বহুজাতিক বিতরণের সহগের যোগফল

$\newcommand{\P}{\mathbb{P}}$ আমি ন্যায্য ডাই ছুড়ে দিচ্ছি। যখনই আমি 1, 2, বা 3 পাই, আমি একটি '1' লিখে রাখি; যখনই আমি 4 পাই আমি একটি '2' লিখে রাখি; যখনই আমি 5 বা 6 পাই, আমি একটি '3' লিখে রাখি

যাক $N$ মোট সংখ্যা হতে ছোঁড়ার আমি সব সংখ্যার গুণফল নিচে আমি লিখেছি হতে জন্য প্রয়োজন $\geq 100000$ । আমি গণনা করতে চাই (বা আনুমানিক) $\P(N\geq 25)$ , এবং সাধারণ বিতরণের একটি ফাংশন হিসাবে একটি আনুমানিক দেওয়া যেতে পারে।

প্রথমত, আমি জানি যে $\P(N\geq 11) = 1$ কারণ $\log_3 100.000 \approx 10.48$ । এখন, $a$ , $b$ , এবং $c$ হ'ল যথাক্রমে আমি 1, 2 এবং 3 লিখেছি এমন সংখ্যা হোক। তারপর:

P (a, b, c ∣ n) = {\begin{cases} (\binom{n}{a, b, c}) {(\frac{1}{2})}^{a} {(\frac{1}{6})}^{b} {(\frac{1}{3})}^{c} & if a + b + c = n \\ 0 & otherwise \end{cases}

$\P(a,b,c\mid n) = \begin{cases}\displaystyle\binom {n}{a, b, c} \left(\frac 1 2\right) ^ a \left(\frac 1 6\right)^b\left(\frac 1 3\right)^c &\text{ if } a + b + c = n \\ 0 &\text{ otherwise}\end{cases}$

আমি যা গণনা করতে চাই তা হ'ল:

P (a + b + c \geq 25 ∣ 2^{b} 3^{c} \geq 100000)

$\P(a + b + c \geq 25 \mid 2^b3^c\geq 100000)$

আমি কীভাবে এটি গণনা করব?

--EDIT:

সুতরাং প্রস্তাবিত হয়েছিল যে আমি শর্তটি এর সাথে প্রতিস্থাপন করতে পারি:

P (a + b + c \geq 25 ∣ α a + β b + γ c \geq δ)

$\P(a + b + c \geq 25 \mid \alpha a + \beta b + \gamma c \geq \delta)$

যেখানে , , এবং । $\alpha = 0$ $\beta = \log 2$ $\gamma = \log 3$ $\delta = \log 100000$

এটি আরও দ্রবণীয় দেখায়! দুর্ভাগ্যক্রমে এখনও এটি সমাধান করার কোন ধারণা আমার নেই।

— পেদ্রো কারভালহো
সূত্র

+1 এই সমস্যাটি আরও খানিকটা চেনা দেখাতে পারে এবং আনুমানিক সমাধানগুলিতে নিজেকে আরও স্পষ্টভাবে ধার দেয়, যদি আপনি যেখানে form আকারে শর্তটি লিখতেন এবং ।

α a + β b + γ c \geq δ

$\alpha a + \beta b + \gamma c \ge \delta$

α = 0, β = \log (2), γ = \log (3),

$\alpha=0, \beta=\log(2), \gamma=\log(3),$

δ = \log (100000)

$\delta=\log(100000)$

— হোবার

শর্তটি লেখার জন্য আমি এই নতুন উপায়ে যুক্ত করেছি, তবে দুর্ভাগ্যক্রমে এখনও কীভাবে এটি সমাধান করা যায় সে সম্পর্কে আমার অবাস্তব ধারণাটি নেই!

— পেড্রো কারভালহো

আর একটি ইঙ্গিতটি হ'ল যদি '2' এর ঘটনা ঘটে থাকে তবে আপনি থামতে পারবেন। সুতরাং আপনি এবং পরামিতি ( এবং ) সহ নেতিবাচক দ্বিপদী দিয়ে এটি আনুমানিকও করতে পারেন । অনেকগুলি সংমিশ্রণ না হওয়ায় সঠিক উত্তরটিও পরিচালনাযোগ্য। এছাড়াও, শর্তটি সঠিক নয় - আপনার অবশ্যই এই অন্তর্ভুক্ত করতে হবে যে '2' বা '3' র তম রোলটিতে রেকর্ড করা হয়েছিল

17

$17$

17

$17$

0.5

$0.5$

11

$11$

1 / 3

$1/3$

N

$N$

— সম্ভাব্যতা ব্লগ

উত্তর:

