambda(\theta_0,\mathbf{x})$ $\alpha\in(0,1)$ $H_0(\theta_0)$ $\alpha$ $\lambda(\theta_0,x)\leq\alpha$ $\alpha$ $\mathbf{x}$ $H_0(\theta_0)$ :

{আর}_{α} (θ_{0}) = {এক্স \in {আর}^{এন} : λ (θ_{0}, এক্স) \leq α} ।

$R_\alpha(\theta_0)=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n: \lambda(\theta_0,\mathbf{x})\leq\alpha\}.$

এখন, সঙ্গে P-মান দ্বি-পার্শ্বযুক্ত পরীক্ষার একটি পরিবার বিবেচনা জন্য, । যেমন একটি পরিবার আমরা একটি বর্ণনা করতে পারেন উল্টানো প্রত্যাখ্যান অঞ্চল $\lambda(\theta,\mathbf{x})$ $\theta\in\Theta$

{প্রশ্নঃ}_{α} (এক্স) = {θ \in Θ : λ (θ, এক্স) \leq α} ।

$Q_\alpha(\mathbf{x})=\{\theta\in\Theta: \lambda(\theta,\mathbf{x})\leq\alpha\}.$

যে কোনও নির্দিষ্ট , প্রত্যাখ্যান করা হয়, যা যদি ঘটে এবং কেবল যদি , তবে, যদি পরীক্ষাটি নির্দিষ্টভাবে সম্পূর্ণ নিখরচীন নাল বিতরণ সহ কোনও পরীক্ষার পরিসংখ্যানের ভিত্তিতে থাকে তবে $\theta_0$ $H_0(\theta_0)$ $\mathbf{x}\in R_\alpha(\theta_0)$ $\theta_0\in Q_\alpha(\mathbf{x})$

এক্স \in {আর}_{α} (θ_{0}) \Leftrightarrow θ_{0} \in {প্রশ্নঃ}_{α} (এক্স) ।

$\mathbf{x}\in R_\alpha(\theta_0) \Leftrightarrow \theta_0\in Q_\alpha(\mathbf{x}).$

অধীনে

। তারপর

যেহেতু এই সমীকরণটি কোনও

জন্য ধারণ করে

λ (θ_{0}, X) \sim U (0, 1)

$\lambda(\theta_0,\mathbf{X})\sim \mbox{U}(0,1)$

H_{0} (θ_{0})

$H_0(\theta_0)$

{পি}_{θ_{0}} (এক্স \in {আর}_{α} (θ_{0})) = {পি}_{θ_{0}} (λ (θ_{0}, এক্স) \leq α) = α ।

$P_{\theta_0}(\mathbf{X}\in R_\alpha(\theta_0))=P_{\theta_0}(\lambda(\theta_0,\mathbf{X})\leq\alpha)=\alpha.$

θ_{0} \in Θ

$\theta_0\in\Theta$ এবং যেহেতু উপরের সমীকরণটি সূচিত করে যে

এটি অনুসরণ করে যে এলোমেলো সেট

সর্বদা সত্য প্যারামিটার

সম্ভাব্যতা সঙ্গে

। ফলে, লেট

সম্পূরক বোঝাতে

{পি}_{θ_{0}} (এক্স \in {আর}_{α} (θ_{0})) = {পি}_{θ_{0}} (θ_{0} \in {প্রশ্নঃ}_{α} (এক্স)),

$P_{\theta_0}(\mathbf{X}\in R_\alpha(\theta_0))=P_{\theta_0}(\theta_0\in Q_\alpha(\mathbf{X})),$

Q_{α} (x)

$Q_\alpha(\mathbf{x})$

θ_{0}

$\theta_0$

α

$\alpha$

Q_{α}^{C} (x)

$Q_\alpha^C(\mathbf{x})$

, জন্য সব

আমরা আছে

যার মানে হল উল্টানো প্রত্যাখ্যান অঞ্চলের সম্পূরক একটি হল

জন্য আস্থা ব্যবধান

।

Q_{α} (x)

$Q_\alpha(\mathbf{x})$

θ_{0} \in Θ

$\theta_0\in\Theta$

{পি}_{θ_{0}} (θ_{0} \in {প্রশ্নঃ}_{α}^{সি} (এক্স)) = 1 - α,

$P_{\theta_0}(\theta_0\in Q_\alpha^C(\mathbf{X}))=1-\alpha,$

1 - α

$1-\alpha$

θ

$\theta$

$z$ $\theta$ $\bar{x}$ $\sigma=1$ $H_0(\theta)$ $(\bar{x},\theta)$ $R_{0.05}(-0.9)=(-\infty,-1.52)\cup(-0.281,\infty)$ $I_{0.05}(1/2)=Q_{0.05}^C(1/2)=(-0.120,1.120)$

(এর বেশিরভাগ অংশ আমার পিএইচডি থিসিস থেকে নেওয়া হয়েছে ।)

এখন "না" এর জন্য

$\theta$ $X$

এই ঘটনাটি যেমন অন্তরগুলি ঘন ঘন না ঘটাতে সম্পর্কিত সমস্যাগুলির সাথে সম্পর্কিত, যার অর্থ 94% ব্যবধান 95% ব্যবধানের চেয়ে কম হতে পারে। এ সম্পর্কে আরও তথ্যের জন্য , আমার এই সাম্প্রতিক কাগজের বিভাগটি 2.5 দেখুন (বার্নৌলিতে উপস্থিত হতে)।

