সিডিএফগুলি কি পিডিএফের চেয়ে বেশি মৌলিক?

Question

আমার স্টাট প্রফেসর মূলত বলেছিলেন, নিম্নলিখিত তিনটির মধ্যে একটি দেওয়া থাকলে আপনি অন্য দুটি খুঁজে পেতে পারেন:

• ক্রম বিতরণ ফাংশন
• মোমেন্ট জেনারেটিং ফাংশন
• সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন

তবে আমার একনোমেট্রিক্সের অধ্যাপক বলেছিলেন সিডিএফগুলি পিডিএফ-এর চেয়ে বেশি মৌলিক কারণ এমন একটি উদাহরণ রয়েছে যেখানে আপনার সিডিএফ থাকতে পারে তবে পিডিএফ সংজ্ঞায়িত হয়নি।

সিডিএফগুলি কি পিডিএফের চেয়ে বেশি মৌলিক? আমি কীভাবে জানব যে কোনও পিডিএফ বা এমজিএফ সিডিএফ থেকে নেওয়া যেতে পারে?

Comments

এটি কি একরকম মৌলিক প্রতিযোগিতা? আমাদের কি সেলিব্রিটি বিচারকদের একটি প্যানেল রয়েছে? এই তিনটি ধারণাটি একটি স্থান একটি পরিমাপ সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত হতে পারে । তবে প্রদত্ত সিডিএফের জন্য, এমজিএফ এবং পিডিএফ উপস্থিত থাকতে পারে না, কারণ পিডিএফটিকে সিডিএফের একটি ডেরাইভেটিভ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, এবং এমজিএফকে হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং এটি অবিচ্ছেদ্য প্রয়োজন নেই। তবে এর অর্থ এই নয় যে এগুলির কোনও ধারণাই কম মৌলিক। ফান্ডামেন্টাল একটি দুর্দান্ত বিশেষণ যার গাণিতিক সংজ্ঞা নেই। এটি গুরুত্বপূর্ণ প্রতিশব্দ। ∫ আর এক্সপ্রেস(টিএক্স)ডিএফ(এক্স$\mathbb{R}^d$$\int_{\mathbb{R}}\exp(tx)dF(x)$

— এমপিক্টাস

@ এমপিক্টাস: ম্যাথবিবি আর on এর প্রতিটি সম্ভাব্যতা বিতরণের একটি সিডিএফ রয়েছে এবং এটি বিতরণটিকে স্বতন্ত্রভাবে সংজ্ঞায়িত করে। সমস্ত সম্ভাব্য বন্টনগুলির একটি পিডিএফ বা এমজিএফ থাকে না, তবে (তবে তাদের সকলেরই একটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশন রয়েছে )। $\mathbb R^n$

— ইলমারি করোনেন

@mpiktas আপনার সাথে এটা করতে পারে উপর । তারপরে সংজ্ঞায়িত করা হয়নি Nevertheless তবুও আমার কাছে এটি স্পষ্টত স্পষ্ট যে অধ্যাপক কেন "আরও মৌলিক" অভিব্যক্তিটি ব্যবহার করেছিলেন। বিশেষণটির গাণিতিক কোনও সঠিক সংজ্ঞা থাকতে পারে না, তবে কী? আমি কথা বলি ( কিছু) ইংরাজীও। প্রতিটি পিডিএফ যা আমরা জানি একটি অন্তর্নিহিত সিডিএফ রয়েছে Here এখানে "অন্তর্নিহিত" "" মৌলিক "এর সাথে একটি চমৎকার সংযোগ রয়েছে The বিপরীতটি সত্য নয়আর পি ( ( - ∞ , এক্স ] $\mathcal A=\{\mathbb R,\varnothing\}$$\mathbb R$$P((-\infty,x])$

