প্রমাণ যে এফ-পরিসংখ্যানগুলি এফ-বিতরণ অনুসরণ করে

এই প্রশ্নের আলোকে: প্রমাণ যে কোনও ওএলএস মডেলের সহগগুলি স্বাধীনতার (এনকে) ডিগ্রি সহ টি-বিতরণ অনুসরণ করে

আমি কেন বুঝতে চাই

এফ = \frac{(TSS - আরএসএস) / (পি - 1)}{আরএসএস / (এন - পি)},

$F = \frac{(\text{TSS}-\text{RSS})/(p-1)}{\text{RSS}/(n-p)},$

যেখানে হল মডেল প্যারামিটারের সংখ্যা এবং পর্যবেক্ষণের সংখ্যা এবং মোট বৈকল্পিক, অবশিষ্টাংশগুলি, একটি বিতরণ অনুসরণ করে। $p$ $n$ $TSS$ $RSS$ $F_{p-1,n-p}$

আমাকে অবশ্যই স্বীকার করতে হবে যে আমি এটি প্রমাণ করার চেষ্টাও করি নি কারণ আমি জানি না কোথা থেকে শুরু করব।

— user1627466
সূত্র

ক্রিস্টোফ হ্যাঙ্ক এবং ফ্রান্সিস ইতিমধ্যে একটি খুব ভাল উত্তর দিয়েছেন। লিনিয়ার রিগ্রেশন এর জন্য চ পরীক্ষার প্রমাণ বুঝতে আপনার যদি এখনও সমস্যা হয় তবে Teamdable.github.io/techblog/… চেকআউট করার চেষ্টা করুন । লিনিয়ার রিগ্রেশনের পক্ষে সেরাটির প্রমাণ সম্পর্কে আমি ব্লগ পোস্টটি লিখেছিলাম। এটি কোরিয়ান ভাষায় রচিত তবে এটি সমস্যা নাও হতে পারে কারণ এর প্রায় সবগুলিই গণিতের সূত্র। আমি আশা করি যদি লিনিয়ার রিগ্রেশন এর জন্য চ পরীক্ষার প্রমাণ বুঝতে এখনও আপনার অসুবিধা হয় তবে এটি সহায়তা করবে।

— তাইহো ওহ

যদিও এই লিঙ্কটি প্রশ্নের উত্তর দিতে পারে, উত্তরের প্রয়োজনীয় অংশগুলি এখানে অন্তর্ভুক্ত করা এবং রেফারেন্সের জন্য লিঙ্কটি সরবরাহ করা ভাল। লিঙ্কযুক্ত পৃষ্ঠাগুলি পরিবর্তিত হলে লিঙ্ক-শুধুমাত্র উত্তরগুলি অবৈধ হতে পারে। - পর্যালোচনা থেকে

— এমকেটি -

আসল পরীক্ষার পরিসংখ্যানগুলির জন্য আপনার সূত্রটি একটি বিশেষ ক্ষেত্রে যার সাধারণ ক্ষেত্রে ফলাফলটি দেখান। সাধারণভাবে, আমাদের যাচাই করতে হবে যে পরিসংখ্যানগুলি বন্টনের বৈশিষ্ট্য $F$ অনুসারে স্বাধীন এর অনুপাত হিসাবে লেখা যেতে পারে $\chi^2$ , স্বাধীনতার ডিগ্রি দ্বারা বিভক্ত ।

যাক $H_{0}:R^\prime\beta=r$ সঙ্গে ও পরিচিত, nonrandom এবং পূর্ণ কলাম র্যাঙ্ক হয়েছে । এই প্রতিনিধিত্ব করে (অসদৃশ Ops স্বরলিপি) জন্য রৈখিক বিধিনিষেধ ধ্রুবক মেয়াদ সহ regressors। সুতরাং, @ user1627466 এর উদাহরণে, সাথে সঙ্গতিপূর্ণ শুন্যতে সব ঢাল কোফিসিয়েন্টস স্থাপনের সীমাবদ্ধতা। $R$ $r$ $R:k\times q$ $q$ $q$ $k$ $p-1$ $q=k-1$