এবং একটি দ্বিতীয় "না"

$\theta_0=0$

এবং কখনও কখনও "হ্যাঁ" ভাল জিনিস নয়

একটি মন্তব্যে এফ কোপেন্স দ্বারা চিহ্নিত হিসাবে , কখনও কখনও বিরতি এবং পরীক্ষার কিছুটা বিরোধী লক্ষ্য থাকে। আমরা উচ্চ ক্ষমতার সাথে সংক্ষিপ্ত বিরতি এবং পরীক্ষা চাই, তবে সংক্ষিপ্ত বিরতি সর্বদা সর্বোচ্চ শক্তির সাথে পরীক্ষার সাথে মিল রাখে না। এর কয়েকটি উদাহরণের জন্য, এই গবেষণাপত্রটি (মাল্টিভারিয়েট স্বাভাবিক বিতরণ), বা এটি (সূচকীয় বিতরণ), বা আমার থিসিসের বিভাগ 4 দেখুন ।

বায়েশিয়ানরা হ্যাঁ এবং না উভয়ই বলতে পারে

কয়েক বছর আগে, আমি বেয়েশিয়ার পরিসংখ্যানগুলিতে একটি পরীক্ষা-বিরতি-সমতাও বিদ্যমান কিনা তা নিয়ে আমি এখানে একটি প্রশ্ন পোস্ট করেছি । সংক্ষিপ্ত উত্তরটি হ'ল মানক বায়েশিয়ান হাইপোথিসিস টেস্টিং ব্যবহার করে উত্তরটি "না"। পরীক্ষার সমস্যাটিকে কিছুটা সংশোধন করে, উত্তরটি অবশ্য "হ্যাঁ" হতে পারে। (আমার নিজের প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য আমার প্রচেষ্টা শেষ পর্যন্ত একটি কাগজে পরিণত হয়েছিল !)

— MånsT
সূত্র

সুন্দর উত্তর (+1) এবং (আপনি আংশিকভাবে এটি করেন) এটি উল্লেখ করা ভাল হতে পারে যে কখনও কখনও আত্মবিশ্বাসের অন্তর এবং অনুমানের পরীক্ষাগুলি বিরোধী লক্ষ্যগুলি রাখে: একজন 'যতটা সম্ভব ছোট' একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান সন্ধান করার চেষ্টা করে অনুমানের পরীক্ষার জন্য একটি সমালোচনামূলক অঞ্চল 'যতটা সম্ভব শক্তিশালী' খুঁজে পাওয়ার চেষ্টা করে।

@fcoppens: পরামর্শের জন্য ধন্যবাদ! আমি এই সম্পর্কে কিছু লাইন দিয়ে আমার উত্তর আপডেট করেছি।

— MånsT

নিস থিসিস! আপনি পাশাপাশি স্টের্ন বিরতিতে কাজ করেছেন?

@fcoppens: হ্যাঁ, আমি স্টের্নের ব্যবধানে কিছু কাজ করেছি, মূলত এই কাগজে

— MTnsT

T_{1} = (\hat{p} - p) / \sqrt{\hat{p} (1 - \hat{p}) / n}

$T_1=(\hat{p}-p)/\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$

T_{2} = (\hat{p} - p) / \sqrt{p (1 - p) / n}

$T_2=(\hat{p}-p)/\sqrt{p(1-p)/n}$ । ডিনোমিনেটরের পার্থক্যটি নোট করুন। আপনি উভয়ই পরিসংখ্যান ব্যবহার করে পরীক্ষা এবং বিরতি তৈরি করতে পারেন এবং যতক্ষণ না আপনি উভয়ের জন্য একই পরিসংখ্যান ব্যবহার করেন ততক্ষণ কোনও তাত্পর্য থাকবে না।

— MånsT

একটি একক প্যারামিটারের দিকে তাকানোর সময়, প্যারামিটারের মান এবং আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান "মিলহীন" কীভাবে তারা নির্মিত হয় তার উপর নির্ভর করে কোনও পরীক্ষা করা সম্ভব। বিশেষত, একটি হাইপোথিসিস পরীক্ষা একটি স্তর $\alpha$ -তম, যদি এটি নাল অনুমানটিকে একটি অনুপাতকে প্রত্যাখ্যান করে $\leq \alpha$ নাল অনুমানটি সত্য যখন সময়। সেই কারণে কেউ উদাহরণস্বরূপ মডেল প্যারামিটারগুলির অনুমানগুলি ব্যবহার করতে পারেন (যেমন বৈকল্পিক) যা কেবল নাল অনুমানের অধীনে বৈধ। এরপরে যদি কেউ এই পরীক্ষাটি উল্টিয়ে সিআই তৈরির চেষ্টা করে তবে বিকল্প অনুমানের অধীনে কভারেজটি বেশ সঠিক হতে পারে না। যে কারণে একজন সাধারণত একটি আস্থা অন্তর আলাদাভাবে আলাদাভাবে তৈরি করেন যাতে কভারেজটিও ঠিক সেই বিকল্পের অধীনে থাকে, যা পরে (সাধারণত খুব ছোট) অমিলের দিকে নিয়ে যায়।

— Björn
সূত্র