— ড্রাহাব

@ শ্রাব, স্বাভাবিকভাবেই আমি রেডন-নিকোডিয়াম ডেরিভেটিভের কথা বলছিলাম :) আমিও পুরোপুরি বুঝতে পেরেছি যে অধ্যাপকের মনে কী ছিল, তবে আমার মতে শিক্ষার্থীদের সাথে এই ধরনের অভিব্যক্তি ব্যবহার করা বিপজ্জনক, কারণ তারপরে পরিবর্তনের মধ্যে পার্থক্যটি বোঝার চেষ্টা করা হয়েছে গাণিতিক ধারণাগুলি তারা মৌলিকত্ব অনুযায়ী তাদের র‌্যাঙ্ক করার চেষ্টা করে, যা মৌলিক ভুল। পুন উদ্দেশ্য।

— এমপিক্টাস

@ এমপিক্টাস: নিশ্চিত, "মৌলিক" এর কোন সঠিক সংজ্ঞা নেই। তবে "কঠোরভাবে সংজ্ঞায়িত" এবং "সম্পূর্ণ অর্থহীন" এর মধ্যে একটি বড় মাঝারি স্থল রয়েছে। আমাদের গণিতে নিজেই অবশ্যই অবশ্যই সবকিছু অবশ্যই সম্পূর্ণ কঠোর হওয়া উচিত, তাই আমরা যে কোনও কিছু নয় এমন চড় মারতে অভ্যস্ত হয়ে উঠি। কিন্তু যখন আমরা কথা বলতে এবং মনে সম্পর্কে গণিত, আমরা শুধু বাকিদের মত মত "মৌলিক", "সাধারণ", ইত্যাদি হিসাবে ভাল বিষয়ী এখনো-অর্থপূর্ণ অভিমত রয়েছে; এবং ঠিক আছে।

— পিএলএল

Answer 1

on এর প্রতিটি সম্ভাব্যতা বিতরণে একটি বন্টন কার্যকারিতা থাকে এবং এটি অনন্যভাবে বিতরণকে সংজ্ঞায়িত করে। সুতরাং, এই অর্থে, সিডিএফ সত্যই বিতরণ হিসাবে হিসাবে মৌলিক।$\mathbb R^n$

একটি সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন , তবে কেবল (সম্পূর্ণ) ক্রমাগত সম্ভাব্যতা বিতরণের জন্য বিদ্যমান । পিডিএফ না থাকা কোনও বিতরণের সহজ উদাহরণ হ'ল কোনও পৃথক সম্ভাবনা বন্টন , যেমন একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের বিতরণ যা কেবল পূর্ণসংখ্যার মান নেয় takes

অবশ্যই, এই জাতীয় বিচ্ছিন্নতা সম্ভাবনা বিতরণগুলি তার পরিবর্তে সম্ভাব্য গণ ফাংশন দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে , তবে এমন একটি বিতরণও রয়েছে যা না পিডিএফ এবং একটি পিএমএফ, যেমন একটি ধারাবাহিক এবং পৃথক বিতরণের কোনও মিশ্রণ:

^{( সম্পর্কিত প্রশ্নটির উত্তর গ্লেন_বি থেকে নির্লজ্জভাবে চুরি করা ডায়াগ্রাম ))}

এমনকি ক্যান্টর বিতরণের মতো একক সম্ভাবনা বিতরণও রয়েছে , যা পিডিএফ এবং পিএমএফের সংমিশ্রণ দ্বারাও বর্ণনা করা যায় না । যদিও এই জাতীয় বিতরণগুলিতে এখনও একটি ভাল সংজ্ঞায়িত সিডিএফ রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, ক্যান্টর বিতরণের সিডিএফ এখানে রয়েছে, যাকে কখনও কখনও "শয়তানের সিঁড়ি" বলা হয়:

^{( চিত্র থেকে উইকিমিডিয়া কমন্সের ব্যবহারকারীদের দ্বারা Theon এবং Amirki , এর আওতায় ব্যবহৃত CC-BY-SA 3.0- লাইসেন্স।)}

ক্যান্ডোর ফাংশন হিসাবে পরিচিত সিডিএফ অবিচ্ছিন্ন তবে একেবারে অবিচ্ছিন্ন নয়। প্রকৃতপক্ষে, এটি শূন্য লেবেসগু পরিমাপের ক্যান্টর সেট ব্যতীত সর্বত্র স্থির , তবে এর মধ্যে এখনও অনেকগুলি পয়েন্ট রয়েছে। সুতরাং, ক্যান্টর বিতরণের পুরো সম্ভাব্যতা ভরটি আসল সংখ্যা লাইনের এই অদৃশ্যভাবে ছোট সাবসেটের দিকে কেন্দ্রীভূত হয় তবে সেটের প্রতিটি পয়েন্ট এখনও পৃথকভাবে শূন্য সম্ভাবনা থাকে।

