আর এর ur.df ব্যাখ্যা (ডিকি-ফুলার ইউনিট রুট পরীক্ষা) ফলাফল

Question

আমি প্যাকেজে ur.df()ফাংশনটি ব্যবহার করে একটি সময় সিরিজে নিম্নলিখিত ইউনিট রুট পরীক্ষা (ডিকি-ফুলার) চালাচ্ছি urca।

আদেশটি হ'ল:

summary(ur.df(d.Aus, type = "drift", 6))

আউটপুটটি হ'ল:

############################################### 
# Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
############################################### 

Test regression drift 


Call:
lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + z.diff.lag)

Residuals:
      Min        1Q    Median        3Q       Max 
-0.266372 -0.036882 -0.002716  0.036644  0.230738 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
(Intercept)  0.001114   0.003238   0.344  0.73089   
z.lag.1     -0.010656   0.006080  -1.753  0.08031 . 
z.diff.lag1  0.071471   0.044908   1.592  0.11214   
z.diff.lag2  0.086806   0.044714   1.941  0.05279 . 
z.diff.lag3  0.029537   0.044781   0.660  0.50983   
z.diff.lag4  0.056348   0.044792   1.258  0.20899   
z.diff.lag5  0.119487   0.044949   2.658  0.00811 **
z.diff.lag6 -0.082519   0.045237  -1.824  0.06874 . 
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 

Residual standard error: 0.06636 on 491 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.04211,    Adjusted R-squared: 0.02845 
F-statistic: 3.083 on 7 and 491 DF,  p-value: 0.003445 


Value of test-statistic is: -1.7525 1.6091 

Critical values for test statistics: 
      1pct  5pct 10pct
tau2 -3.43 -2.86 -2.57
phi1  6.43  4.59  3.78

1. তাত্পর্য কোডগুলি (সিগনিফ কোডগুলি) কী বোঝায়? আমি লক্ষ্য করেছি যে তাদের কয়েকটি যেখানে z.lag.1, z.diff.lag.2, z.diff.lag.3 (""। "তাত্পর্য কোড) এবং z.diff.lag.5 (" " ** "তাত্পর্য কোড)।

2. আউটপুট আমাকে পরীক্ষার পরিসংখ্যানের দুটি (2) মান দেয়: -1.7525 এবং 1.6091। আমি জানি যে এডিএফ পরীক্ষার পরিসংখ্যান প্রথমটি (যেমন -1.7525)। তাহলে দ্বিতীয়টি কী?

3. অবশেষে, 95% তাত্পর্য স্তরের ইউনিট মূলের জন্য অনুমানটি পরীক্ষা করার জন্য, আমার আমার এডিএফ পরীক্ষার পরিসংখ্যানকে (যেমন -1.7525) একটি সমালোচনামূলক মানের সাথে তুলনা করতে হবে, যা আমি সাধারণত একটি টেবিল থেকে পাই। এখানে আউটপুট মনে হয় আমাকে মাধ্যমে সমালোচনা মান। তবে, প্রশ্নটি হ'ল: "টাউ 2" এবং "ফাই 1" এর মধ্যে কোন সমালোচনামূলক মানটি ব্যবহার করা উচিত।

আপনার প্রতিক্রিয়ার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ.

Comments

1 - সাইনিফ কোডগুলি পরিষ্কার হওয়া উচিত ... লেগের ডাবল স্টার থাকে তাই এটি পি = 0.01 2- যারা বিভিন্ন এইচ 0 গুলি পরীক্ষা করে: "কিছুই নয়" বা "ড্রিফট" বা "ট্রেন্ড" 3- সমালোচক মানগুলি আবারও একই জিনিসটির উপর নির্ভর করে আপনি যে এইচ 0 টি বিবেচনা করতে চান

— 4_12

@ জয়েন্ট_পি আমি দুঃখিত, তবে আমি কেবল একটি শিক্ষানবিস। আপনার উত্তরগুলি খুব সোজা-এগিয়ে ছিল। আপনি কি বলেছিলেন দয়া করে আরও বিস্তারিত বলতে পারেন? আমি সত্যিই কৃতজ্ঞ হবে। ধন্যবাদ.

