Ig আলজেব্রার শর্তাধীন প্রত্যাশার জন্য অন্তর্দৃষ্টি

Question

যাক একটি সম্ভাব্যতা স্থান হতে, একটি দৈব চলক দেওয়া এবং একটি -algebra আমরা একটি নতুন এলোমেলো পরিবর্তনশীল , যা শর্তাধীন প্রত্যাশা।$(\Omega,\mathscr{F},\mu)$$\xi:\Omega \to \mathbb{R}$$\sigma$$\mathscr{G}\subseteq \mathscr{F}$$E[\xi|\mathscr{G}]$

---

সম্পর্কে চিন্তা করার অন্তর্দৃষ্টিটি আসলে কী ? আমি নিম্নলিখিতগুলির স্বজ্ঞাততাটি বুঝতে পারি:$E[\xi|\mathscr{G}]$

(i) যেখানে হল একটি ইভেন্ট (ইতিবাচক সম্ভাবনা সহ)।$E[\xi|A]$$A$

(ii) যেখানে একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল।$E[\xi|\eta]$$\eta$

তবে আমি দেখতে পারি না । আমি এর গণিত বুঝতে পারি, এবং আমি বুঝতে পারি যে এটি সহজ রূপায়ণ করতে পারে যেগুলি আমরা সাধারণভাবে রূপায়িত করতে পারি general তবে তবুও আমি এই চিন্তাভাবনাটিকে দরকারী বলে মনে করি না। এটি আমার কাছে রহস্যময় বস্তু হিসাবে রয়ে গেছে।$E[\xi|\mathscr{G}]$

---

উদাহরণস্বরূপ, যাক সাথে একটি ইভেন্ট হতে । ফরম -algebra , দ্বারা উত্পন্ন এক । তারপর সমান হবে যদি , এবং সমান যদি । অন্য কথায়, যদি , এবং যদি ।$A$$\mu(A)>0$$\sigma$$\mathscr{G} = \{ \emptyset, A, A^c, \Omega\}$$A$$E[\xi|\mathscr{G}](\omega)$$\frac{1}{\mu(A)} \int_A \xi$$\omega \in A$1μ ( এ সি ) ∫এসিξω∉এই[ξ| জি](ω)=ই[ξ| ক]ω∈এই[ξ| জি](ω)=ই[ξ| কগ]ω∈এ$\frac{1}{\mu(A^c)} \int_{A^c} \xi$$\omega \not \in A$$E[\xi|\mathscr{G}](\omega) = E[\xi|A]$$\omega\in A$$E[\xi|\mathscr{G}](\omega) = E[\xi|A^c]$$\omega \in A^c$

যে অংশটি বিভ্রান্তিকর তা হ'ল , সুতরাং আমরা কেবল ? কেন আমরা প্রতিস্থাপন না দ্বারা ই [\ একাদশ | একটি \ পাঠ্য {বা} এ ^ সি] এ এর মধ্যে \ ওমেগা whether কিনা তা নির্ভর করে তবে E [\ xi] দ্বারা E [\ xi | th mathscr {G}] প্রতিস্থাপনের অনুমতি নেই ?$\omega \in \Omega$$E[\xi|\mathscr{G}](\omega) = E[\xi|\Omega] = E[\xi]$$E[\xi|\mathscr{G}]$$E[\xi| A\text{ or } A^c]$$\omega\in A$$E[\xi|\mathscr{G}]$$E[\xi]$

---

বিঃদ্রঃ. এই প্রশ্নের জবাবে শর্তাধীন প্রত্যাশার কঠোর সংজ্ঞাটি ব্যবহার করে এটি ব্যাখ্যা করবেন না। আমি বুঝতে পারি যে. আমি যা বুঝতে চাই তা হচ্ছে শর্তাধীন প্রত্যাশাটি গণনা করা উচিত এবং কেন আমরা অন্যটির স্থানে একজনকে প্রত্যাখ্যান করি।

Answer 1

ওয়ান ওয়ে শর্তাধীন উপস্থাপনা সম্পর্কে ভাবতে সম্মুখের দিকে একটি অভিক্ষেপ হিসাবে -algebra ।। $\sigma$$\mathscr{G}$

( উইকিমিডিয়া কমন্স থেকে )