---

এমন সম্ভাবনা বিতরণগুলিও রয়েছে যা মুহুর্তে উত্পন্ন করার কাজ করে না । সম্ভবত সর্বাধিক পরিচিত উদাহরণ কচী বিতরণ , একটি ফ্যাট-লেজযুক্ত বিতরণ যার অর্ডার 1 বা ততোধিকের কোনও সুসংজ্ঞাত মুহুর্ত নেই (এইভাবে, বিশেষত, কোনও সুস্পষ্ট সংজ্ঞাযুক্ত গড় বা বৈকল্পিকতা নেই!)।

সমস্ত সম্ভাব্যতা বিতরণে অবশ্য একটি (সম্ভবত জটিল-মূল্যবান) বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশন থাকে , যার সংজ্ঞা কেবলমাত্র কাল্পনিক ইউনিটের সাথে একটি গুণ দ্বারা এমজিএফের চেয়ে পৃথক হয় । সুতরাং, বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনটি সিডিএফ হিসাবে মৌলিক হিসাবে বিবেচিত হতে পারে।$\mathbb R^n$

Comments

আপনি বলছেন যে প্রতিটি বিতরণে সিডিএফ রয়েছে তবে প্রত্যেকের পিডিএফ নেই, তবে আসলে এমন বিতরণ রয়েছে যা পিডিএফ রয়েছে এবং ক্লোড ফর্মের সিডিএফ নেই যেমন মাল্টিভারিয়েট স্বাভাবিক।

— টিম

@ টিম: এটি সত্য, তবে কেবল "ক্লোজড ফর্ম" বাছাইয়ের সাথে; সিডিএফ এখনও বিদ্যমান আছে, এমনকি যদি আমরা এটি বন্ধ আকারে লিখতে না পারি। এবং যে কোনও ক্ষেত্রে, " বদ্ধ ফর্ম এক্সপ্রেশন " এর সংজ্ঞা কুখ্যাতভাবে ম্লান; কিছু কঠোর সংজ্ঞা অনুসারে, অবিচ্ছিন্ন সাধারণ বিতরণেও ক্লোজড ফর্ম সিডিএফ থাকে না, তবে আপনি যদি ত্রুটি ফাংশনটিকে ক্লোজড-ফর্ম হিসাবে বিবেচনা করেন তবে তা করে।

— ইলমারি করোনেন

@ টিম এটি কোনও পাল্টা উদাহরণ নয়। এটি একটি স্বেচ্ছাসেবী সম্পত্তি যা আপনি আপনার জন্য গুরুত্বপূর্ণ / মৌলিক হিসাবে বেছে নিয়েছিলেন। আমার কাছে, "উপস্থিত রয়েছে" সম্পত্তি "ক্লোজড ফর্ম" এর চেয়ে বেশি গুরুত্বপূর্ণ। আরও, "সর্বদা উপস্থিত" বনাম "কখনও কখনও কোনও ফাংশনের মতো বন্ধ ফর্ম নাও থাকতে পারে"।

— অর্ক-কুন

$[0,1] \subset \Bbb{R}$

@ আরক-কুন আমি এখানে শয়তানদের উকিল খেলছি যেহেতু সিডিএফ এর পরে পিডিএফ আরও কিছু "সরাসরি উপলভ্য" কিছু ক্ষেত্রে রয়েছে। আমি এই উত্তরটি পছন্দ করি (+1), তবে আইএমএইচও, এটি এমন একটি বিষয় যা উল্লেখ করা যেতে পারে।

— টিম

Answer 2

আমি বিশ্বাস করি যে আপনার একনোমেট্রিক্সের অধ্যাপক নিম্নলিখিত লাইনের সাথে কিছু ভাবছিলেন thinking