— সেভডবাইজিস

amazon.com/Analysis-Integrated-Cointegrated-Time-Use/dp/... এই একটি খুব ভাল বই, আমি এটা দিয়ে অধ্যয়ন করার জন্য ব্যবহৃত

— joint_p

Answer 1

দেখে মনে হচ্ছে এই নির্দিষ্ট আর-কমান্ডের নির্মাতারা মূল ডিকি-ফুলার সূত্রের সাথে পরিচিত, সুতরাং মানগুলি কীভাবে ব্যাখ্যা করবেন সে সম্পর্কিত প্রবন্ধটি সরবরাহ করেন নি। আমি দেখতে পেয়েছি যে এন্ডার্স একটি অবিশ্বাস্যরূপে সহায়ক সংস্থান (প্রয়োগিত একনোমেট্রিক সময় সিরিজ 3 ই, 2010, পৃষ্ঠা 206-209 - আমি ভাবছি যে অন্যান্য সংস্করণগুলিও ভাল থাকবে)। নীচে আমি ইউআরসিএ প্যাকেজ থেকে ডেটা ব্যবহার করব, উদাহরণস্বরূপ ডেনমার্কের আসল আয়।

> income <- ts(denmark$LRY)

ডিকি-ফুলার বিভিন্ন হাইপোথেসিগুলি পেতে ব্যবহৃত 3 টি পৃথক সূত্রটি প্রথমে বর্ণনা করা কার্যকর হবে কারণ এগুলি ur.df "টাইপ" বিকল্পগুলির সাথে মেলে match এন্ডারস উল্লেখ করে যে এই 3 টি ক্ষেত্রে সমস্ত ক্ষেত্রে সামঞ্জস্যপূর্ণ শব্দটি ব্যবহৃত হয় গামা, y এর পূর্ববর্তী মান, লেগ শব্দটির সহগ হয়। যদি গামা = 0 হয়, তবে সেখানে একটি ইউনিট মূল রয়েছে (এলোমেলো হাঁটা, ননস্টেশনারি)। যেখানে নাল অনুমানটি গামা = 0, যদি পি <0.05 হয়, তবে আমরা নালটিকে প্রত্যাখ্যান করি (95% স্তরে), এবং অনুমান করি যে কোনও ইউনিট মূল নেই। আমরা যদি নালটি (পি> 0.05) প্রত্যাখ্যান করতে ব্যর্থ হই তবে আমরা ধরে নিই যে একটি ইউনিট মূল বিদ্যমান। এখান থেকে, আমরা তাউ এবং ফাইয়ের ব্যাখ্যা করতে এগিয়ে যেতে পারি।

1) প্রকার = "কিছুই নয়": (এন্ডারস থেকে সূত্র পি। 208)$\Delta y(t) = \gamma * y(t-1) + e(t)$

(যেখানে হ'ল ত্রুটি শব্দটি সাদা শব্দ হিসাবে অনুমান করা হয়; থেকে ; পূর্ববর্তীটিকে বোঝায় y এর মান, তাই ল্যাগ টার্ম)$e(t)$$\gamma = a-1$$y = a*y(t-1) + e(t)$$y(t-1)$

টাইপ = "কোনটিই নয়," টাউ (বা আর আউটপুটে টাউ 1) হ'ল গামা = ০ এর নাল অনুমান Using : tau1 -2.6 -1.95 -1.61। পরীক্ষা পরিসংখ্যানগুলি সমস্ত 3 টি অঞ্চলের মধ্যে রয়েছে (1%, 5%, 10%) যেখানে আমরা শূন্যতা প্রত্যাখ্যান করতে ব্যর্থ, আমাদের অনুমান করা উচিত যে ডেটা একটি এলোমেলো পদক্ষেপ, অর্থাৎ একটি ইউনিটের মূল উপস্থিত রয়েছে this এক্ষেত্রে, টাউ 1 গামা = 0 অনুমানকে বোঝায় "" z.lag1 "গামা শব্দ, ল্যাগ টার্ম (y (টি -1)) এর সহগ, যা পি = 0.431, যা আমরা উল্লেখযোগ্য হিসাবে প্রত্যাখ্যান করতে ব্যর্থ হই, কেবল বোঝায় যে গামা এই মডেলটির জন্য পরিসংখ্যানগতভাবে তাত্পর্যপূর্ণ নয় Here এখানে আর

