চমৎকার উদাহরণ যেখানে ইউনিট রুট ছাড়াই একটি সিরিজটি স্থির নয়?

আমি বহুবার দেখেছি লোকজন ডিকি-ফুলার পরীক্ষায় নালকে প্রত্যাখ্যান করে , এবং তারপরে দাবি করে যে এটি দেখায় যে তাদের সিরিজটি স্থিতিশীল (দুর্ভাগ্যক্রমে, আমি এই দাবির উত্সগুলি প্রদর্শন করতে পারি না, তবে আমি কল্পনা করি যে এখানে একই রকম দাবি রয়েছে এবং সেখানে এক বা অন্য জার্নাল)।

আমি যুক্তি দিচ্ছি যে এটি একটি ভুল বোঝাবুঝি (ইউনিট মূলের নূলে প্রত্যাখ্যান করা অবশ্যই স্থির সিরিজ হিসাবে একই জিনিস নয়, বিশেষত যেহেতু ননস্টেশনারিটির বিকল্প রূপগুলি খুব কম তদন্ত করা হয় বা এমনকি যখন এই ধরনের পরীক্ষা করা হয় তখনও বিবেচনা করা হয়)।

আমি যা চাই তা হ'ল:

ক) দাবির পক্ষে একটি সুন্দর পরিষ্কার প্রতিবেদন (আমি এই মুহূর্তে একটি দম্পতি কল্পনা করতে পারি তবে আমি বাজি ধরছি যে আমার মনের চেয়ে অন্য কারও কিছু ভাল থাকবে)। এটি কোনও নির্দিষ্ট পরিস্থিতির বর্ণনা হতে পারে, সম্ভবত ডেটা সহ (সিমুলেটেড বা রিয়েল; উভয়েরই সুবিধা রয়েছে); অথবা

খ) একটি যুক্তিযুক্ত যুক্তি কেন একটি বর্ধিত ডিকি-ফুলারকে প্রত্যাখ্যান করা স্থিরত্ব হিসাবে দেখানো উচিত ?

(বা এমনকি উভয়ই (ক) এবং (খ) যদি আপনি বুদ্ধিমান বোধ করেন)

— গ্লেন_বি -রাইনস্টেট মনিকা
সূত্র

X_{n} = (- 1)^{n}

$X_n = (-1)^n$ সম্ভাব্যতার সাথে 1.

— কার্ডিনাল

@ কার্ডিনাল ওয়েল, এটি অবশ্যই এডিএফ পরীক্ষার দ্বারা প্রত্যাখ্যান পাবে (সম্পাদনা: হ্যাঁ, এটি করে), এবং এটি স্পষ্টতই অবিরাম (ইউনিট বৃত্তের একটি শিকড়, তবে এডিএফ সনাক্ত করে এমন 1 এর সমান মূল নয়); সুতরাং যে গণনা করা হবে।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

নোট করুন যে এডিএফ পরীক্ষার বিভিন্ন রূপ রয়েছে যেখানে প্রবণতা অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। নালটি প্রত্যাখ্যান করা হলে, ধারাটি ট্রেন্ড-স্টেশনারি, অর্থাত্ ট্রেন্ডটি সরানো থাকলে নিশ্চল, তবে তবুও স্থির নয়।

— এমপিটকাস

+1 টি। Glen_b, একটি রৈখিক প্রবণতা + স্থিতিশীল এআর (1) শব্দকে একটি পাল্টা উদাহরণ হিসাবে গণনা করবে?