বর্তমান প্রশ্নটি একটি সুনির্দিষ্ট ক্ষেত্রে যেখানে আপনি এমন একটি পরিমাণের সাথে লেনদেন করছেন যা বহুজাতিক র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের লিনিয়ার ফাংশন। প্রয়োজনীয় বৈষম্য পূরণকারী বহু-জাতীয় সংমাগুলি গণনা করে এবং সেই ব্যাপ্তির মধ্যে বন্টনকে সংমিশ্রণ করে আপনার সমস্যার ঠিক সমাধান করা সম্ভব। যেখানে বড় সে ক্ষেত্রে এটি কম্পিউটারের পক্ষে অপরিবর্তনীয় হতে পারে। এক্ষেত্রে মাল্টিনোমিয়ালের সাধারণ আনুমানিক ব্যবহার করে একটি আনুমানিক বিতরণ পাওয়া সম্ভব। এই অনুমানের একটি সাধারণ সংস্করণ নীচে প্রদর্শিত হবে এবং তারপরে এটি আপনার নির্দিষ্ট উদাহরণে প্রয়োগ করা হবে। $N$

সাধারণ আনুমানিক সমস্যা: ধরুন আমাদের পরিসরের সাথে বিনিময়যোগ্য এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্রম রয়েছে । যে কোনও For এর জন্য আমরা গণনা ভেক্টর , যা সংখ্যার গণনা করে অনুক্রমের প্রথম টিতে প্রতিটি ফলাফলের উপস্থিতি । অন্তর্নিহিত ক্রমটি বিনিময়যোগ্য, সুতরাং গণনা ভেক্টরটি এই হিসাবে বিতরণ করা হয়: $1, 2, ..., m$ $n \in \mathbb{N}$ $\boldsymbol{X} \equiv \boldsymbol{X} (n) \equiv (X_1, X_2, ..., X_m)$ $n$

\begin{array}{ll} X ~ Mu (n, θ) & θ = lim_{n \to \infty} X (n) / n . \end{array}

$\begin{array} \boldsymbol{X} \text{ ~ Mu}(n, \boldsymbol{\theta}) & & \boldsymbol{\theta} = \lim_{n \rightarrow \infty} \boldsymbol{X}(n)/n. \end{array}$

এখন, ধরুন আমাদের কাছে নেতিবাচক কিছু ভেক্টর রয়েছে এবং আমরা এই লিনিয়ার ফাংশন সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহার করি: $\boldsymbol{w} = (w_1, w_2, ..., w_m)$

A (n) \equiv \sum_{i = 1}^{m} w_{i} X_{i} .

$A(n) \equiv \sum_{i=1}^m w_i X_i.$

যেহেতু ওজন অ-নেতিবাচক, তাই এই নতুন পরিমাণটি -তে হ্রাস পাচ্ছে না । তারপরে আমরা number সংখ্যাটি সংজ্ঞায়িত করি , যা আমাদের লিনিয়ার ফাংশনের জন্য নির্দিষ্ট ন্যূনতম মান পেতে প্রয়োজনীয় পর্যবেক্ষণগুলির মধ্যে সর্বনিম্ন সংখ্যা। এই মানটি (স্টকাস্টিকালি) বৃহত্তর ক্ষেত্রে আমরা এর বিতরণ আনুমানিক করতে চাই । $n$ $N(a) \equiv \min \{ n \in \mathbb{N} | A(n) \geqslant a \}$ $N(a)$

সাধারণ পড়তা সমস্যা সমাধানের: প্রথমত, আমরা লক্ষ করুন যে, যেহেতু অ হ্রাস মধ্যে (যা কারণ আমরা অধিকৃত যে সব ওজন অ নেতিবাচক ঝুলিতে), আমরা আছে: $A(n)$ $n$

P (N (a) ⩾ n) = P (N (a) > n - 1) = P (A (n - 1) < a) .

