কেউ স্বাধীন এবং এলোমেলো মধ্যে পার্থক্য ব্যাখ্যা করতে সাহায্য করতে পারেন?

Question

পরিসংখ্যানগুলিতে, স্বাধীন এবং এলোমেলো একই বৈশিষ্ট্য বর্ণনা করে? তাদের মধ্যে পার্থক্য কী? আমরা প্রায়শই "দুটি স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবল" বা "এলোমেলো নমুনা" এর মতো বিবরণটি দেখতে পাই come আমি ভাবছি যে তাদের মধ্যে সঠিক পার্থক্য কি। কেউ কি এর ব্যাখ্যা দিয়ে কিছু উদাহরণ দিতে পারে? উদাহরণস্বরূপ অ-স্বতন্ত্র কিন্তু এলোমেলো প্রক্রিয়া?

Comments

এখানে দুটি স্বতন্ত্র (খুব গভীর স্তরের নয়) ধারণাগুলি একত্রিত করা হয়েছে। "স্বতন্ত্র" অর্থে স্বতন্ত্রভাবে পর্যবেক্ষণ উত্পন্ন করে এবং "স্বতন্ত্র ভেরিয়েবল" তাদের বিতরণ শুরু করে।

— ttnphns

এটি একটি আশ্চর্যজনক প্রশ্ন, কারণ আপনি যদি "র্যান্ডম ভেরিয়েবল" এবং "স্বতন্ত্র" - এর আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞাটি বিবেচনা করেন - যা "পরিসংখ্যানগুলিতে" বলে মনে হয় - তবে আপনি দেখতে পাবেন যে এগুলির মধ্যে সামান্য মিল রয়েছে।

— whuber

@ এনটিএনএফএনএস, হ্যাঁ, আমি অনুমান করি "এলোমেলোভাবে উত্পন্ন" সহ "স্বতন্ত্রভাবে উত্পন্ন পর্যবেক্ষণ" শব্দটি সম্পর্কে আমি আরও বিভ্রান্ত ছিলাম। স্যাম্পলিংয়ে আমরা প্রায়শই (সাধারণ) এলোমেলো নমুনা শুনি যা আমাকে স্বাধীন নমুনার মতো অনুভব করে। আমি অনুমান করি যে আমরা যদি একটি নমুনা পদ্ধতি বর্ণনা করার জন্য সত্যই উভয় বৈশিষ্ট্যকে একত্রিত করতে চাই তবে তা হওয়া উচিত: পর্যবেক্ষণের নির্বাচন একে অপরের উপর নির্ভর করে না (= স্বতন্ত্রভাবে) এবং নির্বাচনের সম্ভাবনাটি পর্যবেক্ষণ হিসাবে পরিচিত (= এলোমেলোভাবে)?

— tiantianchen

যদি আমরা উইকির কাছ থেকে স্বাধীনতার সংজ্ঞাটি পরীক্ষা করি: "সম্ভাবনা তত্ত্বে দুটি ঘটনা স্বতন্ত্র, পরিসংখ্যানগতভাবে স্বতন্ত্র, বা একটির ঘটনা অন্যটির সম্ভাব্যতাকে প্রভাবিত না করে তবে স্টোচাস্টিকালি স্বতন্ত্র হয়।", দুটি পর্যবেক্ষণের নির্ভরতা ভিত্তিক হওয়া উচিত তারা কীভাবে উত্পন্ন / নির্বাচিত হয়, তথ্যের চেয়ে তারা কীভাবে দেখায়। তারপরে আমি উপরে উল্লিখিত ক্ষেত্রে দুটি অভিন্ন পর্যবেক্ষণ এখনও স্বাধীন হওয়া উচিত।

— tiantianchen

কোনও সংজ্ঞা সহ উইকিপিডিয়া প্রবেশের শুরুতে অনুমানমূলক ব্যাখ্যাটি বিভ্রান্ত করবেন না। সংজ্ঞাটি একই নিবন্ধে "সংজ্ঞা" শিরোনামে দেওয়া হয়েছে । এটি এখানে টিমের উত্তরে প্রদত্ত একটি।

