যৌথ স্বাভাবিকতা কি স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলকে স্বাভাবিক হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত?

13

আমার সম্পর্কিত সম্পর্কিত প্রশ্নের উত্তরের মন্তব্যে , ব্যবহারকারীরা এসএসডেকট্রোল এবং গ্লেন_বি জিজ্ঞাসা করেছিলেন যে এবং যৌথ স্বাভাবিকতা যোগফলের স্বাভাবিকতা বোঝার জন্য প্রয়োজনীয় কিনা ? এই যৌথ স্বাভাবিকতা অবশ্যই যথেষ্ট , সুপরিচিত। এই পরিপূরক প্রশ্নটি সেখানে সম্বোধন করা হয়নি, এবং সম্ভবত এটি তার নিজের বিবেচনার জন্য উপযুক্ত। $X$ $Y$ $X+Y$

যেহেতু যৌথ স্বাভাবিকতা প্রান্তিক স্বাভাবিকতা বোঝায়, আমি জিজ্ঞাসা করি

স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল বিদ্যমান আছে কি এবং যেমন যে একটি স্বাভাবিক দৈব চলক, কিন্তু এবং হয় না যৌথভাবে স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল? $X$ $Y$ $X+Y$ $X$ $Y$

যদি এবং সাধারণ বিতরণ প্রয়োজন হয় না, তবে এ জাতীয় স্বাভাবিক এলোমেলো পরিবর্তনগুলি পাওয়া সহজ। আমার আগের উত্তরটিতে একটি উদাহরণ পাওয়া যাবে (উপরে লিঙ্কটি দেওয়া হয়েছে)। আমি বিশ্বাস করি যে উপরের হাইলাইট করা প্রশ্নের উত্তর হ্যাঁ, এবং পোস্ট করেছেন (যা আমি মনে করি) এই প্রশ্নের উত্তর হিসাবে একটি উদাহরণ। $X$ $Y$

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

2

আপনি কীভাবে ডিস্ট্রিবিউট বিতরণগুলি মোকাবেলা করতে চান? উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি আদর্শ স্বাভাবিক এবং , তারপর যুগ্ম বিতরণ এবং একটি অধ: পতিত সাধারন বন্টনের এবং একটি প্রমিত স্বাভাবিক।

X

$X$

Y = - 2 X

$Y=-2X$

X

$X$

Y

$Y$

X + Y

$X+Y$

— ব্রায়ান বোর্চারস

@ ব্রায়ানবার্সার্স এবং -2 যৌথভাবে স্বাভাবিক এলোমেলো ভেরিয়েবল যদিও আপনি যেমন বলছেন তেমন বিতরণ পাচ্ছে । যৌথ স্বাভাবিকতার মধ্যে স্ট্যান্ডার্ড ডেফিনেশনে যে এবং যৌথভাবে স্বাভাবিক হলে জন্য স্বাভাবিক সব পছন্দ । এখানে, হ'ল একটি অবক্ষয়যুক্ত কেস যা তবুও সৌজন্য হিসাবে সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবল নামে পরিচিত।

X

$X$

Y = - 2 X

$Y = -2X$

X

$X$

Y

$Y$

a X + b Y

$aX+bY$

(a, b)

$(a,b)$

(a, b) = (0, 0)

$(a,b) = (0,0)$

— দিলীপ সরোতে

11

যাক IID হতে । $U,V$ $N(0,1)$

এখন নিম্নলিখিত রূপে রূপান্তর করুন : $(U,V) \to (X,Y)$

প্রথম চতুর্ভুজ (যেমন ) এ এবং । $U>0,V>0$ $X=\max(U,V)$ $Y = \min(U,V)$

অন্যান্য চতুষ্কোণকারীদের জন্য, এই ম্যাপিংটিকে উত্স সম্পর্কে ঘোরান।

ফলাফল দ্বিখণ্ডিত বিতরণ দেখে মনে হচ্ছে (উপরে থেকে দেখা):

$\hspace{1.5 cm}$

- বেগুনি দ্বিগুণ সম্ভাবনার অঞ্চলগুলিকে প্রতিনিধিত্ব করে এবং সাদা অঞ্চলগুলি কোনও সম্ভাবনা ছাড়াই রয়েছে। কালো চেনাশোনাগুলি ধ্রুবক ঘনত্বের সংক্ষিপ্তসার (সমস্ত বৃত্তের সর্বত্র , তবে প্রতিটি রঙিন অঞ্চলে ) এর মধ্যে থাকে। $(U,V)$ $(X,Y)$

