বিপরীত রূপান্তর পদ্ধতি কীভাবে কাজ করে?

Question

বিপরীতমুখী পদ্ধতি কীভাবে কাজ করে?
আমি একটি র্যান্ডম নমুনা আছে বলুন সঙ্গে ঘনত্ব উপর 0 <এক্স <1 এবং সেইজন্য সঙ্গে সিডিএফ F_X (x) এর = এক্স ^ {1 / \ থেটা} উপর (0,1) । তারপরে বিবর্তন পদ্ধতিতে আমি এক্স এর বিতরণটি F_X ^ {- 1} (u) = u ^ \ থিতা হিসাবে পেয়েছি । $X_1,X_2,...,X_n$$f(x;\theta)={1\over \theta} x^{(1-\theta)\over \theta}$
$0<x<1$$F_X(x)=x^{1/\theta}$$(0,1)$$X$$F_X^{-1}(u)=u^\theta$

সুতরাং করে $u^\theta$ বিতরণের হয়েছে $X$ ? বিপরীত পদ্ধতিটি কী এভাবে কাজ করে?

u<-runif(n)
x<-u^(theta)

Comments

সম্ভাবনা অবিচ্ছেদ্য রূপান্তর উপর আমাদের থ্রেড দেখুন ।

— হোবার

হ্যাঁ, যদিও এটি সাধারণত "সম্ভাব্য ইন্টিগ্রাল ট্রান্সফর্ম" নামে পরিচিত। এটি কেন কাজ করে তা দেখতে F ^ 1 - 1} (U) এর বিতরণ ফাংশনটি উপভোগ করার চেষ্টা করুন $F^{-1}(U)$।

— dsaxton

Answer 1

পদ্ধতিটি খুব সহজ, তাই আমি এটি সহজ কথায় বর্ণনা করব। প্রথমে, আপনি যে নমুনা থেকে নমুনা করতে চান তার কিছু সংযোজন বিতরণ ফাংশন নিন। ফাংশনটি ইনপুট হিসাবে কিছু মান নেয় এবং আপনাকে পাওয়ার সম্ভাবনা কী তা বলে দেয় । সুতরাং$F_X$$x$$X \leq x$

$$F_X(x) = \Pr(X \leq x) = p$$

এই জাতীয় ফাংশন , ইনপুট হিসাবে গ্রহণ করবে এবং ফিরে আসবে । লক্ষ করুন যে, 'র অবিশেষে বিতরণ করা হয় - এই থেকে স্যাম্পলিং জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে আপনি যদি জানেন । পদ্ধতিটিকে ইনভার্স ট্রান্সফর্ম স্যাম্পলিং বলা হয় । ধারণা খুব সহজ: এটা থেকে অবিশেষে নমুনা মান সহজ , তাই আপনি যদি কিছু থেকে নমুনা করতে চান শুধু মান নিতে এবং পাস মাধ্যমে প্রাপ্ত এর পি এক্স পি এফ এক্স এফ - 1 এক্স ইউ ( 0 , 1 ) এফ এক্স ইউ ∼ ইউ ( 0 , 1 ) ইউ এফ - 1$F_X^{-1}$$p$$x$$p$$F_X$$F_X^{-1}$$U(0, 1)$$F_X$$u \sim U(0, 1)$$u$$F_X^{-1}$$x$

$$F_X^{-1}(u) = x$$

বা আর (সাধারণ বিতরণের জন্য)

U <- runif(1e6)
X <- qnorm(U)

এটি নিচের সিডিএফটির দিকে নজর দেওয়ার জন্য, সাধারণত, আমরা এক্সিস থেকে মানগুলির সম্ভাব্যতার জন্য -axis সন্ধানের ক্ষেত্রে বিতরণগুলি ভাবি । এই নমুনা পদ্ধতিটি আমরা বিপরীতে করি এবং "সম্ভাব্যতা" দিয়ে শুরু করি এবং তাদের সাথে সম্পর্কিত মানগুলি চয়ন করতে তাদের ব্যবহার করি। পৃথক বিতরণের মাধ্যমে আপনি কে থেকে অবধি লাইন হিসাবে বিবেচনা করেন এবং এই রেখার উপরে কোথায় অবস্থান করেন তার উপর ভিত্তি করে মান নির্ধারণ করে (যেমন যদি বা যদি থেকে নমুনা দেওয়ার জন্য )।x U 0 1 u 0 0 ≤ u < 0.5 1 0.5 ≤ u ≤ 1 বি ই আর এন ও ও এল এল আই ( 0.5 $y$$x$$U$$0$$1$$u$$0$$0 \leq u < 0.5$$1$$0.5 \leq u \leq 1$$\mathrm{Bernoulli}(0.5)$

দুর্ভাগ্যক্রমে, এটি সর্বদা সম্ভব না যেহেতু প্রতিটি ক্রিয়াকলাপের বিপরীত থাকে না, উদাহরণস্বরূপ আপনি বিভাজনে বিতরণ দিয়ে এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করতে পারবেন না। এটি সব পরিস্থিতিতে সবচেয়ে কার্যকর পদ্ধতি হতে হবে না, অনেক ক্ষেত্রে আরও ভাল অ্যালগরিদম বিদ্যমান ms