— অ্যামিবা বলেছেন মনিকা পুনরায়

উত্তর:

এখানে স্টেশনের বিহীন সিরিজের একটি উদাহরণ রয়েছে যা একটি সাদা শব্দ পরীক্ষাও সনাক্ত করতে পারে না (ডিকি-ফুলার ধরণের পরীক্ষাটি ছেড়ে দেওয়া হোক):

হ্যাঁ, এটি আশ্চর্যজনক হতে পারে তবে এটি সাদা শব্দ নয় ।

বেশিরভাগ স্থিতিশীল কাউন্টার উদাহরণ স্থিতিশীলের প্রথম দুটি শর্ত লঙ্ঘনের উপর ভিত্তি করে: ডিটারমিনিস্টিক ট্রেন্ডস (অ-ধ্রুবক গড়) বা ইউনিট রুট / হেটেরোস্কেস্টেস্টিক টাইম সিরিজ (অ-ধ্রুবক বৈকল্পিক)। যাইহোক, আপনার অ স্থির প্রক্রিয়াও থাকতে পারে যার স্থির গড় এবং বৈচিত্র রয়েছে তবে তারা তৃতীয় শর্ত লঙ্ঘন করে: স্বতঃসংশ্লিষ্ট ফাংশন (এসিভিএফ) সময়ের সাথে ধ্রুবক হওয়া উচিত এবং একটি ফাংশনকেবল. $cov(x_s, x_t)$ $|s-t|$

উপরের সময় সিরিজটি এই জাতীয় সিরিজের উদাহরণ, যার শূন্য গড়, ইউনিট বৈকল্পিক, তবে এসিভিএফ সময়ের উপর নির্ভর করে। আরও স্পষ্টভাবে, উপরের প্রক্রিয়াটি স্থানীয়ভাবে স্থানীয় এমএ (1) প্যারামিটার সহ এমন প্রক্রিয়া যা এটি উত্সাহী সাদা শব্দে পরিণত হয় (নীচে উল্লেখগুলি দেখুন): এমএ প্রক্রিয়াটির পরামিতি পরিবর্তন হয়েছে সময় $x_t = \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1}$

θ_{1} (u) = 0.5 - 1 \cdot u,

$\theta_1(u) = 0.5 - 1 \cdot u,$

যেখানে সময় স্বাভাবিক হয়। এটি সাদা শব্দের মতো দেখানোর কারণ (যদিও গাণিতিক সংজ্ঞা অনুসারে এটি পরিষ্কারভাবে নয়), এটি হ'ল সময়ের সাথে সাথে এসিভিএফের সময় পরিবর্তিত হয়ে শূন্যের সাথে সংহত হয়। যেহেতু নমুনা এসিভিএফ গড় এসিভিএফ-তে রূপান্তরিত হয়, এর অর্থ হ'ল নমুনা অটোোকোরিয়েন্স (এবং স্বতঃসংশোধন (এসিএফ)) এমন কোনও ফাংশনে রূপান্তরিত করবে যা সাদা শব্দের মতো দেখায়। সুতরাং এমনকি লজং-বাক্স পরীক্ষাও এই অ-স্টেশনারিটি সনাক্ত করতে সক্ষম হবে না। স্থানীয়ভাবে স্থানীয় বিকল্পগুলির বিরুদ্ধে সাদা গোলমালের জন্য পরীক্ষার উপর কাগজ (অস্বীকৃতি: আমি লেখক) এই জাতীয় স্থানীয় প্রক্রিয়াগুলি মোকাবেলা করার জন্য বাক্স পরীক্ষার একটি বর্ধনের প্রস্তাব দেয়। $u = t/ T$

আরও আর কোড এবং আরও তথ্যের জন্য এই ব্লগ পোস্টটি দেখুন ।

এমপিটাস মন্তব্য করার পরে আপডেট করুন :

$\theta(u)$ $\gamma_{\theta}(k, u)$ $\widehat{\theta}$ $\theta(u)$ $\theta(u) - \widehat{\theta}$ $\widehat{\theta}$

আসুন একটি উদাহরণ তাকান

library(fracdiff)
library(data.table)

tree.ring <- ts(fread(file.path(data.path, "tree-rings.txt"))[, V1])
layout(matrix(1:4, ncol = 2))
plot(tree.ring)
acf(tree.ring)
mod.arfima <- fracdiff(tree.ring)
mod.arfima$d


## [1] 0.236507

$\widehat{d} = 0.23$ $\widehat{d} < 0.5$

arfima.res <- diffseries(tree.ring, mod.arfima$d)
plot(arfima.res)
acf(arfima.res)

