বেইস অনুমানকারীদের মধ্যে তুলনা

পূর্বে প্রদত্ত যেখানে চতুর্ভুজ ক্ষতির কথা বিবেচনা করুন । আসুন সম্ভাবনা। বেইস অনুমানকারী i । $L(\theta,\delta)=(\theta-\delta)^2$ $\pi(\theta)$ $\pi(\theta)\sim U(0,1/2)$ $f(x|\theta)=\theta x^{\theta-1}\mathbb{I}_{[0,1]}(x), \theta>0$ $\delta^\pi$

ওজনযুক্ত চতুর্ভুজ ক্ষতির বিবেচনা করুন যেখানে সাথে পূর্বের । আসুন হওয়ার সম্ভাবনা থাকে। বেইস অনুমানকারী । $L_w(\theta,\delta)=w(\theta)(\theta-\delta)^2$ $w(\theta)=\mathbb{I}_{(-\infty,1/2)}$ $\pi_1(\theta)=\mathbb{I}_{[0,1]}(\theta)$ $f(x|\theta)=\theta x^{\theta-1}\mathbb{I}_{[0,1]}(x), \theta>0$ $\delta^\pi_1$

তুলনা করুন এবং $\delta^\pi$ $\delta^\pi_1$

প্রথমে আমি লক্ষ্য করেছি যে , এবং আমি ধরে নিয়েছি যে এটিই সম্ভাবনা, অন্যথায় আমি কোনও উত্তরোত্তর না, তারপরে সুতরাং বায়াসের চতুর্ভুজ ক্ষতির সাথে সম্পর্কিত অনুমানকারী হ'ল $f(x|\theta)\sim Beta(\theta,1)$

π (θ | x) \propto f (x | θ) π (θ) = θ x^{θ - 1} I_{[0, 1]} * 2 I_{(0, 1 / 2)} (θ) \sim B e t a (θ, 1)

$\pi(\theta|x)\propto f(x|\theta)\pi(\theta)=\theta x^{\theta-1}\mathbb{I}_{[0,1]}*2\mathbb{I}_{(0,1/2)}(\theta)\sim Beta(\theta,1)$

E [π (θ | x)] = \frac{θ}{θ + 1}

$\mathbb{E}[\pi(\theta|x)]=\frac{\theta}{\theta+1}$

আমি দি বায়সিয়ান চয়েস বইটি দেখছি এবং সেখানে বেইস অনুমানকারী সম্পর্কে একটি উপপাদ্য রয়েছে যা ভারী চতুষ্কোণ ক্ষতির সাথে যুক্ত এবং এটি

δ^{π} (x) = \frac{E^{π} [w (θ) θ | x]}{E^{π} [w (θ) | x]}

$\delta^\pi(x)=\frac{\mathbb{E}^\pi[w(\theta)\theta|x]}{\mathbb{E}^\pi[w(\theta)|x]}$

কেউ আমাকে ব্যাখ্যা করতে পারে আমি কীভাবে এটি গণনা করব?

আমি যা চেষ্টা করেছি তা হ'ল:

δ^{π} (x) = \frac{\frac{\int θ w (θ) f (x | θ) π (θ) d θ}{\int w (θ) f (x | θ) π (θ) d θ}}{\frac{\int f (x | θ) π (θ) d θ}{\int w (θ) f (x θ) π (θ) d θ}}

$\delta^\pi(x)=\frac{\frac{\int \theta w(\theta)f(x|\theta)\pi(\theta)d\theta}{\int w(\theta)f(x|\theta)\pi(\theta)d\theta}}{\frac{\int f(x|\theta)\pi(\theta)d\theta}{\int w(\theta)f(x\theta)\pi(\theta)d\theta}}$

আমি জানি যে সমর্থনটি তবে আমি যখন সংখ্যার সাথে সংহত করার চেষ্টা করেছি $[0,\frac{1}{2}]$

\int θ w (θ) f (x | θ) π (θ) d θ = \int_{0}^{\frac{1}{2}} θ θ x^{θ - 1} d θ = \frac{1}{x} \int_{0}^{\frac{1}{2}} θ^{2} x^{θ} d θ

$\int \theta w(\theta)f(x|\theta)\pi(\theta)d\theta=\int_0^\frac{1}{2}\theta\theta x^{\theta-1}d\theta=\frac{1}{x}\int_0^\frac{1}{2}\theta^2 x^\theta d\theta$

আমি কোন ভাল ফলাফল পেতে।

— সিয়ান
সূত্র

নন নন-নেগেটিভ এখানে?

w (θ)

$w(\theta)$

— জুহো কোক্কালা

"শুধু ডাব্লু ননজেগিটিভ " সম্পর্কে আপনার মন্তব্যটি আমি বুঝতে পারি না কারণ (১) ক্ষতির ফাংশন কখনই নেতিবাচক হয়ে উঠবে না এবং (২) আপনার ক্ষতির ফাংশন যাইহোক নেতিবাচক হতে পারে না।

w (θ)