পরিপ্রেক্ষিতে $Var\bigl(\hat{\beta}_{\text{ols}}\bigr)=\sigma^2(X'X)^{-1}$ , আমরা

\begin{array}{rcl} {আর}^{'} ({\hat{β}}_{OLS} - β) ~ এন (0, σ^{2} {আর}^{'} ({এক্স}^{'} এক্স)^{- 1} আর), \end{array}

$\begin{eqnarray*} R^\prime(\hat{\beta}_{\text{ols}}-\beta)\sim N\left(0,\sigma^{2}R^\prime(X^\prime X)^{-1} R\right), \end{eqnarray*}$ যাতে (সঙ্গে

B^{- 1 / 2} = {R^{'} (X^{'} X)^{- 1} R}^{- 1 / 2}

$B^{-1/2}=\{R^\prime(X^\prime X)^{-1} R\}^{-1/2}$ একটি "ম্যাট্রিক্স বর্গমূল" হচ্ছে

B^{- 1} = {R^{'} (X^{'} X)^{- 1} R}^{- 1}

$B^{-1}=\{R^\prime(X^\prime X)^{-1} R\}^{-1}$ মাধ্যমে, যেমন, একটি Cholesky পচানি)

\begin{array}{rcl} এন : = \frac{{বি}^{- 1 / 2}}{σ} {আর}^{'} ({\hat{β}}_{OLS} - β) ~ এন (0, {আমি}_{কুই}), \end{array}

$\begin{eqnarray*} n:=\frac{B^{-1/2}}{\sigma}R^\prime(\hat{\beta}_{\text{ols}}-\beta)\sim N(0,I_{q}), \end{eqnarray*}$ যেমন

\begin{array}{rcl} ভী একটি R (এন) & = & \frac{{বি}^{- 1 / 2}}{σ} {আর}^{'} ভী একটি R ({\hat{β}}_{OLS}) আর \frac{{বি}^{- 1 / 2}}{σ} \\ = & \frac{{বি}^{- 1 / 2}}{σ} σ^{2} বি \frac{{বি}^{- 1 / 2}}{σ} = আমি \end{array}

$\begin{eqnarray*} Var(n)&=&\frac{B^{-1/2}}{\sigma}R^\prime Var\bigl(\hat{\beta}_{\text{ols}}\bigr)R\frac{B^{-1/2}}{\sigma}\\ &=&\frac{B^{-1/2}}{\sigma}\sigma^2B\frac{B^{-1/2}}{\sigma}=I \end{eqnarray*}$ যেখানে দ্বিতীয় লাইন ওলএসইয়ের বৈকল্পিকতা ব্যবহার করে।

এই যেমন দেখানো উত্তর আপনি এর প্রতি সংযোগ আছে (এছাড়াও দেখুন এখানে ), স্বাধীন

ঘ : = (এন - ট) \frac{{\hat{σ}}^{2}}{σ^{2}} ~ χ_{এন - ট}^{2},

$d:=(n-k)\frac{\hat{\sigma}^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}_{n-k},$ যেখানে

চলিত পক্ষপাতিত্বহীন ত্রুটি ভ্যারিয়েন্স অনুমান, সাথে আছেন

হয়

চাপ দেওয়া থেকে "অবশিষ্টাংশ প্রস্তুতকারক ম্যাট্রিক্স"।

{\hat{σ}}^{2} = y^{'} M_{X} y / (n - k)

$\hat{\sigma}^{2}=y'M_Xy/(n-k)$

M_{X} = I - X (X^{'} X)^{- 1} X^{'}

$M_{X}=I-X(X'X)^{-1}X'$

X

$X$

সুতরাং, যেমন $n'n$ স্বাভাবিক হিসাবে একটি চতুর্ভুজ রূপ,

\begin{array}{rcl} \frac{\overset{~ χ_{কুই}^{2}}{\overset{⏞}{{এন}^{'} এন}} / কুই}{ঘ / (এন - ট)} = \frac{({\hat{β}}_{OLS} - β)^{'} আর {{আর}^{'} ({এক্স}^{'} এক্স)^{- 1} আর}^{- 1} {আর}^{'} ({\hat{β}}_{OLS} - β) / কুই}{{\hat{σ}}^{2}} ~ {এফ}_{কুই, এন - ট} । \end{array}