ভাল লাগছে তো? ঠিক আছে, বিষয়টি হ'ল বাকী অংশগুলি সাদা শোরগোল । আমি কিভাবে জানবো? প্রথমত, আমি এটি পরীক্ষা করতে পারি

Box.test(arfima.res, type = "Ljung-Box")
## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  arfima.res
## X-squared = 1.8757, df = 1, p-value = 0.1708

Box.test.ls(arfima.res, K = 4, type = "Ljung-Box")
## 
##  LS Ljung-Box test; Number of windows = 4; non-overlapping window
##  size = 497
## 
## data:  arfima.res
## X-squared = 39.361, df = 4, p-value = 5.867e-08

এবং দ্বিতীয়টি, আমরা সাহিত্যের থেকে জানি যে বৃক্ষের রিংয়ের ডেটা আসলে স্থানীয়ভাবে স্থিতিশীল ভগ্নাংশের শব্দ: গোয়ার্গ (২০১২) এবং ফেরেরিরা , ওলেয়া এবং পালমা (২০১৩) দেখুন ।

এটি দেখায় যে আমার - স্বীকৃত - তাত্ত্বিকভাবে দেখার উদাহরণটি আসলে বেশিরভাগ বাস্তব বিশ্বের উদাহরণগুলিতে ঘটছে।

— জর্জি এম গোয়ার্গ
সূত্র

+1, খুব সুন্দর উদাহরণ! আমি আগ্রহী যদিও এই জাতীয় সিরিজের কোনও বাস্তব জীবনের উদাহরণ আছে?

— এমপিক্টাস

@ এমপিক্টাস আমি পোস্টে একটি আপডেট যুক্ত করেছি যাতে আপনার প্রশ্নের উত্তর দেওয়া উচিত।

— জর্জি এম। গের্গ

γ_{1} (u) = θ (u)

$\gamma_1(u)=\theta(u)$

σ (u) σ (u - 1 / T) θ (u)

$\sigma(u)\sigma(u-1/T)\theta(u)$

{\hat{γ}}_{1}

$\hat\gamma_1$

\int_{0}^{1} θ (u) d u = 0

$\int_0^1\theta(u)du=0$

\int_{0}^{1} θ (u) σ^{2} (u) d u = 0

$\int_0^1\theta(u)\sigma^2(u)du=0$

σ (u)

$\sigma(u)$

θ (u)

$\theta(u)$

ε_{t}

$\varepsilon_t$

আপনার প্রদত্ত উদাহরণটি বলে যে আমাদের যখন সময় পরিবর্তিত মডেল থাকে তখন নন-টাইম বিবিধ মডেলকে সঠিকভাবে ভুল অনুমিতিতে পরিচালিত করে। তবে এটি বলার অপেক্ষা রাখে না যে প্রতিটি আসল সময় সিরিজকে সময়-পরিবর্তিত মডেলের সাথে মডেল করা যায়। অন্যদিকে আপনার পরীক্ষার সময়-পরিবর্তনের উপস্থিতি পরীক্ষা করার জন্য প্রয়োগ করা যেতে পারে। একটি আকর্ষণীয় অন্তর্দৃষ্টি জন্য আবার ধন্যবাদ।

— এমপিক্টাস

σ (u)^{2}

$\sigma(u)^2$

0.5

$0.5$

T \to \infty

$T \rightarrow \infty$

উদাহরণ 1

শক্তিশালী নেতিবাচক এমএ উপাদান সহ ইউনিট-রুট প্রক্রিয়াগুলি নামমাত্রের তুলনায় অনেক বেশি উচ্চতর অভিজ্ঞতার আকারের সাথে এডিএফ পরীক্ষার দিকে পরিচালিত হয় (যেমন , শোয়ার্ট, জেবিইএস 1989 )।