> summary(ur.df(y=income, type = "none",lags=1))
> 
> ############################################### 
> # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
> ############################################### 
> 
> Test regression none 
> 
> 
> Call:
> lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1 + z.diff.lag)
> 
> Residuals:
>       Min        1Q    Median        3Q       Max 
> -0.044067 -0.016747 -0.006596  0.010305  0.085688 
> 
> Coefficients:
>             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
> z.lag.1    0.0004636  0.0005836   0.794    0.431
> z.diff.lag 0.1724315  0.1362615   1.265    0.211
> 
> Residual standard error: 0.0251 on 51 degrees of freedom
> Multiple R-squared:  0.04696,   Adjusted R-squared:  0.009589 
> F-statistic: 1.257 on 2 and 51 DF,  p-value: 0.2933
> 
> 
> Value of test-statistic is: 0.7944 
> 
> Critical values for test statistics: 
>      1pct  5pct 10pct
> tau1 -2.6 -1.95 -1.61

2) টাইপ = "ড্রিফ্ট" (উপরে আপনার নির্দিষ্ট প্রশ্ন): (এন্ডারস থেকে সূত্র পৃষ্ঠা 208)$\Delta y(t) = a0 + \gamma * y(t-1) + e(t)$

(যেখানে a0 "একটি উপ-শূন্য" এবং ধ্রুবক বা প্রবাহের শব্দটিকে বোঝায়) এখানে আউটপুট ব্যাখ্যাটি আরও জটিল হয়। "টাউ 2" এখনও নাল অনুমান। এই ক্ষেত্রে, যেখানে প্রথম পরীক্ষার পরিসংখ্যান = -1.4462 নালটিকে প্রত্যাখ্যান করতে ব্যর্থতার অঞ্চলের মধ্যে রয়েছে, আমাদের আবার একটি ইউনিট মূল হিসাবে ধরে নেওয়া উচিত, যে ।$\gamma=0$$\gamma=0$
Phi1 শব্দটি দ্বিতীয় অনুমানকে বোঝায়, এটি a0 = গামা = 0 এর সম্মিলিত নাল অনুমান যা এর অর্থ হ'ল মানগুলির উভয়ই একই সময়ে 0 হতে পরীক্ষিত হয়। যদি পি <0.05 হয়, তবে আমরা নালটিকে প্রত্যাখ্যান করি এবং ধরে নিয়েছি যে এর মধ্যে কমপক্ষে একটিও মিথ্যা - যেমন a0 বা গামা উভয় পদই 0 নয় this 1) বোঝায় যে গামা = 0 অতএব একক রুট উপস্থিত রয়েছে, এবং 2) a0 = 0, সুতরাং কোনও প্রবাহের শব্দ নেই। এখানে আর আউটপুট

> summary(ur.df(y=income, type = "drift",lags=1))
> 
> ############################################### 
> # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
> ############################################### 
> 
> Test regression drift 
> 
> 
> Call:
> lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + z.diff.lag)
> 
> Residuals:
>       Min        1Q    Median        3Q       Max 
> -0.041910 -0.016484 -0.006994  0.013651  0.074920 
> 
> Coefficients:
>             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
> (Intercept)  0.43453    0.28995   1.499    0.140
> z.lag.1     -0.07256    0.04873  -1.489    0.143
> z.diff.lag   0.22028    0.13836   1.592    0.118
> 
> Residual standard error: 0.0248 on 50 degrees of freedom
> Multiple R-squared:  0.07166,   Adjusted R-squared:  0.03452 
> F-statistic:  1.93 on 2 and 50 DF,  p-value: 0.1559
> 
> 
> Value of test-statistic is: -1.4891 1.4462 
> 
> Critical values for test statistics: 
>       1pct  5pct 10pct
> tau2 -3.51 -2.89 -2.58
> phi1  6.70  4.71  3.86

