একাধিক প্রত্যাশার গণনা করার সময় কীভাবে অনুকূলভাবে অঙ্কিত হয়

Question

মনে করুন আমরা কিছু প্রত্যাশা গণনা করতে চাই:

$$E_YE_{X|Y}[f(X,Y)]$$

মনে করুন আমরা মন্টি কার্লো সিমুলেশন ব্যবহার করে এটি আনুমানিক করতে চাই।

$$E_YE_{X|Y}[f(X,Y)] \approx \frac1{RS}\sum_{r=1}^R\sum_{s=1}^Sf(x^{r,s},y^r)$$

তবে ধরুন উভয় বিতরণ থেকে নমুনা আঁকা ব্যয়বহুল, যাতে আমরা কেবল একটি নির্দিষ্ট নম্বর আঁকতে পারি । $K$

কীভাবে আমরা বরাদ্দ করা উচিত ? উদাহরণগুলিতে প্রতিটি বিতরণে ড্র হয় বা চূড়ান্তভাবে বাইরের দিকে একটি অঙ্কন হয় এবং অভ্যন্তরের মধ্যে বিপরীতভাবে অঙ্কিত হয় .....$K$$K/2$$K-1$

আমার স্বজ্ঞাততা আমাকে বলে যে এটি একে অপরের সাথে সম্পর্কিত বিতরণের বৈচিত্র / এন্ট্রপির সাথে সম্পর্কযুক্ত। ধরুন বাহ্যিকটি একটি ভর বিন্দু, তারপরে এর বিভাজনকে ন্যূনতম করে এমসির ত্রুটিটি হবে অঙ্কন এবং আঁকবে । $K$$Y$$K-1$$X|Y$

আশা করি এটি পরিষ্কার ছিল।

Comments

এটি আপনার জন্য স্থির করে

— উলফসথহেদুর

"শিওনস উত্তর" এর "বিপরীত" এবং আপনার মন্তব্যটি ইঙ্গিত দেয় যে আপনি অভ্যন্তরীণ ভেরিয়েবলের চেয়ে বহিরাগত পরিবর্তনশীলকে আরও বেশি বার অঙ্কন করা সম্ভব বলে মনে করেছেন, তবে কীভাবে তা বোধগম্য হতে পারে - সমস্ত আউটটার নয় যার জন্য আন্ডারগুলি নষ্ট হয়? $0$

— জুহো কোক্কালা

যথেষ্ট ন্যায্য, আমার অনুমান অনুযায়ী প্রতি নূন্যতম এক অঙ্ক। অথবা আপনি মনে করি যে

— অঙ্কনটি

@রোবার্তেভানসান্ডার্স দয়া করে নিশ্চিত করুন জিয়ানের উত্তরের প্রথম দুটি বাক্যে আপনার প্রশ্নের ব্যাখ্যা সঠিক কিনা

— জুহো কোক্কালা

— যেমনটি

Answer 1

স্ট্র্যাটিফিকেশন এবং রাও-ব্ল্যাকওয়েলাইজেশনের ক্ষেত্রে বাদে মন্টে কার্লো সাহিত্যে সামান্য ডকুমেন্টেশন সহ এটি একটি খুব আকর্ষণীয় প্রশ্ন । এটি সম্ভবত প্রত্যাশিত শর্তসাপেক্ষ বৈকল্পিক এবং শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশার বৈচিত্রের গণনা খুব কমই সম্ভবপর হওয়ার কারণে ঘটে।

প্রথমে, ধরে নেওয়া যাক আপনি , , , থেকে সিমুলেশনগুলি এবং প্রতিটি সিমুলেটেড , আপনি , থেকে সিমুলেশনগুলি চালান । তোমার মন্টে কার্লো অনুমান তারপর এই অনুমানের বৈকল্পিকতা নীচে হিসাবে পচে যায় $R$$\pi_X$$x_1,\ldots,x_R$$x_r$$S$$\pi_{Y|X=x_r}$$y_{1r},\ldots,y_{sr}$

$$\delta(R,S)=\frac{1}{RS}\sum_{r=1}^R\sum_{s=1}^S f(x_r,y_{rs})$$ $$\begin{align*} \text{var} \{\delta(R,S)\} &= \frac{1}{R^2S^2} R\text{var} \left\{\sum_{s=1}^S f(x_r,y_{rs})\right\}\\ &= \frac{1}{RS^2} \text{var}_X\mathbb{E}_{Y|X}\left\{\sum_{s=1}^S f(x_r,y_{rs})\big|x_r\right\}+\frac{1}{RS^2}\mathbb{E}_{X}\text{var}_{Y|X} \left\{\sum_{s=1}^S f(x_r,y_{rs})\big|x_r\right\}\\ &=\frac{1}{RS^2} \text{var}_X\{ S \mathbb{E}_{Y|X}[f(x_r,Y)|x_r]\}+ \frac{1}{RS^2} \mathbb{E}_{X}[S\text{var}_{Y|X}\{f(x_r,Y)|x_r\}]\\ &=\frac{1}{R} \text{var}_X\{\mathbb{E}_{Y|X}[f(x_r,Y)|x_r]\}+ \frac{1}{RS} \mathbb{E}_{X}[\text{var}_{Y|X}\{f(x_r,Y)|x_r\}]\\ &\stackrel{K=RS}{=}\frac{1}{R}\text{var}_X\{\mathbb{E}_{Y|X}[f(x_r,Y)|x_r]\}+ \frac{1}{K} \mathbb{E}_{X}[\text{var}_{Y|X}\{f(x_r,Y)|x_r\}] \end{align*}$$ অতএব যদি কেউ এই বৈকল্পিকতা হ্রাস করতে চায় তবে সর্বোত্তম পছন্দটি$R=K$। বোঝাচ্ছে যে । প্রথম বৈকল্পিক পদটি শূন্য হলে ব্যতীত, কোনও ক্ষেত্রে এটি বিবেচনা করে না। যাইহোক, মন্তব্যে আলোচিত হিসাবে, অনুমানটি অবাস্তব কারণ এটি একটি তৈরির জন্য অ্যাকাউন্ট করে না [বা এটি ]$S=1$$K=RS$$x_r$