ফাংশনটি বিবেচনা করুন$F$$[0, 1]$

$$F(x) = \frac{1}{2}x \ \text{for} \ x < \frac{1}{2}$$ $$F(x) = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \ \text{for} \ x \geq \frac{1}{2}$$

$[0, 1]$

$$P\left(\left\{\frac{1}{2}\right\}\right) = \frac{1}{2}$$

$f$

$f$

একটি পিডিএফ সংজ্ঞা দ্বারা, আমাদের অবশ্যই

$$\int_0^x f(t) dt = F(x) - F(0) = \frac{1}{4}x$$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$$f(x) = \frac{1}{4} \ \text{for} \ x < \frac{1}{2}$$

একইভাবে, তবে এক থেকে শুরু করে একীকরণ করা, শূন্যের দিকে এগিয়ে যাওয়া এবং এ শেষ$x > \frac{1}{2}$

$$f(x) = \frac{1}{4} \ \text{for} \ x > \frac{1}{2}$$

সুতরাং আমরা নির্ধারণ করেছি$f$$f\left(\frac{1}{2}\right)$$f\left(\frac{1}{2}\right)$

$$P\left(\left\{\frac{1}{2}\right\}\right) = \frac{1}{2}$$

আমাদের দরকার হবে

$$\int_{\frac{1}{2} - \epsilon}^{\frac{1}{2} + \epsilon} f(t) dt > \frac{1}{2}$$

প্রতিটি অন্তর জন্য$\frac{1}{2}$

$$\int_{\frac{1}{2} - \epsilon}^{\frac{1}{2} + \epsilon} f(t) dt = \int_{\frac{1}{2} - \epsilon}^{\frac{1}{2} + \epsilon} \frac{1}{4} dt = \frac{1}{2} \epsilon$$

$f$

আপনি একটি পিডিএফের স্পিরিটটি পুনরুদ্ধার করতে পারেন, তবে আপনাকে অবশ্যই পরিশীলিত গাণিতিক জিনিসগুলি ব্যবহার করতে হবে, হয় কোনও পরিমাপ বা বিতরণ ।

Comments

এই "অসম্ভব সম্পত্তি" সহজেই করে অর্জিত হয়$\frac{1}{2} \delta \left(x-\frac{1}{2}\right)$$\delta(x)$$x=0$ $$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \,\mathrm{d}x = 1$$

$L^1$

@ আইলনোটেক্সিস্ট ইডোনোটেক্সিস্ট হুফার যা বলেছিল তা হ'ল আমি শেষ লাইনে ইঙ্গিত দিয়েছিলাম। আমি "বিতরণ" শব্দটি ব্যবহার করেছি।

— ম্যাথু ড্রুরি

$1/2$$1/2$

Answer 3

তাত্ত্বিক দৃষ্টিকোণ থেকে ইলমারি একটি ভাল উত্তর দেয়। তবে, কেউ জিজ্ঞাসা করতে পারে যে ঘনত্ব (পিডিএফ) এবং বিতরণ ফাংশন (পিডিএফ) ব্যবহারিক গণনার জন্য কী উদ্দেশ্যে কাজ করে। এটি স্পষ্ট করে দিতে পারে যেগুলির জন্য একটির পরিস্থিতি অন্যগুলির তুলনায় আরও সরাসরি কার্যকর।

$\mathbb{R}$$(-\infty,x]$$-$$-$

ঘনত্বটি অবশ্য পরিসংখ্যানগুলির জন্য প্রয়োজনীয়, কারণ ঘনত্বের ক্ষেত্রে সম্ভাবনাটি সংজ্ঞায়িত করা হয়। সুতরাং যদি আমরা সর্বাধিক সম্ভাবনার অনুমান গণনা করতে চাই তবে আমাদের সরাসরি ঘনত্ব প্রয়োজন।

যদি আমরা একটি অভিজ্ঞতা এবং তাত্ত্বিক বিতরণের তুলনা ঘুরে দেখি তবে উভয়ই কার্যকর হতে পারে তবে বিতরণ ফাংশনের উপর ভিত্তি করে পিপি- এবং কিউকি-প্লটগুলির মতো পদ্ধতিগুলি প্রায়শই পছন্দ করা হয়।

$\mathbb{R}^d$$d \geq 2$