3) পরিশেষে, = "প্রবণতা" টাইপের জন্য: (এন্ডার্স থেকে সূত্র পৃষ্ঠা 208)$\Delta y(t) = a0 + gamma * y(t-1) + a2(t) + e(t)$

(যেখানে a2 (t) একটি সময়ের ট্রেন্ড শব্দ) অনুমানগুলি (এন্ডার্স পৃষ্ঠা 208 থেকে) নিম্নলিখিতভাবে রয়েছে: তাউ: গামা = 0 ফাই 3: গামা = এ 2 = 0 ফাই 2: a0 = গামা = এ 2 = 0 এটি এর সাথে মিল রয়েছে আর আউটপুট। এই ক্ষেত্রে, পরীক্ষার পরিসংখ্যানগুলি -2.4216 2.1927 2.9343 এই সমস্ত ক্ষেত্রে, এইগুলি "নাল প্রত্যাখ্যান করতে ব্যর্থ" অঞ্চলগুলির মধ্যে পড়ে (নীচের সমালোচনা মানগুলি দেখুন)। টাউ 3 যা বোঝায়, উপরের হিসাবে এটি হ'ল আমরা ইউনিট রুটের নালটিকে প্রত্যাখ্যান করতে ব্যর্থ হয়ে একটি ইউনিট মূলকে বোঝাচ্ছি। ফাই 3 প্রত্যাখ্যান করতে ব্যর্থ হওয়া দুটি জিনিস বোঝায়: 1) গামা = 0 (ইউনিট রুট) এবং 2) সময় ট্রেন্ডের কোনও শর্ত নেই, অর্থাত্, a2 = 0। আমরা যদি এই নালটিকে প্রত্যাখ্যান করি তবে এর দ্বারা বোঝা যায় যে এই দুটি বা দুটি পদই 0 নয় ph ফাই 2 প্রত্যাখ্যান করতে ব্যর্থ হওয়া 3 টি বিষয়কে বোঝায়: 1) গামা = 0 এবং 2) কোনও সময় প্রবণতা শর্ত নয় এবং 3) কোনও প্রবাহের শব্দ নয়, অর্থাৎ সেই গামা = 0, সেই a0 = 0 এবং এটি a2 = 0।
এখানে আর আউটপুট

> summary(ur.df(y=income, type = "trend",lags=1))
> 
> ############################################### 
> # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
> ############################################### 
> 
> Test regression trend 
> 
> 
> Call:
> lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + tt + z.diff.lag)
> 
> Residuals:
>       Min        1Q    Median        3Q       Max 
> -0.036693 -0.016457 -0.000435  0.014344  0.074299 
> 
> Coefficients:
>               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
> (Intercept)  1.0369478  0.4272693   2.427   0.0190 *
> z.lag.1     -0.1767666  0.0729961  -2.422   0.0192 *
> tt           0.0006299  0.0003348   1.881   0.0659 .
> z.diff.lag   0.2557788  0.1362896   1.877   0.0665 .
> ---
> Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
> 
> Residual standard error: 0.02419 on 49 degrees of freedom
> Multiple R-squared:  0.1342,    Adjusted R-squared:  0.08117 
> F-statistic: 2.531 on 3 and 49 DF,  p-value: 0.06785
> 
> 
> Value of test-statistic is: -2.4216 2.1927 2.9343 
> 
> Critical values for test statistics: 
>       1pct  5pct 10pct
> tau3 -4.04 -3.45 -3.15
> phi2  6.50  4.88  4.16
> phi3  8.73  6.49  5.47

উপরের আপনার নির্দিষ্ট উদাহরণে, ডি.আউস ডেটা-র জন্য, যেহেতু উভয় পরীক্ষার পরিসংখ্যানই "প্রত্যাখ্যান করতে ব্যর্থ" জোনের অভ্যন্তরে রয়েছে, এটি বোঝায় যে গামা = 0 এবং a0 = 0, মানে একটি ইউনিট মূল রয়েছে তবে কোন প্রবাহের মেয়াদ নেই।