— whuber

Answer 1

আমি এটি অ প্রযুক্তিগত দিক দিয়ে ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করব: একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল একটি পরীক্ষার ফলাফল বর্ণনা করে; সঠিক ফলাফলটি কী হবে তা আপনি আগেই জানতে পারবেন না তবে আপনার কিছু তথ্য রয়েছে: আপনি জানেন যে কোন ফলাফলগুলি সম্ভব এবং আপনি প্রতিটি ফলাফলের জন্য তার সম্ভাবনাটিও জানেন।

উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি ন্যায্য মুদ্রাটি টস করেন তবে আপনি মাথা বা লেজ পাবেন কিনা তা আপনি আগেই জানেন না, তবে আপনি জানেন যে এগুলি সম্ভাব্য ফলাফল এবং আপনি জানেন যে প্রত্যেকেরই 50% সম্ভাবনা রয়েছে।

স্বাধীনতার ব্যাখ্যা দিতে আপনাকে দুটি ন্যায্য কয়েন টস করতে হবে। প্রথম মুদ্রাটি টস করার পরে আপনি জানেন যে দ্বিতীয় টসের জন্য মাথার সম্ভাব্যতা এখনও 50% এবং লেজের জন্যও রয়েছে। যদি প্রথম টসের দ্বিতীয়টির সম্ভাব্যতার উপর কোনও প্রভাব না থাকে তবে উভয় টসই স্বাধীন। যদি প্রথম টসের দ্বিতীয় টসের সম্ভাব্যতার উপর প্রভাব থাকে তবে তারা নির্ভরশীল।

নির্ভরশীল টসসের উদাহরণ হ'ল যখন আপনি দুটি কয়েন একসাথে আঠালো করেন।

Comments

নির্ভরশীল ভেরিয়েবলগুলির আরেকটি জুটি হ'ল "আপনি মাথা পেয়েছেন কিনা" এবং "আপনি লেজ পেয়েছেন কিনা"। উভয় এলোমেলো তবে তারা একে অপরের থেকে স্বতন্ত্র নয়।

— ব্যবহারকারী 253751

@ ইমিবিস বা ফর্সা ডাইস রোল করুন, মানটি লিখুন। তারপরে এটি আরও একবার রোল করুন এবং লিখিত মানটির সাথে মানটি গুণান। এই মানটি এলোমেলো, তবে প্রথম রোলের উপর নির্ভরশীল।

— ক্রাউলি

Answer 2

এলোমেলো সম্পর্কিত দৈব চলক ও স্বাধীন সম্ভাব্য স্বাধীনতা সম্পর্কিত। স্বাধীনতার দ্বারা আমরা বোঝাতে চাইছি একটি ভেরিয়েবল পর্যবেক্ষণ করা অন্যটির সম্পর্কে আমাদের কিছু না বলে, বা আরও আনুষ্ঠানিক ভাষায়, যদি এবং ওয়াই দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয়, তবে আমরা বলি যে তারা স্বাধীন যদি$X$$Y$

$$p_{X,Y}(x, y) = p_X(x)\,p_Y(y)$$

পরন্তু

$$E(XY) = E(X)E(Y)$$

এবং তাদের সমবায় শূন্য। আমার স্নাতকের উপর নির্ভরশীল এক্স যদি এটা লেখা যেতে পারেএকটি ফাংশন হিসাবেএর$Y$$X$$X$

$$Y = f(X)$$

তাই এই ক্ষেত্রে হয় র্যান্ডম এবং নির্ভরশীল উপর এক্স ।$Y$$X$

"অ-স্বতন্ত্র" কলিং প্রক্রিয়াটি বেশ বিভ্রান্তিকর - এর থেকে স্বাধীন? আমি অনুমান আপনি বোঝানো কিছু আছে স্বতন্ত্র এবং অভিন্নরূপে বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি (এখানে দেখুন, বাএখানে) কিছু প্রক্রিয়া থেকে এসেছে। স্বতন্ত্রভাবে আমরা এখানে বলতে চাই যে তারা একে অপরের থেকে স্বতন্ত্র। নির্ভরশীল এলোমেলো ভেরিয়েবল উত্পাদন প্রক্রিয়া রয়েছে, যেমন$X_1,\dots,X_k$

$$X_i = X_{i-1} + \varepsilon$$

যেখানে কিছু র্যান্ডম গোলমাল হয়। স্পষ্টতই এই জাতীয় ক্ষেত্রে এক্স i এক্স এর উপর নির্ভরশীল$\varepsilon$$X_i$, তবে এটি এলোমেলোও।$X_{i-1}$