Y_{t} = Y_{t - 1} + ϵ_{t} + θ ϵ_{t - 1},

$Y_t=Y_{t-1}+\epsilon_t+\theta\epsilon_{t-1},$

θ \approx - 1

$\theta\approx-1$

$T(\hat\rho-1)$

library(urca)
reps <- 1000
n <- 100
rejections <- matrix(NA,nrow=reps)

for (i in 1:reps){
  y <- cumsum(arima.sim(n = n, list(ma = -0.98)))
  rejections[i] <- (summary(ur.df(y, type = "drift", selectlags="Fixed",lags=12*(n/100)^.25))@teststat[1] < -2.89)
}
mean(rejections)

উদাহরণ 2

$Y_t$

বৈকল্পিক পরিবর্তনের ধরণের উপর নির্ভর করে এডিএফ পরীক্ষা এখনও প্রায়শই প্রত্যাখ্যান করবে। আমার নীচের উদাহরণে, আমাদের নিম্নমুখী বৈকল্পিক বিরতি রয়েছে, যা পরীক্ষাটি "বিশ্বাস" করে তোলে যে সিরিজটি রূপান্তর করে, যার ফলে ইউনিট মূলের নালকে প্রত্যাখ্যান করা হয়।

library(urca)
reps <- 1000
n <- 100
rejections <- matrix(NA,nrow=reps)

for (i in 1:reps){
  u_1 <- rnorm(n/2,sd=5)
  u_2 <- rnorm(n/2,sd=1)
  u <- c(u_1,u_2)
  y <- arima.sim(n=n,list(ar = 0.8),innov=u)
  rejections[i] <- (summary(ur.df(y, type = "drift"))@teststat[1] < -2.89)      
}
mean(rejections)

(একদিকে যেমন, এডিএফ পরীক্ষা নিঃশর্ত হিটারোসেকস্টাস্টিটির উপস্থিতিতে তার মূল অ্যাসিপটোটিক নাল বিতরণকে "হারায়"))

— ক্রিস্টোফ হ্যাঙ্ক
সূত্র

@ গ্লেন_বি, এটি (আমি আশা করি) আপনার প্রথম অনুচ্ছেদে একটি উত্তর হতে পারে তবে সত্যই আপনার প্রশ্নের শিরোনামের পক্ষে নয় - আমার দিক থেকে কোনও তাত্পর্য বা বোঝার অভাব আছে কি?

— ক্রিস্টোফ হ্যাঙ্ক

"সেই" = উদাহরণ 1

— ক্রিস্টোফ হ্যাঙ্ক

এটি "ইউনিট রুট" কী হিসাবে সংজ্ঞায়িত হয়েছে তার উপর নির্ভর করে। আমি মূলত (মডুলাস 1 একটি রুট) "ইউনিট বৃত্ত উপর রুট" হিসাবে জানা কিন্তু এখন মনে করা হয় (এবং ADF পরীক্ষা প্রেক্ষাপটে সম্পর্কিত) চরিত্রগত বহুপদী একটা মূল আসলে 1 এর সমান । এমনকি শিরোনামটিতে আমার যদি ভুল ধারণা থাকে তবে আপনার উত্তর উদ্দেশ্যপ্রাপ্ত প্রশ্নের প্রতিক্রিয়া জানায়, তাই মনে করুন এটি ঠিক আছে।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

আমার বক্তব্যটি সম্ভবত স্পষ্টভাবে বর্ণিত নয়: শিরোনামে আপনি "ইউনিট মূল ছাড়াই" সিরিজের উদাহরণগুলি সন্ধান করেন, যখন প্রথম অনুচ্ছেদটি (আমার কাছে) এমন উদাহরণগুলির সন্ধানের মতো মনে হচ্ছে যাতে প্রত্যাখ্যান করা ভুল। আমার প্রথম উদাহরণটি উত্তরোত্তর ক্ষেত্রে একটি, যার মধ্যে এডিএফ প্রত্যাখ্যান হওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে, যদিও প্রক্রিয়াটির একক মূল রয়েছে।