$w(\theta)$

— হুবুহু

@ শুভর গোশ, এখন আমি আমার মূর্খতা বুঝতে পেরেছি, আমি সূচক সহায়তার দিকে তাকিয়ে ছিলাম

উত্তর:

প্রথমত, মনে রাখবেন যে আমি তোমার সম্ভাবনা সংজ্ঞা wrt সূচকটি ফাংশন প্রশ্নই মূল বাক্যে কথন সংশোধন তারা কার্যাবলী হতে হবে যেমন না । সুতরাং সম্ভাবনা যা স্পষ্টভাবে একের সাথে সংহত করে: $x$ $\theta$

f (x) = θ x^{θ - 1} I_{[0, 1]} (x)

$f(x)=\theta x^{\theta-1}\mathbb{I}_{[0,1]}(x)$

\int_{0}^{1} θ x^{θ - 1} d x = 1

$\int_0^1 \theta x^{\theta-1}\text{d}x = 1$

দ্বিতীয়ত, অবর মধ্যে নয় একটি বিটা হিসাবে দ্বারা নির্দেশিত যেহেতু ফাংশন Greenparker প্রতিবন্ধকতার কারণে এর মান অনুসারে এটি গামা বিতরণ নয়, গামা বিতরণের একটি কাটা অংশ। $\theta$

π (θ | x) \propto I_{[0, 1 / 2]} (θ) θ x^{θ - 1} \propto I_{[0, 1 / 2]} (θ) θ \exp {\log (x) θ}

$\pi(\theta|x)\propto\, \mathbb{I}_{[0,1/2]}(\theta)\theta x^{\theta-1}\propto \mathbb{I}_{[0,1/2]}(\theta)\,\theta \exp\{\log(x)\theta\}$

θ

$\theta$

সুতরাং বেইস অনুমানক পরবর্তী প্রত্যাশা এর জন্য অসম্পূর্ণ গামা ফাংশনটি ব্যবহারের প্রয়োজন হতে পারে তবে যা অংশ দ্বারা সংহত করে বন্ধ আকারে প্রাপ্ত হতে পারে: থেকে

\begin{aligned} E [θ | x] & = \int_{0}^{1 / 2} θ \times θ \exp {\log (x) θ} d θ / \int_{0}^{1 / 2} θ \exp {\log (x) θ} d θ \\ = \int_{0}^{1 / 2} θ^{2} \exp {\log (x) θ} d θ / \int_{0}^{1 / 2} θ \exp {\log (x) θ} d θ \end{aligned}

$\begin{align*}\mathbb{E}[\theta|x] &= \int_0^{1/2} \theta\times\theta \exp\{\log(x)\theta\}\text{d}\theta \Big/ \int_0^{1/2} \theta \exp\{\log(x)\theta\}\text{d}\theta\\&= \int_0^{1/2} \theta^2 \exp\{\log(x)\theta\}\text{d}\theta \Big/ \int_0^{1/2} \theta \exp\{\log(x)\theta\}\text{d}\theta\\\end{align*}$

\int_{0}^{1 / 2} θ^{k} \exp {- α θ} d θ = \frac{- 1}{α} {[θ^{k} \exp {- α θ}]}_{0}^{1 / 2} + \frac{k}{α} \int_{0}^{1 / 2} θ^{k - 1} \exp {- α θ} d θ

$\int_0^{1/2} \theta^k \exp\{-\alpha\theta\}\text{d}\theta = \frac{-1}{\alpha}\left[\theta^k \exp\{-\alpha\theta\}\right]_0^{1/2} + \frac{k}{\alpha}\int_0^{1/2} \theta^{k-1} \exp\{-\alpha\theta\}\text{d}\theta$

\int_{0}^{1 / 2} \exp {- α θ} d θ = \frac{1 - \exp {- α / 2}}{α}

$\int_0^{1/2} \exp\{-\alpha\theta\}\text{d}\theta = \frac{1-\exp\{-\alpha/2\}}{\alpha}$

সর্বশেষে, যেমনটি আমার বইতে ইঙ্গিত করা হয়েছে , প্রকৃতপক্ষে, হ্রাস করার সমান যা নিজেই করার সমতুল্য যা মূল পূর্বের কে নতুন পূর্ববর্তী সাথে প্রতিস্থাপনের যা একটি পুনর্নবীকরণ করা দরকার, , $\delta$