স্কোয়ার-ইন্টিগ্রেটেবল এলোমেলো ভেরিয়েবলের কথা বলার সময় এটি সত্যই সত্য; এই ক্ষেত্রে E [ ξ | জি ] আসলে এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের লম্ব অভিক্ষেপ হয় ξ এর subspace সম্মুখের এল 2 ( Ω ) থেকে সম্মান সঙ্গে পরিমাপযোগ্য র্যান্ডম ভেরিয়েবল নিয়ে গঠিত জি । এবং প্রকৃতপক্ষে এটি এল 2 এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির দ্বারা আনুমানিক মাধ্যমে L 1 এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য কিছুটা ক্ষেত্রে সত্য হতেও দেখা যায় ।$\mathbb{E}[\xi|\mathscr{G}]$$\xi$$L^2(\Omega)$$\mathscr{G}$$L^1$$L^2$

(রেফারেন্সের জন্য মন্তব্য দেখুন।)

এক বিবেচনায় যদি σ - প্রতিনিধিত্বমূলক কত তথ্য আমরা উপলব্ধ (বা তার ব্যাখ্যা যা সম্ভাব্যতার সূত্রাবলি প্রক্রিয়া তত্ত্ব রয়েছে ডি rigueur) থাকে, তখন বৃহত্তর যেমন algebras σ - algebras আরো সম্ভব ঘটনা এবং সম্ভাব্য ফলাফল সম্পর্কে এইভাবে আরও তথ্যের বলতে চাচ্ছি, যেখানে খুব কম σ - বীজগণিতগুলি কম সম্ভাব্য ইভেন্ট এবং এর ফলে সম্ভাব্য ফলাফল সম্পর্কে কম তথ্য বোঝায়।$\sigma-$$\sigma-$$\sigma-$

অতএব, জরিপ এফ -measurable দৈব চলক ξ ছোট সম্মুখের σ - বীজগণিত জি মান আমাদের সেরা অনুমান গ্রহণ মানে ξ আরো সীমিত তথ্য থেকে পাওয়া প্রদত্ত জি ।$\mathscr{F}$$\xi$$\sigma-$$\mathscr{G}$$\xi$$\mathscr{G}$

অন্য কথায়, একমাত্র তথ্য দেওয়া জি , এবং থেকে তথ্য সমগ্র না ফাঃ , ই [ ξ | জি ] র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল what কী তার জন্য আমাদের সেরা সম্ভাবনা অনুগ্রহাত্মক অর্থে।$\mathscr{G}$$\mathscr{F}$$\mathbb{E}[\xi|\mathscr{G}]$$\xi$

---

আপনার উদাহরণের সাথে, আমি মনে করি আপনি এলোমেলো ভেরিয়েবল এবং তাদের মানগুলি বিভ্রান্ত করছেন। একটি এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এমন একটি ফাংশন যার ডোমেনটি ইভেন্ট স্পেস; এটি একটি সংখ্যা নয়। অন্য কথায়, এক্স : Ω → আর , এক্স ∈ { এফ | f : Ω → R } যেখানে একটি ω ∈ Ω , এক্স ( ω ) ∈ আর এর জন্য ।$X$$X: \Omega \to \mathbb{R}$$X \in \{f\ |\ f: \Omega \to \mathbb{R} \}$$\omega \in \Omega$$X(\omega)\in\mathbb{R}$

আমার মতে শর্তাধীন প্রত্যাশার স্বরলিপিটি সত্যই খারাপ, কারণ এটি নিজেই একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল, অর্থাত্ একটি ফাংশনও । বিপরীতে, একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের (নিয়মিত) প্রত্যাশা একটি সংখ্যা । এলোমেলো ভেরিয়েবলের শর্তাধীন প্রত্যাশা একই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশা থেকে সম্পূর্ণ ভিন্ন পরিমাণ, অর্থাৎ, E [ ξ | জি ] এমনকি ই [ ξ ] এর সাথে "টাইপ-চেক "ও করে না ।$\mathbb{E}[\xi|\mathscr{G}]$$\mathbb{E}[\xi]$

অন্য কথায়, নিয়মিত এবং শর্তসাপেক্ষ উভয় প্রত্যাশা বোঝাতে ই প্রতীকটি ব্যবহার করা স্বরলিপিটির একটি খুব বড় আপত্তি, যা অনেক অপ্রয়োজনীয় বিভ্রান্তির দিকে নিয়ে যায়।$\mathbb{E}$