$\mathbb{P} (N(a) \geqslant n) = \mathbb{P} (N(a) > n - 1) = \mathbb{P} (A(n-1) < a).$

তাই, বিতরণের সরাসরি বিতরণের সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত । পূর্বের পরিমাণটি বড় বলে ধরে নিই, আমরা বহুবিচ্ছিন্ন স্বাভাবিক বন্টন থেকে অবিচ্ছিন্ন বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেক্টর প্রতিস্থাপন করে পরবর্তীটির বিতরণ আনুমানিক করতে পারি । এটি লিনিয়ার কোয়ানটিটি জন্য একটি সাধারণ অনুমানের দিকে নিয়ে যায় এবং আমরা সরাসরি এই পরিমাণের মুহূর্তগুলি গণনা করতে পারি। এটি করার জন্য, আমরা এই সত্যটি ব্যবহার করি যে , এবং for । কিছু মৌলিক বীজগণিত সহ, এটি আমাদের দেয়: $N$ $A$ $\boldsymbol{X}$ $A(n)$ $\mathbb{E}(X_i) = n \theta_i$ $\mathbb{V}(X_i) = n \theta_i (1 - \theta_i)$ $\mathbb{C}(X_i, X_j) = -n \theta_i \theta_j$ $i \neq j$

μ \equiv E (\frac{1}{n} A (n)) = \sum_{i = 1}^{m} w_{i} θ_{i},

$\mu \equiv \mathbb{E}\left(\frac{1}{n} A(n)\right) = \sum_{i=1}^m w_i \theta_i,$

σ^{2} \equiv V (\frac{1}{\sqrt{n}} A (n)) = \sum_{i = 1}^{m} w_{i} θ_{i} - {(\sum_{i = 1}^{m} w_{i} θ_{i})}^{2} = μ (1 - μ) .

$\sigma^2 \equiv \mathbb{V}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} A(n)\right) = \sum_{i=1}^m w_i \theta_i - \left(\sum_{i=1}^m w_i \theta_i\right)^2 = \mu (1 - \mu).$

মাল্টিনোমিয়ালে সাধারণ আনুমানিকতা নেওয়া এখন আমাদের আনুমানিক বিতরণ । এই আনুমানিক ফলন প্রয়োগ করা: $A(n) \text{ ~ N} (n \mu, n \mu (1 - \mu))$

P (N (a) ⩾ n) = P (A (n - 1) < a) \approx Φ (\frac{a - (n - 1) μ}{\sqrt{(n - 1) μ (1 - μ)}}) .

$\mathbb{P} (N(a) \geqslant n) = \mathbb{P} (A(n-1) < a) \approx \Phi \left(\frac{a - (n-1) \mu}{\sqrt{(n-1) \mu (1 - \mu)}}\right).$

(প্রতীক আদর্শ সাধারন বন্টনের ফাংশন জন্য মান স্বরলিপি পড়ে।) পরিমাণ সংক্রান্ত সম্ভাব্যতা এটি এই পড়তা প্রয়োগ করা সম্ভব একটি নির্দিষ্ট করা মানের জন্য । এটি একটি মৌলিক অনুমান যা অন্তর্নিহিত বহুজাতিক গণনা মানগুলির মানগুলিতে ধারাবাহিকতা সংশোধনকে অন্তর্ভুক্ত করার চেষ্টা করেনি। সঠিক লিনিয়ার ফাংশন হিসাবে একই প্রথম দুটি কেন্দ্রীয় মুহুর্ত ব্যবহার করে এটি একটি সাধারণ আনুমানিকতা গ্রহণ করে প্রাপ্ত হয়। $\Phi$ $N(a)$ $a$

আপনার সমস্যার জন্য অ্যাপ্লিকেশন: আপনার সমস্যায় আপনার সম্ভাব্যতা রয়েছে , ওজন , এবং কাট-অফ মান । সুতরাং আপনার কাছে (ছয় দশমিক পয়েন্ট পর্যন্ত বৃত্তাকার) । আমাদের কাছে উপরোক্ত অনুমানটি প্রয়োগ করে (ছয় দশমিক পয়েন্টকে গোল করে): $\boldsymbol{\theta} = (\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{6}, \tfrac{1}{3})$ $\boldsymbol{w} = (0, \ln 2, \ln 3)$ $a = \ln 100000$ $\mu = \tfrac{1}{6}\ln 2 + \tfrac{1}{3}\ln 3 = 0.481729$

P (N (a) ⩾ 25) \approx Φ (\frac{\ln 100000 - 24 \cdot 0.481729}{\sqrt{24} \cdot 0.499666}) = Φ (- 0.019838) = 0.492086.

