মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন উপর আবদ্ধ

এই প্রশ্নটি এখানে জিজ্ঞাসিত ব্যক্তির থেকে উত্থাপিত মুহুর্ত উত্পাদনকারী ফাংশনগুলি (এমজিএফ) সম্পর্কে উত্থিত হয়।

ধরা যাক একটি সীমিত শূন্য-গড় র্যান্ডম পরিবর্তনশীল যা মান গ্রহণ করে এবং এর এমজিএফ হতে দেয়। প্রমাণ হিসাবে ব্যবহৃত একটি সীমা থেকে , আমাদের কাছে রয়েছে যেখানে ডান দিকটি এমজিএফ হিসাবে স্বীকৃত স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি সহ একটি শূন্য-গড় স্বাভাবিক এলোমেলো পরিবর্তনশীল । এখন, এর স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি চেয়ে বড় আর কোনও হতে পারে না , যখন একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল যেমন $X$ $[-\sigma, \sigma]$ $G(t) = E[e^{tX}]$

G (t) = E [e^{t X}] \leq e^{σ^{2} t^{2} / 2}

$G(t) = E[e^{tX}] \leq e^{\sigma^2t^2/2}$

σ

$\sigma$

X

$X$

σ

$\sigma$

X

$X$

P {X = σ} = P {X = - σ} = \frac{1}{2}

$P\{X = \sigma\} = P\{X = -\sigma\} = \frac{1}{2}$ । সুতরাং, সীমাবদ্ধ সীমারেখাটি বলে মনে করা যেতে পারে যে শূন্য-গড় বাউন্ডেড এলোমেলো ভেরিয়েবল এর এমজিএফ উপরে একটি শূন্য-গড় সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের এমজিএফ দ্বারা আবদ্ধ করা হয় যার স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি সর্বাধিক সম্ভাব্য স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির সমান যা করতে পারে আছে।

X

$X$

X

$X$

আমার প্রশ্ন হ'ল: হফিংয়ের অসমতার প্রমাণ ব্যতীত অন্য জায়গাগুলিতে স্বতন্ত্র আগ্রহের এটি কি একটি সুপরিচিত ফলাফল এবং যদি তাই হয়, তবে এটি ননজারো অর্থ সহ এলোমেলো পরিবর্তনগুলিও প্রসারিত হিসাবে পরিচিত?

ফলে অনুরোধ জানানো এই প্রশ্নের সামঁজস্যহীন পরিসীমা পারবেন জন্য সঙ্গে কিন্তু জিদ । আবদ্ধ হয় যেখানে হ'ল সীমাবদ্ধ মান সহ একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের পক্ষে সর্বাধিক স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি , তবে এই সর্বাধিকটি শূন্য-গড় র্যান্ডম ভেরিয়েবল দ্বারা অর্জন করা সম্ভব হবে না যদি । $[a,b]$ $X$ $a < 0 < b$ $E[X] = 0$

G (t) \leq e^{t^{2} (b - a)^{2} / 8} = e^{t^{2} σ_{m a x}^{2} / 2}

$G(t) \leq e^{t^2(b-a)^2/8} = e^{t^2\sigma_{max}^2/2}$

σ_{max} = (b - a) / 2

$\sigma_{\max} = (b-a)/2$

[a, b]

$[a,b]$

b = - a

$b = -a$

probability probability-inequalities mgf

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি যা আপনার উদ্ধৃতিটির মতো এমজিএফের সীমানা পূরণ করে তাকে সাবগুশিয়ান র্যান্ডম ভেরিয়েবল বলে। এগুলি কেন্দ্রীয় ভূমিকা পালন করে, উদাহরণস্বরূপ, ননসিম্পটোটিক এলোমেলো ম্যাট্রিক্স তত্ত্ব এবং সংবেদনশীল সংবেদনে কিছু সম্পর্কিত ফলাফল। উদাহরণস্বরূপ, উত্তরের লিঙ্কটি এখানে দেখুন । (এটি স্পষ্টতই আপনার নির্দিষ্ট প্রশ্নের সাথে কথা বলে না; তবে এটি একটি সম্পর্কিত প্রকৃতির))

— কার্ডিনাল

আমি আপনার প্রশ্নের প্রথম অংশটির উত্তর দিতে পারছি না, তবে ননজারো অর্থ দিয়ে এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলিতে প্রসারিত করার জন্য ...

প্রথমে নোট করুন যে সীমাবদ্ধ পরিসীমা সহ যে কোনও আরভি এবং (প্রয়োজনীয় সসীম) অর্থ একটি আরভি রূপান্তরিত হতে পারে যা অবশ্যই শূন্যের সাথে পরিসীমা সহ (এভাবে আপনার সমস্যার বিবৃতিতে শর্তগুলি সন্তুষ্ট করা)। রূপান্তরিত বৈকল্পিকটির এমজিএফ (এমজিএফের মূল বৈশিষ্ট্য দ্বারা) উভয় পক্ষকে by দ্বারা গুণিত করে এবং প্রয়োগ করে বৈষম্য দেয়: $Z$ $[a+\mu,b+\mu]$ $\mu$ $X = Z-\mu$ $[a,b]$ $\phi_X(t) = \exp\{-\mu t\}\phi_Z(t)$ $\exp\{\mu t\}$

$\phi_Z(t) = \exp\{\mu t\}\phi_X(t) \leq \exp\{\mu t\}\exp\{t^2\sigma^2_\text{max}/2\} = \exp\{\mu t + t^2\sigma^2_\text{max}/2\}$

এটি আশ্চর্যজনক নয় যে, একই গড় এবং মানক চ্যুতির সঙ্গে একটি স্বাভাবিক এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের mgf করার সমান । $\sigma_\text{max}$

— jbowman
সূত্র