যা বলা হচ্ছে তার সবকটি লক্ষ্য করুন যে E [ ξ | জি ] ( ω ) একটি নম্বর (এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের মান ই [ ξ | জি ] মূল্য এ মূল্যায়ন ω ), কিন্তু ই [ ξ | Ω ] একটি এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের, কিন্তু এটা, সক্রিয় আউট একটি ধ্রুবক দৈব চলক (অর্থাত তুচ্ছ অধ: পতিত) হতে কারণ σ দ্বারা উত্পন্ন -algebra Ω , { ∅ , Ω $\mathbb{E}[\xi|\mathscr{G}](\omega)$$\mathbb{E}[\xi|\mathscr{G}]$$\omega$$\mathbb{E}[\xi|\Omega]$$\sigma$$\Omega$$\{ \emptyset, \Omega\}$তুচ্ছ / অবক্ষয়যুক্ত, এবং তারপরে প্রযুক্তিগতভাবে এই ধ্রুবক এলোমেলো ভেরিয়েবলের ধ্রুবক মান বলতে, E [ ξ ] , এখানে ই নিয়মিত প্রত্যাশা এবং এভাবে একটি সংখ্যাকে বোঝায়, শর্তাধীন প্রত্যাশা নয় এবং এভাবে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল নয়।$\mathbb{E}[\xi]$$\mathbb{E}$

এছাড়াও আপনি স্বীকৃতি E [ ξ | সম্পর্কে বিভ্রান্ত বলে মনে হচ্ছে ক ] অর্থ; টেকনিক্যালি ভাষী এটি শুধুমাত্র উপর শর্ত করা সম্ভব σ - , algebras ব্যক্তি ইভেন্টের যেহেতু সম্ভাব্যতা পরিমাপ করে শুধুমাত্র সম্পূর্ণ উপর সংজ্ঞায়িত করা হয় σ - algebras ব্যক্তি ঘটনা নয়। সুতরাং, ই [ ξ | এ ] ই [ ξ | এর পক্ষে সামান্য (অলস) শর্টহ্যান্ড σ ( একটি ) ] , যেখানে σ ( একটি ) ঘোরা σ $\mathbb{E}[\xi|A]$$\sigma-$$\sigma-$$\mathbb{E}[\xi|A]$$\mathbb{E}[\xi|\sigma(A)]$$\sigma(A)$$\sigma-$বীজগণিত ঘটনা দ্বারা উৎপন্ন একটি , যা { ∅ , একজন , একজন গ , Ω } । নোট করুন যে σ ( এ ) = জি = σ ( এ সি ) ; অন্য কথায়, ই [ ξ | এ ] , ই [ ξ | জি ] , এবং ই [ ξ | একটি গ ] হুবহু একই বস্তুটি বোঝাতে সমস্ত ভিন্ন উপায় ।$A$$\{ \emptyset, A, A^c, \Omega\}$$\sigma(A) = \mathscr{G} = \sigma(A^c)$$\mathbb{E}[\xi|A]$$\mathbb{E}[\xi|\mathscr{G}]$$\mathbb{E}[\xi|A^c]$

পরিশেষে আমি কেবল যুক্ত করতে চাই যে উপরোক্ত স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যাটি কেন এলোমেলো পরিবর্তনশীল E [ ξ | Ω ] = ই [ ξ | σ ( Ω ) ] = ই [ ξ | { ∅ , Ω } ] শুধু সংখ্যা ই [ ξ ] - σ - বীজগণিত { ∅ , Ω $\mathbb{E}[\xi|\Omega]=\mathbb{E}[\xi|\sigma(\Omega)]= \mathbb{E}[\xi| \{ \emptyset, \Omega\}]$$\mathbb{E}[\xi]$$\sigma-$$\{ \emptyset, \Omega\}$আমাদের কাছে থাকা সর্বনিম্নতম পরিমাণের তথ্যের প্রতিনিধিত্ব করে, বাস্তবে মূলত কোনও তথ্যই নেই, সুতরাং এই চরম পরিস্থিতিতে আমাদের পক্ষে সবচেয়ে ভাল সম্ভাবনা অনুমান করা যায় যার জন্য এলোমেলো পরিবর্তনশীল ξ হ'ল ধ্রুব র্যান্ডম ভেরিয়েবল যার ধ্রুবক মান E [ ξ ] ।$\xi$$\mathbb{E}[\xi]$