$\begin{eqnarray*} \frac{\overbrace{n^\prime n}^{\sim\chi^{2}_{q}}/q}{d/(n-k)}=\frac{(\hat{\beta}_{\text{ols}}-\beta)^\prime R\left\{R^\prime(X^\prime X)^{-1}R\right\}^{-1}R^\prime(\hat{\beta}_{\text{ols}}-\beta)/q}{\hat{\sigma}^{2}}\sim F_{q,n-k}. \end{eqnarray*}$ বিশেষ করে, অধীন

H_{0} : R^{'} β = r

$H_{0}:R^\prime\beta=r$ , এই পরিসংখ্যাত করার হ্রাস

\begin{array}{rcl} এফ = \frac{({আর}^{'} {\hat{β}}_{OLS} - R)^{'} {{আর}^{'} ({এক্স}^{'} এক্স)^{- 1} আর}^{- 1} ({আর}^{'} {\hat{β}}_{OLS} - R) / কুই}{{\hat{σ}}^{2}} ~ {এফ}_{কুই, এন - ট} । \end{array}

$\begin{eqnarray} F=\frac{(R^\prime\hat{\beta}_{\text{ols}}-r)^\prime\left\{R^\prime(X^\prime X)^{-1}R\right\}^{-1}(R^\prime\hat{\beta}_{\text{ols}}-r)/q}{\hat{\sigma}^{2}}\sim F_{q,n-k}. \end{eqnarray}$

চিত্রণ জন্য, বিশেষ ক্ষেত্রে বিবেচনা $R^\prime=I$ , $r=0$ , $q=2$ , এবং । তারপর, $\hat{\sigma}^{2}=1$ $X^\prime X=I$

\begin{array}{rcl} F = {\hat{β}}_{ols}^{'} {\hat{β}}_{ols} / 2 = \frac{{\hat{β}}_{ols, 1}^{2} + {\hat{β}}_{ols, 2}^{2}}{2}, \end{array}

$\begin{eqnarray} F=\hat{\beta}_{\text{ols}}^\prime\hat{\beta}_{\text{ols}}/2=\frac{\hat{\beta}_{\text{ols},1}^2+\hat{\beta}_{\text{ols},2}^2}{2}, \end{eqnarray}$ OLS ঔজ্জ্বল্যের প্রেক্ষাপটে এর স্কোয়ারড ইউক্লিডিয় দূরত্ব উৎপত্তি উপাদানের সংখ্যা দ্বারা প্রমিত থেকে অনুমান - যে হাইলাইট, যেহেতু

মান লম্ব ছক করা হয় এবং অত: পর

বন্টন "গড়পড়তা একটি হিসেবে দেখা যেতে পারে

বন্টন।

{\hat{β}}_{ols, 2}^{2}

$\hat{\beta}_{\text{ols},2}^2$

χ_{1}^{2}

$\chi^2_1$

F

$F$

χ^{2}

$\chi^2$

আপনি যদি একটি সামান্য সিমুলেশন পছন্দ করেন (যা অবশ্যই প্রমাণ হিসাবে নয়!), নাল পরীক্ষা করা হয় যে $k$ রেজিস্ট্রারগুলির কোনওটাই বিবেচনা করে না - যা তারা প্রকৃতপক্ষে না, যাতে আমরা নাল বন্টন অনুকরণ করি।

আমরা তাত্ত্বিক ঘনত্ব এবং মন্টে কার্লো পরীক্ষার পরিসংখ্যানের হিস্টোগ্রামের মধ্যে খুব ভাল চুক্তি দেখতে পাই।

library(lmtest)
n <- 100
reps <- 20000
sloperegs <- 5 # number of slope regressors, q or k-1 (minus the constant) in the above notation
critical.value <- qf(p = .95, df1 = sloperegs, df2 = n-sloperegs-1) 
# for the null that none of the slope regrssors matter

