প্রত্যাশা

10

যাক $X_1$ , $X_2$ , $\cdots$ , $X_d \sim \mathcal{N}(0, 1)$ ও স্বাধীন হতে। এর প্রত্যাশা কী $\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}$ ?

) সন্ধান করা সহজ $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}\right) = \frac{1}{d}$ দ্বারা । তবে এর প্রত্যাশা কীভাবে খুঁজে পাবেন তা আমি জানি না $\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}$ । আপনি কিছু ইঙ্গিত প্রদান করতে পারেন?

আমি এ পর্যন্ত কি পেয়েছি

আমি করতে চাইছিলাম $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ দ্বারা। তবে এই ক্ষেত্রে $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}\right)$ কারণ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ সমান নাও হতে পারে $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ । সুতরাং প্রত্যাশাটি খুঁজতে আমার আরও কিছু ধারণা প্রয়োজন।

এই প্রশ্নটি কোথা থেকে এসেছে

$\|Ax\|_2^2$ $x$ $S^{d-1}$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ $i \neq j$

\sum_{i \neq j} E (\frac{X_{i}^{2} X_{j}^{2}}{(X_{1}^{2} + \dots + X_{d}^{2})^{2}}) + \sum_{i} E (\frac{X_{i}^{4}}{(X_{1}^{2} + \dots + X_{d}^{2})^{2}}) = 1

$\sum_{i \neq j}\mathbb{E} \left( \frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) + \sum_i \mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) = 1$

E (\frac{X_{1}^{4}}{(X_{1}^{2} + \dots + X_{d}^{2})^{2}})

$\mathbb{E}\left(\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ অন্যান্য প্রত্যাশা পেতে।

— মাইকেল হার্ডি
সূত্র

7

এর বিতরণটি চি-স্কোয়ার (এবং একটি বিশেষ ক্ষেত্রেও)। $X_i^2$

বিতরণের যার ফলে হয় বিটা। $\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}$

বিটার স্কোয়ারের প্রত্যাশা কঠিন নয়।

— গ্লেন_বি -রাইনস্টেট মনিকা
সূত্র

5

এই উত্তরটি @ গ্লেন_ বি এর উত্তর প্রসারিত করে।

ফ্যাক্ট 1: যদি , , , স্বাধীন আদর্শ সাধারন বন্টনের র্যান্ডম ভেরিয়েবল, তারপর তাদের বর্গের সমষ্টি সঙ্গে চি-স্কোয়ারড ডিস্ট্রিবিউশন আছে স্বাধীন ডিগ্রীগুলির। অন্য কথায়, $X_1$ $X_2$ $\cdots$ $X_n$ $n$
$X_{1}^{2} + \dots + X_{n}^{2} \sim χ^{2} (n)$ $X_1^2 + \cdots + X_n^2 \sim \chi^2(n)$

অতএব, এবং । $X_1^2 \sim \chi^2(1)$ $X_2^2 + \cdots + X_d^2 \sim \chi^2(d-1)$

ঘটনা 2: যদি এবং , তবে then $X \sim \chi^2(\lambda_1)$ $Y \sim \chi^2(\lambda_2)$
$\frac{X}{X + Y} \sim beta (\frac{λ_{1}}{2}, \frac{λ_{2}}{2})$ $\frac{X}{X + Y} \sim \texttt{beta}(\frac{\lambda_1}{2}, \frac{\lambda_2}{2})$

অতএব, । $Y = \frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2} \sim \texttt{beta}(\frac{1}{2}, \frac{d-1}{2})$

ঘটনা 3: যদি তবে এবং $X \sim \texttt{beta}(\alpha, \beta)$
$E (X) = \frac{α}{α + β}$ $\mathbb{E}(X) = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}$ $V a r (X) = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)}$ $\mathbb{Var}(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha + \beta)^2(\alpha + \beta + 1)}$

সুতরাং, এবং

E (Y) = \frac{1}{d}

$\mathbb{E}(Y) = \frac{1}{d}$

V a r (Y) = \frac{2 (d - 1)}{d^{2} (d + 2)}

$\mathbb{Var}(Y) = \frac{2(d-1)}{d^2(d+2)}$

শেষ ,

E (Y^{2}) = V a r (Y) + E (Y)^{2} = \frac{3 d}{d^{2} (d + 2)} .

$\mathbb{E}(Y^2) = \mathbb{Var}(Y) + \mathbb{E}(Y)^2 = \frac{3d}{d^2(d+2)}.$

— user603
সূত্র

1

@ এনপি-হার্ড: দেখে মনে হচ্ছে আপনি আসলে এই প্রশ্নের উত্তর দিতে সক্ষম হবেন বলে এই প্রশ্নটি করেছিলেন ? কেন শুধু যে উল্লেখ না?

— জোরিকি

@জোরিকি ধন্যবাদ আমি প্রশ্নের লিঙ্ক যুক্ত করব।