নোট করুন যে সমস্ত ধ্রুব র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি এল 2 এলোমেলো ভেরিয়েবল এবং এগুলি তুচ্ছ al -আলজিব্রা { ∅ , Ω } এর সাথে সম্মানের সাথে পরিমাপযোগ্য , সুতরাং আমাদের কাছে স্থির র্যান্ডম ই [ ξ ] এর অরথোগোনাল প্রজেকশন ξ এর subspace সম্মুখের এল 2 ( Ω ) র্যান্ডম ভেরিয়েবল নিয়ে গঠিত সম্মান সঙ্গে পরিমাপযোগ্য { ∅ , Ω } , যেমন দাবি করা হয়।$L^2$$\sigma$$\{\emptyset, \Omega\}$$\mathbb{E}[\xi]$$\xi$$L^2(\Omega)$$\{\emptyset, \Omega\}$

Comments

@ উইলিয়াম আমি ই [ ξ | ব্যবহার সম্পর্কে আপনার সাথে একমত নই ক ] রন ভার হিসাবে। অনেকগুলি বই ই [ ξ | ক ] একটি সংখ্যা হতে হবে, একটি রান বর্ণ নয়। এটি ξ | সেরা সম্ভাব্য অনুমান ক । এটি একটি দরকারী ধারণা এবং অত্যন্ত স্বজ্ঞাত। এটিকে পুরোপুরি উপেক্ষা করুন, কারণ আপনার কাছে কনড এক্সপেনের একটি সাধারণ ধারণাটি একটি রান ওয়ার হিসাবে কোনও শিক্ষাগত দৃষ্টিভঙ্গি থেকে ভুল। আরভি কী, সে সম্পর্কে আমি বিভ্রান্ত নই, অথবা আমি দেখিনি যে আমি যা কিছু লিখেছি তা আপনাকে সেভাবে ভাবতে পরিচালিত করবে। $E[\xi|A]$$E[\xi|A]$$\xi|_A$

— নিকোলাস বাউরবাাকি

@ উইলিয়াম জি-র প্রতিনিধিত্ব করে তথ্য উপস্থাপনের সাথে রান ভের সম্পর্কে অনুমান হিসাবে কনড এক্সপ্লে ভাবনা , যা আমি আগে যা দেখেছি তা কিন্তু আমি এটাকে এতটা ভাবিনি এবং কনড এক্সপেককে দৃশ্যমান করার ভিন্ন উপায় খুঁজে পাওয়ার চেষ্টা করি নি। আপনার পরামর্শটি ব্যবহার করে, আমি একটি সাধারণ উদাহরণ লিখতে যাচ্ছি, এবং এটি একটি উত্তর হিসাবে, নিজের জন্য এবং অন্যান্য লোকদের জন্য পোস্ট করব। সম্ভবত, কিছু লোক তখন আমার উদাহরণটি বিস্তারিতভাবে ব্যাখ্যা করতে এবং আরও বহিরাগত একটি দিতে পারেন। $\mathscr{G}$

— নিকোলাস বাউরবাাকি

@ নিকোলাসবোরবাাকি আমি আপনাকে সুপারিশ করছি যে আপনি ডুরেটের সম্ভাবনার চতুর্থ সংস্করণের পি ২২২21 - তত্ত্ব ও উদাহরণগুলি দেখুন । আমি আপনাকে অন্যান্য উত্সগুলিতেও এটি নিয়ে আলোচনা করতে পারি। যাইহোক, এটি আসলে মতামতের বিষয় নয় - সর্বাধিক সাধারণ ক্ষেত্রে শর্তাধীন প্রত্যাশাটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল এবং কন্ডিশনারটি কেবল σ - বীজগণিতকে সম্মান করেই করা হয়; একটি ইভেন্ট থেকে সম্মান সঙ্গে কন্ডিশনার থেকে সম্মান সঙ্গে কন্ডিশনার হয় σ - একটি এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের থেকে সম্মান সঙ্গে ঘটনা দ্বারা উৎপন্ন বীজগণিত, এবং কন্ডিশনার wrt কন্ডিশনার হয় σ -algebra আরভি দ্বারা উত্পন্ন$\sigma-$$\sigma-$$\sigma$

— Chill2Macht

@ উইলিয়াম এবং আমি আপনাকে এমন উত্সগুলিতে উল্লেখ করতে পারি যা কনডকে সংজ্ঞায়িত করে। exep। একটি ইভেন্ট একটি আসল সংখ্যা হতে। আপনি কেন এই বিষয়টিতে এতটা আটকে আছেন তা আমি জানি না। ধারণা যতক্ষণ না মিশে যায় ততক্ষণ যেকোন উপায়ে এটি সংজ্ঞায়িত করা যায়। শিক্ষাগত কারণে, পরীক্ষায় একটি ক্লাস শেখানো। তত্ত্ব, এবং তাত্ক্ষণিকভাবে সবচেয়ে সাধারণ ডিফ মধ্যে ঝাঁপ দাও, আলোকসজ্জা হয় না। উভয় ক্ষেত্রেই, এই আলোচনায় এটি সত্যিই কিছু যায় আসে না এবং আপনার অভিযোগটি স্বরলিপি / শব্দার্থবিজ্ঞানের বিষয়ে।