Comments

কী মানে যদি এক্স একটি এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের হয়? আমি মনে করি আপনি আরভি এবং ইভেন্টগুলিকে বিভ্রান্ত করছেন: দুটি আরভিএস এক্স এবং ওয়াই যদি পি ( এক্স ≤ আর ) এবং পি ( ওয়াই ≤ গুলি ) সমস্ত ইভেন্টের জন্য স্বতন্ত্র থাকে তবে স্বাধীন হয়$P(X)$ $P(X\leq r)$$P(Y\leq s)$

— ম্যাথু টাওয়ার্স

তারপরে যে কোনও দুটি ধারাবাহিক এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি স্বাধীন।

— ম্যাথু টাওয়ারগুলি

@ মি_টি_ আমি সত্যিই ভাবি না যে স্বরলিপিটি আলোচনা করা কোথাও বাড়ে (উদাহরণস্বরূপ en.wikedia.org/wiki/… দেখুন )

— টিম

@ মি_টি_এটি চুল বিভক্ত করছে, দেখুন stats.stackexchange.com/questions/16321/… বা ম্যাথ.উকসডি.ইডু

— টিম

অন্যান্য উপায়ে @iantianchen: যদি আপনার কাছে র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল থাকে তবে আপনি পৃথক পিডিএফ এর সংখ্যাবৃদ্ধি করে সম্ভাবনা ফাংশন তৈরি করতে পারেন কারণ তারা স্বাধীন।

— টিম

Answer 3

পরিবর্তনগুলি গণিতের সমস্ত ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়। ভেরিয়েবলের স্বাধীনতা এবং এলোমেলোতার সংজ্ঞাগুলি কেবল পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রে নয়, সমস্ত গণিতের একতরফাভাবে প্রয়োগ করা হয়।

উদাহরণস্বরূপ, দ্বি-মাত্রিক ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতিতে X এবং Y অক্ষগুলি স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলগুলি উপস্থাপন করে তবে তাদের মানগুলি (সাধারণত) এলোমেলোভাবে নির্ধারিত হয় না।

দুটি প্রদত্ত ভেরিয়েবল এলোমেলো বা স্বতন্ত্র (একে অপরের), বা উভয়ই হতে পারে, না উভয়ই হতে পারে। পরিসংখ্যানগুলি এলোমেলোভাবে মনোযোগ নিবদ্ধ করে (আরও সঠিকভাবে, সম্ভাবনার উপর), এবং দুটি ভেরিয়েবল স্বাধীন কিনা তা প্রদত্ত ফলাফলগুলি পর্যালোচনা হওয়ার সম্ভাবনার জন্য অনেকগুলি প্রভাব ফেলতে পারে।

পরিসংখ্যান অধ্যয়ন করার সময় আপনি এই দুটি বৈশিষ্ট্য (স্বাধীনতা এবং এলোমেলোতা) একসাথে বর্ণিত হওয়ার ঝোঁক দেখেন, কারণ উভয়ই জানা গুরুত্বপূর্ণ, এবং হাতের প্রশ্নের উত্তরকে প্রভাবিত করতে পারে। তবে এই বৈশিষ্ট্যগুলি সমার্থক নয় এবং গণিতের অন্যান্য ক্ষেত্রে এগুলি অগত্যা একসাথে ঘটে না।

Comments

ধন্যবাদ। আপনি "দুটি পরিবর্তনশীল স্বতন্ত্র কিনা তা প্রদত্ত ফলাফলগুলির সম্ভাব্যতার জন্য অনেকগুলি প্রভাব ফেলতে পারে" সম্পর্কে আরও ব্যাখ্যা করতে পারেন explain

