অস্বাভাবিক বিতরণে প্রত্যাশিত মানটি কীভাবে মধ্যমা ইত্যাদির সাথে সম্পর্কিত?

Question

একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশিত মানটি কীভাবে তার গাণিতিক গড়, মধ্যমা ইত্যাদির সাথে অস্বাভাবিক বিতরণে (যেমন: স্কিউ-নরমাল) সম্পর্কিত? আমি যে কোনও সাধারণ / আকর্ষণীয় বিতরণে আগ্রহী (উদাঃ লগ-সাধারণ, সাধারণ দ্বি / মাল্টিমোডাল বিতরণ, অদ্ভুত এবং দুর্দান্ত কিছু)।

আমি বেশিরভাগ গুণগত জবাব খুঁজছি, তবে যে কোনও পরিমাণগত বা সূত্রীয় উত্তরগুলিও স্বাগত। আমি বিশেষত যে কোনও দৃশ্য উপস্থাপনা যা এটি পরিষ্কার করে তা দেখতে চাই।

Comments

আপনি কি আরও পরিষ্কার হতে পারেন? পাটিগণিত গড় এবং মধ্যমা হ'ল ফাংশন যা আমরা ডেটাতে প্রয়োগ করি, নির্দিষ্ট বিতরণের অভ্যন্তরীণ কিছু নয় ... উদাহরণস্বরূপ, নমুনাটির গড় গণনা করার জন্য আপনাকে ডেটা স্বাভাবিক হতে হবে না।

— অতিথি

ঠিক আছে, সুতরাং প্রশ্নটি প্রযুক্তিগতভাবে হওয়া উচিত "প্রত্যাশিত মানটি কোনও নির্দিষ্ট সম্ভাবনার বন্টন থেকে এলোমেলোভাবে আঁকানো ডেটার গড়, মিডিয়ান ইত্যাদির সাথে কীভাবে সম্পর্কিত ?" আমি সহজ, স্বজ্ঞাত বোঝার জন্য সন্ধান করছি, আপনি যেভাবে স্বজ্ঞাতভাবে বলতে পারেন যে কোনও বিতরণ যখন আরও বেশি হয় তখন মধ্যক এবং গড়টি আরও আলাদা হয় এবং মিডিয়ান যেখানে ডেটা পড়েছে তার আরও ভাল ইঙ্গিত দিতে পারে।

— nnot101

হেহ। ধন্যবাদ মার্কো আমি পরিষ্কারভাবে জিনিস ভুল পড়া হয়েছে। উত্তর হিসাবে এটি লিখতে পারে, আমি এটি সেরা উত্তর এ বেছে নেবেন।

— nnot101

Answer 1

(উপরে আমার এখন মুছে ফেলা মন্তব্য থেকে আংশিক রূপান্তরিত)

প্রত্যাশিত মান এবং পাটিগণিত গড় হুবহু একই জিনিস। মিডিয়ানটি অপ্রয়োজনীয় উপায়ে মধ্যমা সম্পর্কিত তবে আপনি তাদের সম্পর্ক সম্পর্কে কয়েকটি কথা বলতে পারেন:

• যখন একটি বিতরণ প্রতিসম হয়, গড় এবং মধ্যম একই হয়

• যখন কোনও বিতরণ নেতিবাচকভাবে স্কিউড হয় তখন মধ্যকটি সাধারণত গড়ের চেয়ে বেশি হয়

• যখন কোনও বিতরণকে ইতিবাচকভাবে স্কিউ করা হয়, তখন মিডিয়ান সাধারণত গড়ের চেয়ে কম হয়

Comments

মজাদার. Examplesণাত্মক স্কিউড বিতরণে অস্বাভাবিক আচরণের কোন উদাহরণ রয়েছে যেখানে মধ্যমাটির চেয়ে গড় বেশি?