— নিকোলাস বাউরবাাকি

প্রত্যাশার মাধ্যমে হুইটলের সম্ভাব্যতার @ নিকোলাসবৌরবাকি অধ্যায় 5 শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশার উভয় বৈশিষ্ট্যের একটি খুব ভাল অ্যাকাউন্ট দেয় (আমার মতে), এবং প্রতিটি সংজ্ঞা কীভাবে সম্পর্কিত এবং অন্য সংজ্ঞা দ্বারা অনুপ্রাণিত হয় তা ভালভাবে ব্যাখ্যা করে। আপনি ঠিক বলেছেন যে পার্থক্যটি শব্দার্থবিদ্যার আরও একটি। আরও সাধারণ সংজ্ঞার প্রতি আমার উত্সাহটি (আমি মনে করি) এই অধ্যায়টি ( প্রত্যাশার মাধ্যমে হুইটেলের সম্ভাবনার 5) পড়া থেকে উদ্ভূত হয়েছে ( যা আমি বিশ্বাস করি) আরও সাধারণ সংজ্ঞাটি কীভাবে বুঝতে সহজতর তা সম্পর্কে ভাল যুক্তি তৈরি করেছিল।

— চিল 2ম্যাচট

Answer 2

আমি উইলিয়ামের পরামর্শটি বিশদ দেওয়ার চেষ্টা করতে যাচ্ছি।

যাক Ω একটি মুদ্রা দুইবার ঊর্ধ্বে নমুনা স্থান হতে। রান সংজ্ঞায়িত করুন। Var। ξ নাম হতে। পরীক্ষায় ঘটে যাওয়া মাথাগুলির। স্পষ্টতই, E [ ξ ] = 1 । কী 1 এর ভাবনার এক উপায় , এক্সপেক হিসাবে। মান প্রতিনিধিত্ব জন্য সম্ভাব্য সর্বোত্তম অনুমান হিসাবে ξ । আমাদের কী মান ξ নেবে তার জন্য যদি অনুমান করতে হয় তবে আমরা অনুমান করব 1 । এটি কারণ ই [ ( ξ - 1 ) 2 ] ≤ ই [ ( ξ - ক ) $\Omega$$\xi$$E[\xi] = 1$$1$$\xi$$\xi$$1$] যেকোনো বাস্তব সংখ্যার জন্য একটি ।$E[(\xi - 1)^2] \leq E[(\xi - a)^2]$$a$

বোঝাতে দ্বারা একটি = { এইচ টি , এইচ এইচ } ঘটনা যে প্রথম পরিণতি একটি প্রধান যাবে। যাক জি = { ∅ , একজন , একজন গ , Ω } হতে σ -alg। জনক। দ্বারা একটি । আমরা প্রথম টসের পরে আমরা কী জানি তার প্রতিনিধিত্ব হিসাবে জি- কে ভাবি । প্রথম টস করার পরে, হয় মাথা সংঘটিত হয়, বা মাথা হয় না। অতএব, আমরা হয় প্রথম টসের পরে ইভেন্ট এ বা এ সি তে ।$A = \{ HT, HH \}$$\mathscr{G} = \{ \emptyset, A, A^c, \Omega\}$$\sigma$$A$$\mathscr{G}$$A$$A^c$

আমরা ঘটনা হয়ে থাক একজন , তারপর জন্য সম্ভাব্য সর্বোত্তম অনুমান ξ হবে ই [ ξ | একজন ] = 1.5 , এবং যদি আমরা ইভেন্টের হয় একটি গ , তারপর জন্য সম্ভাব্য সর্বোত্তম অনুমান ξ হবে ই [ ξ | একজন গ ] = 0.5 ।$A$$\xi$$E[\xi|A] = 1.5$$A^c$$\xi$$E[\xi|A^c] = 0.5$

