ত্রুটি ফাংশন এবং স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ বিতরণ ফাংশন কীভাবে সম্পর্কিত?

যদি স্ট্যান্ডার্ড নরমাল পিডিএফ

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$

এবং সিডিএফটি হ'ল

F (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x} e^{- x^{2} / 2} d x,

$F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-x^2/2}\mathrm{d}x\,,$

এটি কীভাবে ত্রুটি ফাংশনে পরিণত হয় ? $z$

normal-distribution cdf

— TH4454
সূত্র

johndcook.com/erf_and_normal_cdf.pdf

— মার্ক এল স্টোন

আমি এটি দেখেছি, তবে এটি ইতিমধ্যে সংজ্ঞায়িত ERF দিয়ে শুরু হয়।

— TH4454

ঠিক আছে, এরফের একটি সংজ্ঞা এবং নরমাল সিডিএফের একটি সংজ্ঞা রয়েছে .. কিছু রুটিন গণনা দ্বারা প্রাপ্ত সম্পর্কগুলি কীভাবে তাদের মধ্যে রূপান্তর করা যায় এবং কীভাবে তাদের বিপরীতগুলির মধ্যে রূপান্তর করতে হয় তা দেখানো হয়।

— মার্ক এল। স্টোন

দুঃখিত, আমি বিশদটি অনেকগুলি দেখতে পাচ্ছি না। উদাহরণস্বরূপ, সিডিএফ -আইএনএফ থেকে এক্স পর্যন্ত to তাহলে ERF 0 থেকে x পর্যন্ত কীভাবে যায়?

— TH4454

আপনি পরিবর্তনশীল পরিবর্তনের ক্যালকুলাস কৌশলটির সাথে পরিচিত? যদি তা না হয় তবে এটি কীভাবে করবেন তা শিখুন।

— মার্ক এল স্টোন

যেহেতু এটি বেশিরভাগ সিস্টেমে প্রায়শই আসে (উদাহরণস্বরূপ, ম্যাথামেটিকা নরমাল সিডিএফকে of পদে প্রকাশ করার জন্য জোর দিয়েছিলেন ), সম্পর্কের নথি হিসাবে এই জাতীয় থ্রেড থাকা ভাল। $\text{Erf}$

সংজ্ঞা দ্বারা , ত্রুটি ফাংশন হয়

Erf (x) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t .

$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} \mathrm{d}t.$

লেখা বোঝা (কারণ নেতিবাচক নয়), কোথা । এন্ড পয়েন্ট এবং পরিণত এবং । ক্রমবর্ধমান ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন (সিডিএফ) এর মতো দেখায় ফলাফলটি অবিচ্ছেদ্যকে এমন কিছুতে রূপান্তরিত করতে, এটি অবশ্যই সংহতদের ক্ষেত্রে প্রকাশ করতে হবে যার নিম্ন সীমা রয়েছে , এভাবে: $t^2 = z^2/2$ $t = z / \sqrt{2}$ $t$ $\mathrm{d}t = \mathrm{d}z/\sqrt{2}$ $t=0$ $t=x$ $z=0$ $z=x\sqrt{2}$ $-\infty$

Erf (x) = \frac{2}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{x \sqrt{2}} e^{- z^{2} / 2} d z = 2 (\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x \sqrt{2}} e^{- z^{2} / 2} d z - \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{0} e^{- z^{2} / 2} d z) .

$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{x\sqrt{2}} e^{-z^2/2}\mathrm{d}z = 2\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x\sqrt{2}}e^{-z^2/2}\mathrm{d}z - \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^0 e^{-z^2/2}\mathrm{d}z\right).$

ডান হাতের আকারের সেই অখণ্ডগুলি মানক সাধারণ বিতরণের সিডিএফের উভয়ই মান,

Φ (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x} e^{- z^{2} / 2} d z .

$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-z^2/2} \mathrm{d}z.$

বিশেষ করে,

Erf (x) = 2 (Φ (x \sqrt{2}) - Φ (0)) = 2 (Φ (x \sqrt{2}) - \frac{1}{2}) = 2 Φ (x \sqrt{2}) - 1.

$\text{Erf}(x) = 2(\Phi(x\sqrt{2}) - \Phi(0)) = 2\left(\Phi(x\sqrt{2}) - \frac{1}{2}\right) = 2\Phi(x\sqrt{2}) - 1.$

এটি দেখায় যে কীভাবে সাধারণ সিডিএফের শর্তে ত্রুটি ফাংশন প্রকাশ করা যায়। এর বীজগণিত হেরফেরটি ত্রুটি ফাংশনের ক্ষেত্রে সহজেই সাধারণ সিডিএফ দেয়:

Φ (x) = \frac{1 + Erf (x / \sqrt{2})}{2} .

$\Phi(x) = \frac{1 + \text{Erf}(x/\sqrt{2})}{2}.$

এই সম্পর্কটি (বাস্তব সংখ্যার জন্য, যাইহোক) দুটি ফাংশনের প্লটে প্রদর্শিত হয়। গ্রাফগুলি হ'ল অভিন্ন বক্ররেখা। বামদিকে ত্রুটি ফাংশনের স্থানাঙ্কগুলি ডানদিকে এর স্থানাঙ্কগুলিতে রূপান্তরিত করা হয় স্থানাঙ্ককে by দ্বারা গুণিত করে , এর স্থানাঙ্কগুলিতে যোগ করে এবং তারপর স্থানাঙ্কগুলিকে দ্বারা বিভক্ত করে প্রতিফলিত করে সম্পর্ক $\Phi$ $x$ $\sqrt{2}$ $1$ $y$ $y$ $2$

Φ (x \sqrt{2}) = \frac{Erf (x) + 1}{2}

$\Phi(x\sqrt{2}) = \frac{\text{Erf}(x) + 1}{2}$

যার মধ্যে স্বরলিপিটি স্পষ্টভাবে এই তিনটি গুন, সংযোজন এবং বিভাগের কাজগুলি প্রদর্শন করে।

— whuber
সূত্র

আমি মনে করি হ'ল গড় এবং মানক বিচ্যুতি বিবেচনা করে তাদের সম্পর্কিত সঠিক উপায়।

Φ (x, μ, σ) = \frac{1}{2} (1 + Erf (\frac{x - μ}{σ \sqrt{2}}))

$\Phi(x,\mu,\sigma)=\frac{1}{2}\left( 1+\text{Erf} \left( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}} \right)\right)$

— ফোড করুন