আপনি the বিতরণ কী তা জিজ্ঞাসা করুন । যেহেতু বিপরীতমুখী তাই এবং , তাই হ্যাঁ, মানগুলি ব্যবহার করে প্রাপ্ত যেমন পদ্ধতি সমান বিতরণ আছে । আপনি একটি সাধারণ সিমুলেশন দ্বারা এটি পরীক্ষা করতে পারেনএফ - 1 এক্স এফ এক্স এফ এক্স ( এফ - 1 এক্স ( ইউ ) ) = ইউ এফ - 1 এক্স ( এফ এক্স ( এক্স ) ) = এক্স $F_X^{-1}(u)$$F_X^{-1}$$F_X$$F_X(F_X^{-1}(u)) = u$$F_X^{-1}(F_X(x)) = x$$X$

U <- runif(1e6)
all.equal(pnorm(qnorm(U)), U)

Comments

ভাল উত্তর. এই পদ্ধতিটি কার্যকর হয় যখন আপনি ক্ষণস্থায়ী, কাউচি, জ্যামিতিক, পেরেটো, লজিস্টিক, চূড়ান্ত মান ওয়েইবুল ইত্যাদি বিতরণ থাকে উদাহরণস্বরূপ আপনি সাধারণ বন্টনের জন্য কোনও বদ্ধ ফর্মটি খুঁজে পাবেন না । অতএব আপনি এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করতে পারবেন না। আপনি অন্যান্য পদ্ধতি যেমন প্রত্যাখ্যান পদ্ধতি চেষ্টা করতে পারেন ।

— আব্বাস সালিমি

আপনি সাধারণ বিতরণের সাথে বিপরীত রূপান্তর পদ্ধতিটি ব্যবহার করতে পারেন। সাধারণ বিপরীতমুখী সিডিএফের জন্য সেখানে প্রচুর বাস্তবায়ন রয়েছে । উদাহরণস্বরূপ, আপনি পরিপূরক ত্রুটি ফাংশনটি ব্যবহার করে সাধারণ ইনভার্স সিডিএফ লিখতে পারেন । এরফ্যাকের একটি উদাহরণ বাস্তবায়ন এখানে । নিজেকে আরএফসি কোড করবেন না; একটি লাইব্রেরি ব্যবহার করুন। কোনও বদ্ধ ফর্মুলা বিদ্যমান নেই তা বোঝায় না যে আপনি উচ্চমানের সংখ্যাসূচক অনুমান ব্যবহার করতে পারবেন না।

— ম্যাথিউ গন

Answer 2

হ্যাঁ, এর বিতরণ রয়েছে ।$U^θ$$X$

বিপরীত রূপান্তর পদ্ধতির পিছনে অন্তর্দৃষ্টি সম্পর্কে দুটি অতিরিক্ত পয়েন্ট কার্যকর হতে পারে

(1) অর্থ কী তা বোঝার জন্য দয়া করে আমাকে কোয়ান্টাইল (বিপরীত সিডিএফ) ফাংশনটি বুঝতে সহায়তা করার জন্য টিমের উত্তরের একটি গ্রাফ দেখুন$F^{-1}$

(২) [দয়া করে নীচের বিষয়গুলিকে উপেক্ষা করুন, যদি এটি স্পষ্টতার পরিবর্তে আরও বিভ্রান্তি এনে দেয়]

ক্রমাগত এবং কঠোরভাবে সিডিএফ বাড়িয়ে যেকোন র্যান্ডম ভেরিয়েবল (আরভি) হতে দিন । তারপরে স্বরলিপিতে দ্রষ্টব্য: একটি আরভি তাই অতএব, আরভি , এর ফাংশনটি নিজেই একটি আরভি। এফ এফ ( এক্স ) ∼ ইউনিফ ( 0 , 1 ) এক্স এক্স এফ ( এক্স $X$$F$

$$F(X) \sim \text{Unif}(0,1)$$
$X$$X$$F(X)$

উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি প্রশ্নটি সরিয়ে ফেলেন, যাতে আপনার অ্যাক্সেস থাকে এবং আপনি একটি মানক ইউনিফর্ম তৈরি করতে চান, তবে । এই এলোমেলো পরিবর্তনশীল কল করুন । সুতরাং আপনার প্রশ্নে ফিরে এসে আপনার বিপরীত কাজ রয়েছে: বাইরে উত্পন্ন করা । সুতরাং, প্রকৃতপক্ষে $X$$X^{1/\theta} \sim \text{Unif}(0,1)$$U$

$$U = X^{1/\theta}$$ $X$$U$ $$X=U^\theta$$

পুনশ্চ. পদ্ধতির বিকল্প নাম হ'ল সম্ভাবনা ইন্টিগ্রাল ট্রান্সফর্ম, ইনভার্স ট্রান্সফর্ম স্যাম্পলিং, কোয়ান্টাইল ট্রান্সফর্মেশন এবং কিছু উত্সে "সিমুলেশনের মৌলিক উপপাদ্য"।