Comments

@ জেরেমি, আপনার বিস্তারিত উত্তরের অংশ 3 (প্রবণতা সহ) আপনি উল্লেখ করেছেন "এই ক্ষেত্রে, পরীক্ষার পরিসংখ্যানগুলি -2.4216 2.1927 2.9343 these এই সমস্ত ক্ষেত্রে, এইগুলি" নাল প্রত্যাখ্যান করতে ব্যর্থ "অঞ্চলের মধ্যে পড়ে (সমালোচনা দেখুন) নীচে মান)। " আমার প্রশ্ন যদি ২.১৯২27 ফিলিপাইয়ের জন্য পরীক্ষার পরিসংখ্যান হয় তবে এটি কি phi2 6.50 4.88 4.16 এর বিপরীতে পরীক্ষা করা উচিত? এবং যদি এটি সঠিক হয় তবে phi2 H0 (ট্রেন্ড এবং প্রবাহ ছাড়াই ইউনিট রুট) গ্রহণ করার শর্তটি কী?

— সারাজ

Answer 2

যৌথ-পি ইতিমধ্যে চিহ্নিত করেছে, তাত্পর্য কোডগুলি মোটামুটি মানসম্পন্ন এবং সেগুলি পি-মানগুলির সাথে মিল, অর্থাৎ একটি অনুমান পরীক্ষার পরিসংখ্যানগত তাত্পর্য। .01 এর একটি পি-মান মানে 99% আত্মবিশ্বাসের মধ্যে উপসংহারটি সত্য।

ডিকি-ফুলার সম্পর্কিত উইকিপিডিয়া নিবন্ধে ডিকি-ফুলার পরীক্ষার তিনটি সংস্করণ বর্ণনা করা হয়েছে: "ইউনিট রুট", "ড্রিফট সহ ইউনিট রুট", এবং "ইউনিট রুট উইথ ড্রিফট অ্যান্ড ডিটারমিনিস্টিক টাইম ট্রেন্ড", বা যা উল্লেখ করা হয়েছে urcaটাইপ = "কিছুই নয়", "ড্রিফ্ট", এবং "ট্রেন্ড" হিসাবে নথিপত্র

এই পরীক্ষাগুলির প্রতিটি ক্রমান্বয়ে আরও জটিল লিনিয়ার রিগ্রেশন। তাদের সকলের মধ্যে মূল রয়েছে তবে প্রবাহের মধ্যেও একটি ড্রিফ্ট সহগ রয়েছে, এবং প্রবণতাতে একটি ট্রেন্ড সহগও রয়েছে। এই সহগের প্রত্যেকটির একটি সম্পর্কিত তাত্পর্য স্তর রয়েছে। যদিও মূল গুণকের তাত্পর্য সর্বাধিক গুরুত্বপূর্ণ এবং ডিএফ পরীক্ষার মূল ফোকাস, আমরা ট্রেন্ড / ড্রিফটও পরিসংখ্যানগতভাবে তাত্পর্যপূর্ণ কিনা তা জানতে আগ্রহী হতে পারি। বিভিন্ন মোডের সাথে চারপাশে ঝাঁকুনির পরে এবং টি-টেস্টে কোন সহগটি উপস্থিত হয় / অদৃশ্য হয়ে যায় তা দেখার পরে আমি সহজেই সনাক্ত করতে সক্ষম হলাম কোন টি-পরীক্ষার সাথে কোন সহগটি যুক্ত।

সেগুলি নিম্নলিখিত হিসাবে লেখা যেতে পারে (উইকির পৃষ্ঠা থেকে):