প্রতিসামগ্রী দ্বারা এবং উভয়ই স্ট্যান্ডার্ড স্বাভাবিক (একটি উল্লম্ব রেখার নীচে বা একটি অনুভূমিক রেখা বরাবর প্রতিটি সাদা রঙের জন্য একটি বেগুনি বিন্দু রয়েছে যা আমরা অক্ষের আড়াতে উল্লম্বভাবে অনুভূমিক বা উল্লম্ব রেখাটি অতিক্রম করাকে বিবেচনা করতে পারি) $X$ $Y$
তবে স্পষ্টত দ্বিবিভক্ত নয়, এবং $(X,Y)$
$X+Y = U+V$ যা (সমতুল্য, ধ্রুবক রেখাটি দেখুন এবং দেখুন যে আমরা 1 তে আলোচনা করেছি এর সমতুল্য রয়েছে, তবে এবার লাইন) $\sim N(0,2)$ $X+Y$ $Y=X$

— গ্লেন_বি -রাইনস্টেট মনিকা
সূত্র

1

+1 এবং একটি স্বীকৃতি; এই নির্মাণটি আমার নিজের উত্তরটির চেয়ে অনেক সুন্দর!

— দিলিপ সরোতে

5

যৌথ ঘনত্বের ক্রিয়াকলাপের সাথে যৌথভাবে ক্রমাগত র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি বিবেচনা করুন যেখানে মানক সাধারণ ঘনত্ব ফাংশনটিকে বোঝায়। $U, V, W$

\begin{aligned} (1) & f_{U, V, W} (u, v, w) = {\begin{cases} 2 ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w) & if u \geq 0, v \geq 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v < 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v \geq 0, w < 0, \\ or if u \geq 0, v < 0, w < 0, \\ 0 & otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U,V,W}(u,v,w) = \begin{cases} 2\phi(u)\phi(v)\phi(w) & ~~~~\text{if}~ u \geq 0, v\geq 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v < 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v\geq 0, w < 0,\\ & \text{or if}~ u \geq 0, v< 0, w < 0,\\ & \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\tag{1} \end{align}$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

এটা পরিষ্কার যে , এবং হয় নির্ভরশীল র্যান্ডম ভেরিয়েবল। এছাড়া স্পষ্ট যে তারা না যৌথভাবে স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল। যাইহোক, সব তিনটি জোড়া হয় pairwise স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল: আসলে, স্বাধীন আদর্শ স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল (এবং এইভাবে pairwise যৌথভাবে স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল)। সংক্ষেপে, ডাবল জুটিওয়ালা স্বাধীন কিন্তু পারস্পরিক স্বতন্ত্রভাবে স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের উদাহরণ নয়। আরও তথ্যের জন্য আমার এই উত্তরটি দেখুন । $U, V$ $W$ $(U,V), (U,W), (V,W)$ $U,V,W$

লক্ষ্য করুন যে যুগলমুখী স্বাধীনতা আমাদের দেয় যে এবং সমস্তই ভেরিয়েন্স সহ শূন্য-গড় স্বাভাবিক এলোমেলো পরিবর্তনশীল । এখন, আসুন আমরা এবং সংজ্ঞা দিন যে এছাড়াও ভেরিয়েন্স সহ একটি শূন্য-গড় স্বাভাবিক এলোমেলো পরিবর্তনশীল । এছাড়াও, , এবং তাই এবং নির্ভরশীল এবং সম্পর্কযুক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবল। $U+V, U+W$ $V-W$ $2$

\begin{matrix} (2) & X = U + W, Y = V - W \end{matrix}

$X = U+W, ~Y = V-W \tag{2}$

X + Y = U + V

$X+Y = U+V$

2

$2$

cov (X, Y) = - var (W) = - 1

$\operatorname{cov}(X,Y) = -\operatorname{var}(W) = -1$

X

$X$

Y

$Y$

$X$ এবং হ'ল (পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত) সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবল যা যৌথভাবে সাধারণ নয় তবে তাদের সমষ্টি একটি সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবল the $Y$ $X+Y$

অন্য উপায় রাখুন, যুগ্ম স্বাভাবিক একটি হল যথেষ্ট স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটি সমষ্টি সেই স্বাভাবিকত্বের কারণটি দাবী জন্য শর্ত, কিন্তু এটা না প্রয়োজনীয় শর্ত।