— নট 101

@ ননট 101: এটি কি টাইপো? নেতিবাচকভাবে স্কিউড ডিস্ট্রিবিউশন হ'ল এমন একটি যেখানে বামে-কেন্দ্রের ফলাফলগুলি ডান-অফ-সেন্টারের ফলাফলগুলির চেয়ে বেশি ঘন ঘন ঘটে এবং তাই কম ফ্রিকোয়েন্সি ফলাফলগুলির "লেজ" ডানদিকে যায়। এই পরিস্থিতিতে, বাম দিকের কুঁচকটি সর্বদা (পাটিগণিত) মাঝখানে বামদিকে টানবে, যখন ডানদিকে লেজটি মাঝারিটির চেয়ে মাঝারিটিকে আরও বেশি রাখবে।

— আসাদ ইব্রাহিম

@ আসাদে আব্রাহিম: না, এটি ম্যাক্রোর এই মন্তব্যের একটি উল্লেখ ছিল "মিডিয়ান সাধারণত গড়ের চেয়ে বড় হয়" - আমি পাল্টা উদাহরণ চেয়েছিলাম।

— nnot101

@ নট ১০১১: অবিবাহিত বিতরণের ক্ষেত্রে পাল্টা উদাহরণগুলি তার পরবর্তী লাইন: যখন কুঁজ ডানদিকে থাকে তখন বামদিকে লেজটি মাঝের দিকে নীচে টান দেয়। লেজ যত দীর্ঘ হবে, মাঝারি এবং গড়ের মধ্যকার ব্যবধান তত বেশি।

— আসাদ ইব্রাহিম

ব্যবহারিক পরিস্থিতি কী কী যেখানে কোনও গড় বা বিপরীতে একটি মিডিয়ান ব্যবহার করবে? বেঁচে থাকার বিশ্লেষণে উদাহরণস্বরূপ যেখানে লাইফটাইমগুলি তাত্পর্যপূর্ণ বিতরণ অনুসরণ করে, আমি যদি মধ্যস্থ (যেমন অর্ধেক জিনিস দীর্ঘস্থায়ী হয়, অর্ধেক কম শেষ হয়) বা গড় ("প্রত্যাশিত" আজীবন) বাইনারি হিসাবে জীবন / মৃত্যুর পূর্বাভাস দিতে হয় তবে ফলাফল?

— ড্রিভিকো

Answer 2

সাধারণভাবে বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবলের সুরেলা, জ্যামিতিক এবং গাণিতিক গড়ের মধ্যে একটি দুর্দান্ত সম্পর্ক রয়েছে$X \sim \mathcal{LN}\left( \mu,\sigma^2 \right)$। দিন

• $\mathrm{HM}(X) = \mathrm{e}^{\mu - \frac{1}{2}\sigma^2}$ (সুরেলা গড়),
• $\mathrm{GM}(X) = \mathrm{e}^{\mu}$ (জ্যামিতি মানে),
• $\mathrm{AM}(X) = \mathrm{e}^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2}$ (গাণিতিক গড়)।

হারমোনিক এবং পাটিগণিত গড়ের পণ্যটি জ্যামিতিক গড়ের বর্গক্ষেত্রের ফলন দেয় তা দেখা মুশকিল নয় ie

$$\mathrm{HM}(X) \cdot \mathrm{AM}(X) = \mathrm{GM}^2(X).$$

যেহেতু সমস্ত মান ধনাত্মক, আমরা স্কোয়ার রুট নিতে পারি এবং জ্যামিতিক গড়টি খুঁজে পেতে পারি$X$ হারমোনিক গড়ের জ্যামিতিক গড় $X$ এবং গাণিতিক গড় $X$অর্থাৎ

$$\mathrm{GM}(X) = \sqrt{ \mathrm{HM}(X) \cdot \mathrm{AM}(X) }.$$

তদ্ব্যতীত, সুপরিচিত এইচএম-জিএম-এএম অসমতা

$$\mathrm{HM}(X) \leq \mathrm{GM}(X) \leq \mathrm{AM}(X)$$

হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে

$$\mathrm{HM}(X) \cdot \sqrt{\mathrm{GVar}(X)} = \mathrm{GM}(X) = \dfrac{\mathrm{AM}(X)}{\sqrt{\mathrm{GVar}(X)}},$$

কোথায় $\mathrm{GVar}(X) = \mathrm{e}^{\sigma^2}$ জ্যামিতিক বৈকল্পিকতা।

Answer 3

সম্পূর্ণতার জন্য, এমন কিছু বিতরণ রয়েছে যার জন্য গড়টি ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়নি। একটি সর্বোত্তম উদাহরণ হ'ল কাচি বিতরণ (কেন এই উত্তরটির একটি সুন্দর ব্যাখ্যা আছে)। আর একটি গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ হ'ল 2 এরও কম ঘাতক সহ পেরেটো বিতরণ ।