এখন বিভিন্ন সিমুলেশন খরচ এবং বাজেট বাধ্যতা অনুমান করা যাক , যার মানে হল এর খরচ গুণ বেশি চেয়ে অনুকরণ s 'এর। তখন যা ছোট করা যেতে পারে হিসাবে [সীমাবদ্ধতার অধীনে নিকটতম পূর্ণসংখ্যা এবং ] ব্যতীত, প্রথম প্রকরণটি শূন্যের সমান হলে, সেই ক্ষেত্রে case$R+aRS=b$$y_{rs}$$a$$x_r$

$$\frac{1}{R}\text{var}_X\{\mathbb{E}_{Y|X}[f(x_r,Y)|x_r]\}+ \frac{1}{R(b-R)/aR} \mathbb{E}_{X}[\text{var}_{Y|X}\{f(x_r,Y)|x_r\}]$$ $R$ $$R^*=b\big/1+\{a\mathbb{E}_{X}[\text{var}_{Y|X}\{f(x_r,Y)|x_r\}/\text{var}_X\{\mathbb{E}_{Y|X}[f(x_r,Y)|x_r]\}\}^{1/2}$$ $R\ge 1$$S\ge 1$$R=1$ । যখন , সর্বনিম্ন বৈকল্পিক সর্বাধিক , যা বাড়ে বর্তমান ফর্মালিজমে ।$\mathbb{E}_{X}[\text{var}_{Y|X}\{f(x_r,Y)|x_r\}]=0$$R$$S=1$

আরও দ্রষ্টব্য যে এই সমাধানটির প্রতিসাম্য সমাধানের সাথে তুলনা করা উচিত যখন অভ্যন্তরীণ অবিচ্ছেদ্য প্রদত্ত এবং বাইরের অবিচ্ছেদ্য এর প্রান্তিকের বিপরীতে থাকে (ধরে নেওয়া যায় যে সিমুলেশনগুলি এই ক্রমেও সম্ভব))$X$$Y$$Y$

প্রশ্নের আকর্ষণীয় বর্ধন প্রতিটি সিমুলেটেড জন্য বিভিন্ন সংখ্যার সিমুলেশন , মান on এর উপর নির্ভর করে ।$S(x_r)$$x_r$$\text{var}_{Y|X}\{f(x_r,Y)|x_r\}$

Comments

চূড়ান্ত উপসংহারে, আপনি ধরে নিচ্ছেন বলে মনে হচ্ছে তবে বহিরাগত ভেরিয়েবলের অঙ্কনগুলিও গণনা করা হবে বলে প্রশ্নটি এর সেটিংয়ে রেখেছেন। ফলাফলটি এখানে বলেছে যে যদি বাইরের ভেরিয়েবলের নমুনা নিখরচায় করা হত তবে অবশ্যই প্রতিটি অভ্যন্তরের জন্য একটি নতুন বাইরের নমুনা করা উচিত। (এছাড়াও, প্রশ্নের তুলনায় এবং এর ভূমিকা এখানে পরিবর্তন করা হয়েছে তবে অবশ্যই এতে কিছু আসে যায় না)। $K=RS$$K=RS+R$$x$$y$

— জুহো কোক্কালা

হ্যাঁ তবে আমরা এর মান নির্ধারণ করতে পারি ... ডিজেনরেট সেটিংটি বিবেচনা করুন যেখানে বাহ্যিক ধ্রুবক। ধ্রুবক বার এবং বারের চেয়ে ধ্রুবকটি একবার এবং বারের নমুনা করা ভাল (যা বোঝায়)? নাকি আমি পুরোপুরি ভুল বোঝাবুঝি করছি? (আমি এখন আপনার মন্তব্যের দ্বিতীয় $R$$X$$Y$ $K-1$$K/2$$Y$ $K/2$$S=1$

— বাক্যটিই পড়েছি

@ শি'য়ান হ্যাঁ কলকাতা সঠিক, আপনার সমাধানটি সাধারণত ধরে রাখতে পারে না। ধরুন এখনকার অভ্যন্তরীণ ভেরিয়েবলটির একটি অবক্ষয় বন্টন রয়েছে এবং

— বাইরেরটির

আমি মনে করি আপনার উত্তর সঠিক হতে পারে না। মনে করুন অভ্যন্তরীণ বিতরণটি অধ: পতিত হয় এবং বাইরের

— দিকটি

@robertevansanders: ভেতরের বন্টন অধ: পতিত হয়, , অত এবং আমরা নিকটতম পূর্ণসংখ্যা বাছাই অধীনে সীমাবদ্ধতার এবং , যা গ্রহণ মানে করতে সম্ভব ঘনিষ্ঠ হিসেবে । $\text{var}_{Y|X}\{f(x_r,Y)|x_r\}=0$$R^*=b$$R$$S\ge 1$$R(1+aS)\le b$$S=1$$R$$b$

— শি'আন