— ক্রিস্টোফ হ্যাঙ্ক

আহ, দুঃখিত, আমি এটি সম্পর্কে সঠিকভাবে ভাবছিলাম না। হ্যাঁ, এটি শিরোনামের কোনও ব্যাখ্যা দিয়েই কঠোরভাবে নয়, তবে এটি এখনও শরীরে বিস্তৃত প্রশ্নের জবাব দেয়। (শিরোনাম অগত্যা কম উপেক্ষিত হয়, সুতরাং এটি কোনও সমস্যা নয়।) ... আমি মনে করি এটি একটি খুব আকর্ষণীয় উত্তর, এবং শিরোনাম যা চেয়েছে তার চেয়ে ভাল কিছু যদি আমার আসল উদ্দেশ্য অর্জন করে।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

ইউনিট রুট টেস্টিং কুখ্যাতভাবে কঠিন। একটি পরীক্ষা ব্যবহার করা সাধারণত পর্যাপ্ত নয় এবং পরীক্ষাটি যে সঠিক অনুমানগুলি ব্যবহার করছে তা সম্পর্কে আপনার অবশ্যই খুব সতর্কতা অবলম্বন করা উচিত।

এডিএফটি যেভাবে নির্মিত হয় তা এটিকে সিরিজের জন্য ঝুঁকিপূর্ণ করে তোলে যা যুক্ত শ্বেত শব্দের সাথে সাধারণ অ-রৈখিক প্রবণতা। এখানে একটি উদাহরণ:

library(dplyr)
library(tseries)
set.seed(1000)
oo <- 1:1000  %>% lapply(function(n)adf.test(exp(seq(0, 2, by = 0.01)) + rnorm(201)))
pp <- oo %>% sapply("[[","p.value")

> sum(pp < 0.05)
[1] 680

এখানে আমাদের সূচকীয় প্রবণতা রয়েছে এবং আমরা দেখতে পাই যে এডিএফ বেশ খারাপভাবে পারফর্ম করে। এটি 30% সময়ের ইউনিটের মূলের শূন্যতা গ্রহণ করে এবং 70% সময়টিকে প্রত্যাখ্যান করে।

সাধারণত কোনও বিশ্লেষণের ফলাফল দাবি করা হয় না যে এই সিরিজটি স্থির কিনা। বিশ্লেষণে ব্যবহৃত পদ্ধতিগুলির যদি স্থিতাবস্থার প্রয়োজন হয়, তবে ভুল অনুমান যে সিরিজটি স্থির হয় যখন এটি আসলে হয় না, সাধারণত কোনওভাবে বা অন্যভাবে উদ্ভাসিত হয়। সুতরাং আমি ব্যক্তিগতভাবে পুরো বিশ্লেষণটি দেখি, কেবল ইউনিট মূল পরীক্ষার অংশটি নয়। উদাহরণস্বরূপ, ওএলএস এবং এনএলএস স্থিতিশীল নয় এমন ডেটার জন্য সূক্ষ্মভাবে কাজ করে, যেখানে অ-স্টেশনারিটি মানে, অর্থাত্ প্রবণতা। সুতরাং কেউ যদি ভুলভাবে দাবি করে যে এই সিরিজটি স্থির এবং ওএলএস / এনএলএস প্রয়োগ করে, তবে এই দাবি প্রাসঙ্গিক নাও হতে পারে।

— mpiktas
সূত্র

p > 0.05

$p>0.05$

হ্যাঁ, আমি লক্ষণগুলি বিভ্রান্ত করেছি। আমি সেই অনুযায়ী উত্তর স্থির করলাম। দেখার জন্য ধন্যবাদ!

— এমপিটকাস

আপনি কেন ব্যবহার করেননি sapply(oo, "[[","p.value")?

— জীবাণু সিডি

আমি এটি কেবল পাইপ সিনট্যাক্স সহ ব্যবহার করেছি। আমি পাইপগুলি পছন্দ করি :)

— এমপিটকাস

আমি dplyr খুব পছন্দ করি। এই কোডের জন্য এটি অপ্রয়োজনীয়, ম্যাজিট্রিট লোড করা যথেষ্ট।

— এমপিক্টাস