Comments

বেশ কয়েকটি ইফফের। পাওয়ার আইন কোনও বিতরণ নয়, তবে পেরেটো বিতরণ একটি পাওয়ার আইন। এটি লগ-উত্তল শক্তি ফাংশনের অ-অবিচ্ছেদ্যতার সাথে সম্পর্কিত$x=0$। একটি ক্ষমতা আইন, যদি আপনি কম 2 বলতে চাচ্ছি, 2. তার চেয়ে অনেক বেশী না

— কার্ল

@ কার্ল ভাল পয়েন্ট - আমি সেই অনুসারে উত্তরটি সম্পাদনা করেছি। অনেক thx (:

— drevicko

Answer 4

যদিও এটি সঠিক যে গাণিতিকভাবে অর্থ এবং প্রত্যাশার মানটি একইভাবে সংজ্ঞায়িত হয়, একটি স্কিউ বিতরণের জন্য এই নামকরণ কনভেনশন বিভ্রান্তিকর হয়ে পড়ে।

কল্পনা করুন যে আপনি কোনও বন্ধুকে তার শহরের আবাসিক দামগুলি সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করছেন কারণ আপনি সেখানে সত্যিই এটি পছন্দ করেন এবং সেই শহরে যাওয়ার বিষয়ে ভাবছেন।

যদি আবাসন পুরষ্কারের বিতরণটি অবিমোচনীয় এবং প্রতিসম ছিল, তবে আপনার বন্ধু আপনাকে বাড়ির গড় দাম বলতে পারে এবং প্রকৃতপক্ষে আপনি বাজারটির বেশিরভাগ ঘর খুঁজে পেতে আশা করতে পারেন যার অর্থ মূল্য।

তবে, যদি আবাসন মূল্যের বিতরণটি সর্বসম্মত এবং স্কিউড হয়, উদাহরণস্বরূপ, বাম দিকে কম দামের সীমাতে বেশিরভাগ ঘর এবং ডানদিকে কেবল কয়েকটি অতিমাত্রায় ঘর রয়েছে, তবে তার অর্থটি উচ্চমূল্যে "স্কিউড" হবে অধিকার.

এই সর্বনিম্ন, স্কিউড বাড়ির দাম বিতরণের জন্য আপনি মধ্যবর্তী বাজারের আশেপাশে বেশিরভাগ বাড়ি খুঁজে পেতে পারেন ।

Comments

আপনি যখন স্কিও ইউনিমোডাল বিতরণের জন্য বলছেন তখন আপনার অর্থ কী তা স্পষ্ট নয় এটি বাড়ির মূল্য বিতরণের মধ্যম মূল্য রয়েছে। যা বলা যায় তা হ'ল মানের অর্ধেকটি মধ্যস্থের নীচে বা তার নীচে থাকবে এবং অর্ধেকটি মধ্যম বা তার চেয়ে বেশি হবে। এটি নির্দেশ করে না যে এই মানগুলি কতটা নিকটে রয়েছে।

— মাইকেল আর চেরনিক

আমি এটি গ্রহণ করি যে আপনার শেষ বাক্যটি "মিডিয়ান" দিয়ে শেষ হওয়ার কথা? যদি আমি মনে করি তবে এটি স্পষ্টভাবে মনে হয় যে মিডিয়ানটিকে উপরে বর্ণিত জনসংখ্যা থেকে নেওয়া এলোমেলো নমুনার গড় (যা অর্জনযোগ্য হতে পারে না, যেমন আবাসনের দাম নয়) এর নিকটতম গড় (সবচেয়ে বেশি প্রাপ্তি) হতে হবে। এটি হ'ল গড়টি গড় গড় নমুনার সবচেয়ে কাছের। যদি তা না হয় তবে এই মানগুলি কতটা নিকটে রয়েছে সে বিষয়ে আমি দাবি করিনি। আমি তাদের মধ্যস্থতার দূরত্ব সম্পর্কে দাবি করেছি।

— সল হেটর