\int w (θ) (θ - δ)^{2} π (θ | x) d θ

$\int w(\theta)(\theta-\delta)^2 \pi(\theta|x) \text{d}\theta$

δ

$\delta$

\int w (θ) (θ - δ)^{2} π (θ) f (x | θ) d θ

$\int w(\theta)(\theta-\delta)^2 \pi(\theta)f(x|\theta) \text{d}\theta$

δ

$\delta$

\int (θ - δ)^{2} w (θ) π (θ) f (x | θ) d θ

$\int (\theta-\delta)^2 w(\theta)\pi(\theta)f(x|\theta) \text{d}\theta$

π

$\pi$

w (θ) π (θ)

$w(\theta)\pi(\theta)$

π_{1} (θ) = w (θ) π (θ) / \int w (θ) π (θ) d θ

$\pi_1(\theta)=w(\theta)\pi(\theta) \Big/\int w(\theta)\pi(\theta)\text{d}\theta$

— সিয়ান
সূত্র

স্কোয়ার ত্রুটি ক্ষতির অংশের জন্য আপনার উত্তরটি ভুল।

π (θ | x) \propto f (x | θ) π (θ) = 2 θ x^{θ - 1} I_{(0, 1 / 2)} (θ) .

$\pi(\theta|x) \propto f(x|\theta) \pi(\theta) = 2\theta x^{\theta-1}I_{(0,1/2)}(\theta).$

এই হল ডিস্ট্রিবিউশন , না মধ্যে , এবং অবর র্যান্ডম পরিবর্তনশীল । সুতরাং আপনার উত্তরটি ভুল, এবং সঠিক উত্তরটি হ'ল বিতরণের উত্তর মাধ্যম। $Beta(\theta,1)$ $x$ $\theta$ $\theta$

দ্বিতীয় অংশের জন্য,

(ওজনযুক্ত ক্ষতির ফাংশনের পূর্ববর্তীটি তবে আপনি এটিকে হিসাবে উল্লেখ করেছেন I আমি স্বরলিপিটি আবার স্যুইচ করছি )) $\pi_1$ $\pi$ $\pi_1$

যাক , যেখানে একটি স্বাভাবিক ধ্রুবক। আপনার গণনা করা দরকার $\pi'(\theta) = cw(\theta) \pi_1(\theta)$ $c$

\begin{aligned} δ^{π_{1}} (x) & = \frac{E^{π_{1}} [w (θ) θ | x]}{E^{π_{1}} [w (θ | x)]} \\ = \frac{\int w (θ) θ f (x | θ) π_{1} (θ) d θ}{\int w (θ) f (x | θ) π_{1} (θ) d θ} \\ = \frac{\int θ f (x | θ) π^{'} (θ) d θ}{\int f (x | θ) π^{'} (θ) d θ} \\ = E^{π^{'}} [θ | x] \end{aligned}

$\begin{align*} \delta^{\pi_1}(x) & = \dfrac{E^{\pi_1}[w(\theta) \theta |x ]}{E^{\pi_1}[w(\theta|x)]}\\ & = \dfrac{\int w(\theta) \theta f(x|\theta) \pi_1(\theta)\, d\theta}{\int w(\theta) f(x|\theta)\pi_1(\theta)\, d\theta}\\ & = \dfrac{\int \theta f(x|\theta) \pi'(\theta) \,d\theta}{\int f(x|\theta) \pi'(\theta) \, d\theta}\\ & = E^{\pi'}[\theta|x] \end{align*}$

সুতরাং, ওজনযুক্ত সর্বনিম্ন স্কোয়ার ক্ষতির জন্য, উপপাদ্যটি বলেছে যে বেইস অনুমানটি পূর্বের ভিন্নতার সাথে সম্মানের সাথে উত্তরোত্তর মাধ্যম। পূর্বে হচ্ছে

π^{'} (θ) \propto w (θ) π_{1} (θ) .

$\pi'(\theta) \propto w(\theta) \pi_1(\theta).$

স্বাভাবিককরণের ধ্রুবকটি হ'ল । $\int_{\theta} w(\theta) \pi(\theta) d\theta = E_{\pi_1}[w(\theta)]$

\begin{aligned} E_{π_{1}} [w (θ)] & = \int_{0}^{1 / 2} I_{0, 1} (θ) d (θ) = \frac{1}{2} . \end{aligned}

$\begin{align*} E_{\pi_1}[w(\theta)] & = \int_{0}^{1/2} I_{0,1}(\theta) d(\theta) = \frac{1}{2}. \end{align*}$

সুতরাং পূর্ববর্তীটি হ'ল । আপনার প্রথম প্রশ্নটিতে এটি একই ছিল। $\pi'(\theta) = 2I_{(0,1/2)}(\theta)$

সুতরাং পরিস্থিতিগুলির উত্তর (যা কিছু হোক) একই হবে। আপনি এখানে অবিচ্ছেদ্য খুঁজে পেতে পারেন । যদিও, এটি উত্তরের ফর্মটি সঠিক করতে যথেষ্ট হতে পারে এবং অবিচ্ছেদ্য সম্পূর্ণ না করে।

— Greenparker
সূত্র