$\mathbb{P}(N(a) \geqslant 25) \approx \Phi \left(\frac{\ln 100000 - 24 \cdot 0.481729}{\sqrt{24} \cdot 0.499666}\right) =\Phi (-0.019838) = 0.492086.$

Mult প্রয়োজনীয়তা পূরণকারী সমস্ত সংমিশ্রণের সংমিশ্রণে একাধিক সংক্ষিপ্ত বিবরণ প্রয়োগ করে দেখা যাবে যে সঠিক ফলাফলটি । অতএব, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে বর্তমানের ক্ষেত্রে সান্নিধ্যের সঠিক উত্তরটি খুব কাছে রয়েছে। $\mathbb{P}(A(24) < a)$ $\mathbb{P}(N(a) \geqslant 25) = 0.483500$

আশা করি এই উত্তরটি আপনাকে আপনার নির্দিষ্ট প্রশ্নের উত্তর দেবে, পাশাপাশি এটি সম্ভাব্য ফলাফলের আরও সাধারণ কাঠামোর মধ্যে রাখে যা বহুজাতিক র্যান্ডম ভেক্টরগুলির লিনিয়ার ফাংশনে প্রযোজ্য। বর্তমান পদ্ধতির সাহায্যে আপনার যে ধরণের সাধারণ মুখোমুখি হচ্ছেন তার সমস্যাগুলির আনুমানিক সমাধান পাওয়ার অনুমতি দেওয়া উচিত এবং এটি আপনার উদাহরণের নির্দিষ্ট সংখ্যায় পরিবর্তনের সুযোগ দেয়।

— বেন - মনিকা পুনরায় স্থাপন করুন
সূত্র

আসুন একটি সাধারণ অনুমান করা যাক।

প্রথমে আসুন লগগুলিতে আপনার সমস্যাটিকে পুরোপুরি পুনরায় লিখি। আপনি 0 থেকে শুরুতে টি = 0 শুরু করুন। তারপরে, প্রতিটি সময় পদক্ষেপে, আপনি যুক্ত করুন:

0 সম্ভাব্যতা দিয়ে 1/2
$\log(2)$ সম্ভাব্যতা দিয়ে 1/6
$\log(3)$ সম্ভাব্যতা দিয়ে 1/3

আপনার যোগফল ছাড়িয়ে গেলে আপনি এই প্রক্রিয়াটি থামিয়ে দিন আপনি কতগুলি নিক্ষেপ করেছেন তার দিকে আপনি তাকান। সেই বিন্দুতে পৌঁছতে আপনাকে যে পরিমাণ নিক্ষেপ করেছে এটি হ'ল ^ ^ $\log(10^5)$ $N$

আমার ক্যালকুলেটর আমাকে বলেছে যে আপনার বর্ধনের গড়টি হল: 0 এবং তারতম্যটি । রেফারেন্সের জন্য, শেষের পয়েন্টটি তাই আমরা প্রায় 24 টি ধাপে তার কাছে পৌঁছে যাব $\approx 0.48$ $\approx 0.25$ $\approx 11.51$

আমরা 25 টি পদক্ষেপ নিয়ে এসেছি এই শর্তসাপেক্ষে, যোগফলের বিতরণ মোটামুটি একটি গাউসিয়ান হয় 12.0 এবং কেন্দ্রে var.২৫ সহকেন্দ্রিক। এটি আমাদের মোটামুটি গাউসিয়ান অনুমান দেয় $p(N\geq25)\approx 0.5$

গাউসীয় আনুমানিকতা ঠিক আছে কি না তা জানতে আপনাকে N = 25 তে যোগফলের সংখ্যাসমূহটি দেখতে হবে। প্রদত্ত যে ইনক্রিমেন্টগুলি প্রতিসম নয়, প্রায় সম্ভবত সেরা নাও হতে পারে

— গিলিয়াম দেহেন
সূত্র

আপনি কি আমার জন্য উদ্দীপনা সম্পূর্ণ করতে পারেন? এটি দেখতে আমার খুব কষ্ট হচ্ছে। এছাড়াও, এটি গণনা করার কোনও সঠিক উপায় নেই?

— পেড্রো কারভালহো

আপনি যেখানে "লগ (2)" এবং "লগ (3)" বোঝাতে চান না যেখানে আপনার লগ (1) এবং লগ (2) রয়েছে?

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

@ লিখেছেন: ... আমার গণনা অনুসারে, দুটি ভিন্ন উপায়ে, যা 0.5 এর থেকে খুব আলাদা

p (N \geq 25) \approx 0.5

$p(N\geq25)\approx 0.5$

P (N \geq 25) = 1 - P (N \leq 24) = 1 - \frac{1127291856633071}{6499837226778624} \approx 0.8266

$P(N\geq25) = 1 - P(N\leq 24) = 1 - \frac{1127291856633071}{6499837226778624} \approx 0.8266$

— নেকড়েরা

আপনি পি (এন q লেক 24) 24 প্রায় 0.18 কীভাবে পাবেন?

— গিলাইম দেহেইেন