— tiantianchen

এটি একটি নন-স্ট্যাটিস্টিকাল উত্তর যা প্রশ্নে ব্যবহৃত প্রশ্নের চেয়ে "স্বতন্ত্র" ভিন্ন ধারণাটিকে সম্বোধন করে। এছাড়া "পরিবর্তনশীল" এর দুটি অজ্ঞান বিভ্রান্ত: এক গাণিতিক এক এবং অন্যান্য পরিসংখ্যান সংজ্ঞা নেই দৈব চলক (যা স্পষ্টভাবে হয় না জ্যামিতিক অক্ষ উপর ভেরিয়েবল হিসাবে একই)।

— whuber

Answer 4

স্বাধীনতার ধারণাটি আপেক্ষিক, আপনি নিজেরাই এলোমেলো হতে পারেন। আপনার উদাহরণে, আপনার কাছে "দুটি স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবল" রয়েছে এবং বেশ কয়েকটি "এলোমেলো নমুনা" সম্পর্কে কথা বলার দরকার নেই।

মনে করুন আপনি বেশ কয়েকবার একটি নিখুঁত ডাই কাস্ট করেছেন। ফলাফল একটি অগ্রাধিকার এলোমেলো। অতীতটি জেনে আপনি নীচের সংখ্যাটি সম্পর্কে ভবিষ্যদ্বাণী করতে পারবেন না Supp. ধরুন আমি মরণের অন্য দিক থেকে একটি অনুক্রম তৈরি করেছি: 6 → 1 , 3 → 4 । আমি 1 , 2 , 4 , 2 , 3 … পেয়েছি । এটি প্রথমটির মতো এলোমেলো। আপনি 3 এর পরে কী আসতে পারে তা অনুমান করতে পারবেন না । তবে দুটি ক্রম সম্পূর্ণ নির্ভরশীল completely$6,5,3,5, 4\ldots$$6\to1$$3\to4$$1,2,4,2, 3\ldots$$3$

যদি কেউ দুটি ডাইস সমান্তরালভাবে কাটায় (তাদের মধ্যে কোনও মিথস্ক্রিয়া ছাড়াই) তবে তাদের সম্পর্কিত অনুক্রমগুলি এলোমেলো এবং স্বতন্ত্র হবে।

Comments

এটি ওপির স্তরের ভিত্তিতে কিছুটা প্রযুক্তিগত হতে পারে তবে আপনার বক্তব্য সম্পর্কে "আপনি একা স্বাধীন হতে পারবেন না (প্রক্রিয়া হিসাবে, একটি অনুক্রম হিসাবে)" নিম্নলিখিত বিষয়গুলি বিবেচনা করুন: কোনও র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স, যা একটি ধ্রুবক সি এর সমান হয় সম্ভাব্যতার সাথে এক, নিজেই "সবকিছু" থেকে স্বতন্ত্র। যেমন, এই জাতীয় এক্স এর জন্য এক্স এক্স থেকে স্বতন্ত্র You আপনি স্বাধীনতার সংজ্ঞা অনুসারে সহজেই এটি পরীক্ষা করতে পারেন।

— মার্ক এল স্টোন

@ মার্ক এল স্টোন আমি এই মিথ্যা বক্তব্যটি সংশোধন করব। একাকী আমি "নিজেই" বোঝাতে চাইছিলাম। আপনার সংজ্ঞা অনুসারে, আপনি কি বলতে পারবেন: স্বাধীন, বা এক্স এবং এক্স স্বাধীন? $X$$X$$X$

— লরেন্ট ডুভাল

এক্স নিজের থেকে স্বাধীন। অর্থাত, এক্স এক্স স্বাধীন

— মার্ক এল স্টোন

Answer 5

যখন প্রথমটি এলোমেলোভাবে উত্পাদিত হয় এবং দ্বিতীয়টির প্রথমটির উপর কোনও নির্ভরতা থাকে যখন আপনার একটি মান থাকে। যেমন একজন ব্যক্তির উচ্চতা এবং ওজন। তাদের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক রয়েছে। তবে এরা দুজনেই এলোমেলো।

Comments

যদিও এই পোস্টটি "এলোমেলো" এবং "নির্ভরশীল" শব্দ ব্যবহার করে তবে এটি তাদের সংজ্ঞা দেয় না বা তাদের পরিষ্কারভাবে আলাদা করে না। আসলে, এটি "র্যান্ডম = নির্ভর" পরামর্শ দেওয়ার মতো বলে মনে হচ্ছে!