এখন রান সংজ্ঞায়িত করুন। Var। η ( ω ) পারেন হতে 1.5 বা 0.5 হোক বা না হোক তার উপর নির্ভর করে ω ∈ একজন । এই দৌড়ে। Var। η , চেয়ে ভাল পড়তা হয় 1 = ই [ ξ ] যেহেতু ই [ ( ξ - η ) 2 ] ≤ ই [ ( ξ - 1 ) 2 ] ।$\eta(\omega)$$1.5$$0.5$$\omega\in A$$\eta$$1 = E[\xi]$$E[(\xi - \eta)^2] \leq E[(\xi -1)^2]$

কি η শ্রেষ্ঠ অনুমান কি: করছে প্রশ্নের উত্তর প্রদান করে ξ প্রথম টসে পরে? যেহেতু আমরা প্রথম টসে পর তথ্য জানি না, η উপর নির্ভর করবে একজন । একবার ঘটনা জি আমাদের কাছে প্রকাশ করা হয়, প্রথম টসে পর মান η নির্ধারিত এবং জন্য সম্ভাব্য সর্বোত্তম অনুমান করা হয় ξ । $\eta$$\xi$$\eta$$A$$\mathscr{G}$$\eta$$\xi$

Esti এর নিজস্ব অনুমান হিসাবে ব্যবহার করতে সমস্যা , যেমন 0 = E [ ( ξ - ξ ) 2 ] ≤ ই [ ( ξ - η ) 2 ] নিম্নরূপ। ξ প্রথম টসে পর না ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। বলুন পরীক্ষা ফল ω প্রথম পরিণতি হচ্ছে মাথা সঙ্গে, আমরা ঘটনা আছে একটি , কিন্তু কি ξ ( ω ) = ? আমরা কেবল প্রথম টস থেকেই জানি না, সেই মানটি আমাদের কাছে অস্পষ্ট, এবং তাই $\xi$$0=E[(\xi - \xi)^2] \leq E[(\xi - \eta)^2]$$\xi$$\omega$$A$$\xi(\omega)=?$$\xi$ is not well-defined. More formally, we say that $\xi$ is not $\mathscr{G}$-measurable i.e. its value is not well-defined after the first toss. Thus, $\eta$ is the best possible estimate of $\xi$ after the first toss.

Perhaps, somebody here can come up with a more sophisticated example using the sample space $[0,1]$, with $\xi (\omega) = \omega$, and $\mathscr{G}$ some non-trivial $\sigma$-algebra.

Answer 3

Although you request not to use the formal definition, I think that the formal definition is probably the best way of explaining it.

Wikipedia - conditional expectation:

Then a conditional expectation of X given $\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {H}}$, denoted as $\displaystyle \scriptstyle \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})$, is any $\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {H}}$-measurable function ( $\displaystyle \scriptstyle \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$) which satisfies:

$\displaystyle \int _{H}\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})\;dP=\int _{H}X\;dP\qquad {\text{for each}}\quad H\in {\mathcal {H}}$

Firstly, it is a $\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {H}}$-measurable function. Secondly it has to match the expectation over every measurable (sub)set in $\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {H}}$. So for an event,A, the sigma algebra is $\{A,A^C,\emptyset, \Omega\}$, so clearly it is set as you specified in your question for $\omega \in A/A^c$. Similarly for any discrete random variable ( and combinations of them), we list out all primitive events and assign the expectation given that primitive event.

Now consider tossing a coin an infinite number of times, where at each toss i, you get $1/2^i$, if your coin is tails then your total winnings are $X=\sum _{i=1}^\infty \frac{1}{2^i}c_i$ where $c_i$ = 1 for tails and 0 for heads. Then X is a real random variable on $[0,1]$. After n coin tosses, you know the value of X to precision $1/2^n$, eg after 2 coin tosses it is in [0,1/4], [1/4,1/2], [1/2,3/4] or [3/4,1] - after every coin toss, your associated sigma algebra is getting finer and finer, and similarly the conditional expectation of X is getting more and more precise.

Hopefully this example of a real valued random variable with a sequence of sigma algebras getting finer and finer (Filtration) gets you away from the purely event based intuition you are used to, and clarifies its purpose.

Comments

I apologize, but I downvoted this question. It does not answer what I originally asked. Nor does it provide any new information that I did not know before.

— Nicolas Bourbaki

What I am trying to suggest to you is you do not understand the formal definition as well as you think you do (as the other answer also suggested), so unless you work through what is unintuitive with the formal definition you will not progress.

— seanv507

I understand the formal definition just fine. The questions that I asked, I know how to answer them when working from the formal definitions. The 'other answer', was trying to explain my question without using the definition of con. exp.

— Nicolas Bourbaki