(ইউনিট মূল)$\Delta y_{t} = \delta y_{t-1} + u_{t}$

(ড্রিফ্ট সহ)$\Delta y_{t} = \delta y_{t-1} + a_{0} + u_{t}$

(প্রবণতা সহ)$\Delta y_{t} = \delta y_{t-1} + a_{0} + a_{1}t + u_{t}$

আপনার ক্ষেত্রে, এর "tau2" অনুরূপ ইন যেখানে "phi1" সাথে সঙ্গতিপূর্ণ । আপনি "ট্রেন্ড" পরীক্ষায় একটি তৃতীয় সহগ উপস্থিত দেখতে পাবেন যা উপরের তৃতীয় সমীকরণের সাথে to এর সাথে মিলবে । তবে আপনি "প্রবণতা" এ চলে যাওয়ার পরে ভেরিয়েবলের নাম পরিবর্তন হবে, তাই সতর্কতা অবলম্বন করুন এবং নিশ্চিত হয়ে নিন যে আপনি নিজেকে এই টিঙ্কারিংটি পরীক্ষা করছেন। আমি "প্রবণতা" মোড, এর "tau3" অনুরূপ বিশ্বাস , এর "phi2" অনুরূপ , এবং "phi3" অনুরূপ ।a 0 a 1 δ a 0 a $\delta$$a_{0}$$a_{1}$$\delta$$a_{0}$$a_{1}$

Answer 3

আমি জেরামির উত্তর অনুসরণ করা বেশ সহজ খুঁজে পেয়েছি, কিন্তু ক্রমাগত নিজেকে যুক্তি দিয়ে সঠিকভাবে চলার চেষ্টা করে এবং ভুল করে দেখতে পেলাম। আমি একটি আর ফাংশন কোড করেছিলাম যা তিন ধরণের মডেলের প্রত্যেকটির ব্যাখ্যা করে এবং অসঙ্গতি বা অনিবার্য ফলাফল থাকলে সতর্কতা দেয় (আমি এডিএফ গণিতটি সঠিকভাবে বুঝতে পারলে সেখানে কখনও অসামঞ্জস্য হওয়া উচিত বলে আমি মনে করি না, তবে আমি এখনও একটি ভাল বলে মনে করেছি) ur.df ফাংশনটিতে কোনও ত্রুটি রয়েছে কিনা তা পরীক্ষা করে দেখুন)।

এক নজর দেখে নাও. মন্তব্য / সংশোধন / উন্নতি নিতে খুশি।

https://gist.github.com/hankroark/968fc28b767f1e43b5a33b151b771bf9

Comments

আপনার ফাংশন দেখে মনে হচ্ছে এটি অনেক চেষ্টা করে তৈরি হয়েছিল; তবে এটিতে একটি পুনরুত্পাদনযোগ্য উদাহরণ যুক্ত করা সহায়ক হবে। আপনি একটি টাইম সিরিজ বাছাই করতে চাইতে পারেন (সম্ভবত এটি আর বা কোনও প্যাকেজে ইতিমধ্যে উপলব্ধ) এটিতে ডিকি ফুলার পরীক্ষা চালান এবং তারপরে আপনার ফাংশনটি আগ্রহী লোকেরা এটি কী করে তা দেখার জন্য ব্যবহার করুন।

— সেভডবাইজেসুস

পুনরুত্পাদনযোগ্য উদাহরণinterp_urdf(urdf = ur.df(mtcars$mpg, type = "drift"))

— এমএসডি

Answer 4

ইউনিট রুট পরীক্ষায় রজার পারমানের বক্তৃতা নোটগুলিতে আরও তথ্য

এন্ডারস, ফলিত একনোমেট্রিক সময় সিরিজ (4 ই) এ টেবিলটিও দেখুন, যা এই পরীক্ষার পরিসংখ্যানগুলিতে উল্লেখ করা বিভিন্ন অনুমানের সংক্ষিপ্তসার করে। বিষয়বস্তু উপরের চিত্রের সাথে একমত হয়।

Answer 5

খুব আকর্ষণীয় পোস্ট এবং উত্তর। আমি কেবল303066626 দ্বারা ব্যাখ্যা করা টেবিলের প্রতি শ্রদ্ধার সাথে সন্দেহ পোষণ করেছি। কোন সফটওয়্যার ADF পরীক্ষা আউটপুটে রিপোর্ট মান \tau_{\alpha \mu}, \tau_{\alpha \tau}এবং \tau_{\beta \tau}? স্পষ্টতই, আর হয় না

Answer 6

phi1 phi2 phi3 এডিএফ কাঠামোর এফ-পরীক্ষার সমতুল্য

Comments

আপনি কি এই উত্তরটি একটু বাড়িয়ে দিতে পারেন? এই মুহূর্তে এটি কিছুটা রহস্যজনক। এগুলি সমতুল্য হওয়া উচিত কেন?

— অ্যান্ডি