— whuber

Answer 6

মুদ্রার উদাহরণটি একটি এলোমেলো এবং স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলের দুর্দান্ত চিত্রণ, একটি এলোমেলো তবে নির্ভরশীল ভেরিয়েবলটি মনে করার একটি ভাল উপায় হ'ল কার্ডের সাত ডেক জুতো থেকে আঁকা পরবর্তী কার্ড, কোনও নির্দিষ্ট সংখ্যার ফলাফলের-সম্ভাবনা- পূর্বে লেনদেন করা কার্ডগুলির উপর নির্ভর করে পরিবর্তনগুলি, তবে যতক্ষণ না জুতার মধ্যে কার্ডের কেবল একটি মান থাকে, ততক্ষণে কার্ডের মানটি এলোমেলো থাকবে।

Comments

সম্ভবত "সম্ভাব্যতা" শব্দটি এখানে "সম্ভাব্যতা" দ্বারা প্রতিস্থাপনযোগ্য, যেহেতু সম্ভাবনাটি পরিসংখ্যানগুলিতে পৃথক প্রযুক্তিগত সংজ্ঞা রয়েছে

— সিলভারফিশ

এমন একটি সম্ভাবনা যা অন্যান্য ইভেন্টগুলির উপর নির্ভর করে (প্রায়শই পূর্ববর্তী ঘটনাগুলি, তবে কখনও কখনও ভবিষ্যতের জ্ঞান বা যুগপত ঘটনাগুলির উপর ভিত্তি করে - আসলে এর কোনও সাময়িক দিক নেই) তাকে শর্তযুক্ত সম্ভাবনা বলা হয়। সম্ভাবনা শব্দটি এক ধরণের "বিপরীতে সম্ভাবনা" (বা অবিচ্ছিন্ন ক্ষেত্রে একটি সম্ভাবনার ঘনত্ব) বোঝাতে ব্যবহৃত হয় - অর্থাৎ, আপনার মডেল প্যারামিটারগুলিতে শর্তসাপেক্ষে কোনও ফলাফলের সম্ভাবনা (যেমন আপনার ডেটা) গণনা করা হয় one ), কিন্তু আমরা যদি এই অন্যান্য উপায় বৃত্তাকার মনে, এটা সম্ভাবনা আছে যে প্যারামিটারের, আপনার ডেটা দেওয়া ।

— সিলভারফিশ

$π$$π=1/6$

Answer 7

ডেভিড বোহম তার রচনা কার্যকারিতা এবং আধুনিক পদার্থবিজ্ঞানে চান্সে (লন্ডন: রাউটলেজ, 1957/1984) কার্যকারিতা, সুযোগ, এলোমেলোতা এবং স্বাধীনতার বর্ণনা দিয়েছেন:

