এনআইডির স্বাভাবিক ভেরিয়েবলগুলির সর্বাধিক অনুপাতের প্রত্যাশিত মান

Question

ধরুন $X_1,...,X_n$ থেকে IID হয় $N(\mu,\sigma^2)$ দিন $X_{(i)}$ বোঝাতে $i$ 'থেকে তম ক্ষুদ্রতম উপাদান $X_1,...,X_n$ । মধ্যে পর পর দুটি উপাদানগুলির মধ্যে অনুপাতের সর্বাধিক অনুপাতে কীভাবে একজন উচ্চতর সীমাবদ্ধ করতে সক্ষম হবেন $X_{(i)}$? এটি হল, আপনি কীভাবে উপরের দিকে গননা করতে পারেন:

$$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}}\right)\right]$$

আমি যে সাহিত্যের সন্ধান করতে পেরেছি তা বেশিরভাগ ক্ষেত্রে দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মধ্যে অনুপাতের দিকে দৃষ্টি নিবদ্ধ করা হয় যার ফলে অনুপাতের বিতরণ হয় যার জন্য দুটি অনিয়ন্ত্রিত সাধারণ বিতরণের পিডিএফ এখানে দেওয়া হয়: https://en.wikedia.org/wiki/ Ratio_distribution # Gaussian_ratio_distribution । এই আমাকে প্রত্যাশিত গড় অনুপাত upperbound করতে সক্ষম হবে যদিও ভেরিয়েবল আমি প্রত্যাশিত সর্বোচ্চ অনুপাত খোঁজার জন্য এই ধারণা সাধারণের কিভাবে দেখতে পারে না এন ভেরিয়েবল।$n$$n$

Comments

যেহেতু নীচে নীচে উল্লিখিত হয়েছে, দুটি ক্রমাগত অর্ডারের পরিসংখ্যানের অনুপাতটি রূপান্তর করে না। তবে যদি তা হয়ে থাকে বা আপনি যদি তাদের পার্থক্যে আগ্রহী হন তবে ... সমস্যাটি দুটি লার্জস্টের অর্ডার পরিসংখ্যানের E অর্থাৎ [[ এক্স ( এন ) - এক্স $$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(X_{(i+1)} - X_{(i)} \right)\right]$$ ... সাধারণ লেজগুলির আকৃতি থেকে। $$E[X_{(n)} -X_{(n-1)}]$$

— নেকখরা

Answer 1

প্রত্যাশা অপরিবর্তিত

যাক IID হতে অনুযায়ী কোনো বন্টন এফ নিম্নলিখিত সম্পত্তি সঙ্গে একটি ধনাত্মক সংখ্যা অস্তিত্ব আছে জ এবং একটি ইতিবাচক ε যেমন যে$X_i$$F$$h$$\epsilon$

$$F(x) - F(0) \ge h x\tag{1}$$

সব জন্য । এই সম্পত্তিটি যে কোনও অবিচ্ছিন্ন বিতরণের ক্ষেত্রে সত্য, এরকম একটি সাধারণ বিতরণ, যার ঘনত্ব এফ ক্রমাগত এবং ননজারো 0 এ থাকে , তারপরে F ( x ) - F ( 0 ) = f ( 0 ) x + o ( x ) , আমাদের অনুমতি দেয় 0 এবং f ( 0 ) এর মধ্যে যে কোনও নির্দিষ্ট মানের জন্য h নিন ।$0 \lt x \lt \epsilon$$f$$0$$F(x) - F(0) = f(0)x + o(x)$$h$$0$$f(0)$

বিশ্লেষণকে সহজ করার জন্য আমি এবং 1 - এফ ( 1 ) > 0 ও ধরে নেব , যা উভয়ই সাধারণ বিতরণে সত্য true (আধুনিক rescaling দ্বারা আশ্বস্ত করা যাবে এফ প্রয়োজনে। সাবেক শুধুমাত্র একটি সম্ভাবনা একটি সহজ অবমূল্যায়ন অনুমতি ব্যবহার করা হয়।)$F(0) \gt 0$$1-F(1) \gt 0$$F$

আসুন এবং আসুন অনুপাতের বেঁচে থাকার ক্রিয়াকে অত্যধিক পর্যালোচনা করি$t \gt 1$

$$\eqalign{ \Pr\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}} \gt t\right) &= \Pr(X_{(i+1)} \gt t X_{(i)}) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ X_{(i)} \le 1/t) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ 1/t \ge X_{(i)} \gt 0,\ 0 \ge X_{(i-1)}).}$$

$n-i$$X_j$$1$$(0,1/t]$$i-1$$F$

$$\binom{n}{n-i,1,i-1}(1-F(1))^{n-i}(F(1/t)-F(0))F(0)^{i-1}.$$

$t \gt 1/\epsilon$$(1)$$1/t$

$S(t)$$X_{(i+1)}/X_{(i)}$$1/t$$S(t) = a/t + o(1/t)$$a$

$\max(X,0)$$-\max(-X,0)$$0$$\infty$

$$\int_0^x S(t) dt = \int_0^x (1/t + o(1/t))dt\; \propto\; \log(x),$$

$X_{(i+1)}/X_{(i)}$

$-X_i$

Comments

$n = 3$