এবং যৌথভাবে স্বাভাবিক নয় এই প্রমাণটি $X$ $Y$
যেহেতু রূপান্তর লিনিয়ার, তাই পাওয়া সহজ । অতএব আমাদের কাছে সেই তবে the এর সম্পত্তি আছে যে এর মান ঠিক তখনই হবে যখন ননজারো অথবা এর তিনটি আর্গুমেন্টই অযৌক্তিক। এখন ধরুন যে । তারপর, মূল্য আছে জন্য $(U,V,W) \to (U+W, V-W, W) = (X,Y,W)$ $f_{X,Y,W}(x, y, w) = f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$

f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y, W} (x, y, w) d w = \int_{- \infty}^{\infty} f_{U, V, W} (x - w, y + w, w) d w

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y,W}(x,y,w)\,\mathrm dw = \int_{-\infty}^\infty f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)\,\mathrm dw$

f_{U, V, W}

$f_{U,V, W}$

x, y > 0

$x, y > 0$

f_{U, V, W} (x - w, y + w, w)

$f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

w \in (- \infty, - y) \cup (0, x)

$w \in (-\infty,-y) \cup (0,x)$ এবং অন্যথায় হয়। সুতরাং, , , এবং তাই আউট সম্প্রসারিত করে এবং করছেন কিছু পুনরায় ব্যবস্থা মধ্যে integrands এর , আমরা লিখতে পারেন যেখানে সাধারণ র্যান্ডম গড় with সহ পরিবর্তনশীল

0

$0$

x, y > 0

$x, y > 0$

\begin{matrix} (3) & f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{- y} 2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w) d w + \int_{0}^{x} 2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w) d w . \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^{-y} 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw + \int_0^x 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw.\tag{3}$

\begin{aligned} (x - w)^{2} + (y + w)^{2} + w^{2} & = 3 w^{2} - 2 w (x - y) + x^{2} + y^{2} \\ = \frac{w^{2} - 2 w (\frac{x - y}{3}) + {(\frac{x - y}{3})}^{2}}{1 / 3} - \frac{1}{3} (x - y)^{2} + x^{2} + y^{2} \end{aligned}

$\begin{align} (x-w)^2 + (y+w)^2 + w^2 &= 3w^2 -2w(x-y) + x^2 + y^2\\ &= \frac{w^2 - 2w\left(\frac{x-y}{3}\right) + \left(\frac{x-y}{3}\right)^2}{1/3} -\frac 13(x-y)^2 + x^2 + y^2 \end{align}$

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

(3)

$(3)$

\begin{matrix} (4) & f_{X, Y} (x, y) = g (x, y) [P {T \leq - y} + P {0 < T \leq x}] \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = g(x,y)\big[P\{T \leq -y\} + P\{0 < T \leq x\}\big] \tag{4}$

T

$T$

\frac{x - y}{3}

$\frac{x-y}{3}$ এবং বৈকল্পিক । বর্গাকার বন্ধনীর ভিতরে উভয় পদ আদর্শ স্বাভাবিক সিডিএফ জড়িত যুক্তি হল যে (বিভিন্ন) উভয় কার্যাবলী সঙ্গে এবং । সুতরাং, হয় না একটি bivariate স্বাভাবিক ঘনত্ব যদিও উভয় এবং স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল, এবং তাদের যোগফল একটি স্বাভাবিক র্যান্ডম পরিবর্তনশীল।

\frac{1}{3}

$\frac 13$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

x

$x$

y

$y$

f_{X, Y}

$f_{X,Y}$

X

$X$

Y

$Y$

মন্তব্য: এবং যৌথ স্বাভাবিকতা স্বাভাবিকতার পক্ষে যথেষ্ট তবে এটি আরও অনেক কিছু বোঝায়: সমস্ত পছন্দ এর জন্য স্বাভাবিক । এখানে, মাত্র তিনটি পছন্দ , যেমন, জন্য সাধারণ হতে আমাদের দরকার যেখানে প্রথম দুটি অগ্রণী-উপেক্ষার প্রয়োগ করে শর্ত (উদাহরণস্বরূপ উত্তর দেখুন ) যে এবং (প্রান্তিক) ঘনত্ব অবশ্যই স্বাভাবিক ঘনত্ব হতে হবে এবং তৃতীয়টি বলে যে যোগফলটির অবশ্যই একটি সাধারণ ঘনত্ব থাকতে হবে। সুতরাং, আমরা পারেন $X$ $Y$ $X+Y$ $aX+bY$ $(a,b)$ $aX+bY$ $(a,b)$ $(1,0), (0,1), (1,1)$ $Y.H.$ $X$ $Y$ স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল যে আছে না যৌথভাবে স্বাভাবিক কিন্তু যাদের যোগফল কারণ আমরা পরোয়া করি না কি অন্য পছন্দ ঘটে স্বাভাবিক । $(a,b)$

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র