"প্রকৃতিতে কিছুই স্থির থাকে না Everything এই ধারণাটি যে পরবর্তী সময়ে বিদ্যমান বিস্মৃত ধারণার জন্ম দেয় না .... .... সমস্ত কিছু অন্যান্য জিনিস থেকে আসে এবং অন্যান্য জিনিসের জন্ম দেয় This এই নীতিটি এখনও প্রকৃতিতে কার্যকারিতার অস্তিত্বের বিবৃতি নয় ca কার্যকারণে আসতে, পরবর্তী পদক্ষেপটি তখন নোট করা যে আমরা বিভিন্ন শর্তের অধীনে সংঘটিত প্রক্রিয়াগুলি অধ্যয়ন করার সাথে সাথে আবিষ্কার করেছি যে পরিবর্তন এবং রূপান্তরের জটিলতার সমস্ত ভিতরে রয়েছে সম্পর্ক রয়েছেযে কার্যকরভাবে অবিচ্ছিন্ন থাকে। .... এই মুহুর্তে, তবে আমরা একটি নতুন সমস্যার মুখোমুখি হই। কারণ কার্যকারণ আইন প্রয়োজনীয়তা কখনই পরম হয় না। সুতরাং, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে কেবলমাত্র জরুরী অবস্থা থেকে বিরত হয়ে যদি কোনও ব্যক্তি জরুরী অবস্থা থেকে বিরত থাকে তবে অবশ্যই বিবেচনাধীন আইনগুলি দ্বারা চিকিত্সা করা যেতে পারে এমন বিষয়গুলির বাইরে যে অস্তিত্ব থাকতে পারে সেগুলি উপস্থাপন করে এবং প্রয়োজনীয়ভাবে অনুসরণ করে না এমনটি অবশ্যই প্রাকৃতিক নিয়মের কল্পনা করতে হবে must এই আইনগুলির প্রেক্ষাপটে নির্দিষ্ট করা যেতে পারে এমন কিছু থেকে এই জাতীয় পরিস্থিতি সুযোগের দিকে নিয়ে যায় । "(pp.1-2)

"এই প্রসঙ্গে অভ্যন্তরের সংঘটিত ঘটনাগুলির স্বতন্ত্রভাবে ওঠানামা করার জন্য নির্দিষ্ট সংস্থার বাইরে থাকা সংস্থাগুলির প্রবণতা নিজেকে এতটাই বিস্তৃত করে তুলে ধরেছে যে কেউ এটিকে একটি নীতি হিসাবে অভিহিত করতে পারে; যথা, এলোমেলোতার নীতি। এলোমেলোভাবে আমাদের বলতে চাইছে এই স্বাধীনতা কেবল বিপুল সম্ভাবনা বিস্তারে খুব জটিল পদ্ধতিতে এই পরিস্থিতিগুলির ওঠানামা করতে, তবে এমনভাবে যে পরিসংখ্যানগত গড়গুলি নিয়মিত এবং প্রায় অনুমানযোগ্য আচরণ করে "" (P.22)

Comments

$0$$1$$1/3$$4/7$

আপনি এলোমেলোতা এবং এলোমেলো ভেরিয়েবলের পরিবর্তে স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলি (সময়ে) আলোচনা করছেন বলে মনে হচ্ছে ।

— whuber

আমি বিশ্বাস করি যে আমাদের যোগাযোগের ক্ষেত্রে যে অসুবিধা হচ্ছে তা হ'ল আপনি রিগ্রেশন-এ স্বাধীন ভেরিয়েবলের অর্থে "স্বতন্ত্র" ভাবছেন বলে মনে হয় । যদিও প্রশ্নের কিছু উপাদান এটির পরামর্শ দিতে পারে, "দুটি স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবল" এবং "এলোমেলো নমুনা" বাক্যগুলি অন্যথায় নির্দেশ করে।

— whuber

আপনার বোধগম্যতা আমি কী তা বলতে পারি না কারণ আপনার উত্তরটি কোনও সংজ্ঞা দেয় না। আপনি যে উদাহরণ এবং বিবরণ দিয়েছেন সেগুলি থেকে আপনি কী বলতে চাইছেন তা অনুমান করছি having পূর্ববর্তী মন্তব্যে আমি যেভাবে বর্ণনা করেছি তাতে এগুলি "এলোমেলো" এবং "স্বতন্ত্র" ইন্দ্রিয় থেকে পৃথক বলে মনে হয়।

— whuber

আমি @ শুভ মন্তব্যগুলিতে যুক্ত করব যে একে অপরকে প্রভাবিত করে এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি উল্লেখ করে আপনার সংজ্ঞা বিভ্রান্তিকর হতে পারে। "প্রভাব" একটি অত্যন্ত শক্তিশালী শব্দ যা কিছু ধরণের কার্যকারিতা ইত্যাদিকে জড়িত করে while যদিও স্বাধীনতার আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞায় কোনও কার্যকারিতা বা প্রভাবের প্রয়োজন হয় না তবে এটি কেবল যৌথ বনাম পৃথক সম্ভাবনার সম্পর্কের কথা।

— টিম