Fstat <- rep(NA,reps)
for (i in 1:reps){
  y <- rnorm(n)
  X <- matrix(rnorm(n*sloperegs), ncol=sloperegs)
  reg <- lm(y~X)
  Fstat[i] <- waldtest(reg, test="F")$F[2] 
}

mean(Fstat>critical.value) # very close to 0.05

hist(Fstat, breaks = 60, col="lightblue", freq = F, xlim=c(0,4))
x <- seq(0,6,by=.1)
lines(x, df(x, df1 = sloperegs, df2 = n-sloperegs-1), lwd=2, col="purple")

প্রশ্ন এবং উত্তরের পরীক্ষার পরিসংখ্যানগুলির সংস্করণগুলি প্রকৃতপক্ষে সমতুল্য তা দেখতে নোটটি বিধিনিষেধের সাথে মিলে যায় তা লক্ষ করুন $R'=[0\;\;I]$ এবং $r=0$ ।

যাক $X=[X_1\;\;X_2]$ ভাগ করা হবে যার অনুসারে গুণফলগুলি শূন্যের নীচে শূন্যের মধ্যে সীমাবদ্ধ রয়েছে (আপনার ক্ষেত্রে, ধ্রুবক ব্যতীত সমস্ত কিছুই রয়েছে, তবে অনুসরণযোগ্য ব্যয়টি সাধারণ। এছাড়াও, দিন $\hat{\beta}_{\text{ols}}=(\hat{\beta}_{\text{ols},1}^\prime,\hat{\beta}_{\text{ols},2}')'$ হতে উপযুক্ত বিভক্ত OLS ঔজ্জ্বল্যের প্রেক্ষাপটে অনুমান।

R^{'} {\hat{β}}_{ols} = {\hat{β}}_{ols, 2}

$R'\hat{\beta}_{\text{ols}}=\hat{\beta}_{\text{ols},2}$

এবং

R^{'} (X^{'} X)^{- 1} R \equiv \tilde{D},

$R^\prime(X^\prime X)^{-1}R\equiv\tilde D,$ নীচে ডান দিকে ব্লক

\begin{aligned} ({এক্স}^{টি} এক্স)^{- 1} & = {(\begin{array}{cc} {এক্স}_{1}^{'} {এক্স}_{1} & {এক্স}_{1}^{'} {এক্স}_{2} \\ {এক্স}_{2}^{'} {এক্স}_{1} & {এক্স}_{2}^{'} {এক্স}_{2} \end{array})}^{- 1} \\ \equiv (\begin{array}{cc} \tilde{একজন} & \tilde{বি} \\ \tilde{সি} & \tilde{ডি} \end{array}) \end{aligned}

$\begin{align*} (X^TX)^{-1}&=\left( \begin{array} {c,c} X_1'X_1&X_1'X_2 \\ X_2'X_1&X_2'X_2\end{array} \right)^{-1}\\&\equiv\left( \begin{array} {c,c} \tilde A&\tilde B \\ \tilde C&\tilde D\end{array} \right) \end{align*}$ এখন,

প্রাপ্ত বিভাজনযুক্ত বিপরীতগুলির ফলাফলগুলি ব্যবহার করুন

\tilde{ডি} = ({এক্স}_{2}^{'} {এক্স}_{2} - {এক্স}_{2}^{'} {এক্স}_{1} ({এক্স}_{1}^{'} {এক্স}_{1})^{- 1} {এক্স}_{1}^{'} {এক্স}_{2})^{- 1} = ({এক্স}_{2}^{'} {এম}_{{এক্স}_{1}} {এক্স}_{2})^{- 1}

$\tilde D=(X_2'X_2-X_2'X_1(X_1'X_1)^{-1}X_1'X_2)^{-1}=(X_2'M_{X_1}X_2)^{-1}$ যেখানে

M_{X_{1}} = I - X_{1} (X_{1}^{'} X_{1})^{- 1} X_{1}^{'}

$M_{X_1}=I-X_1(X_1'X_1)^{-1}X_1'$ ।

$F$ $q$

{এফ}_{এন তোমার দর্শন লগ করা মি} = {\hat{β}}_{OLS, 2}^{'} ({এক্স}_{2}^{'} {এম}_{{এক্স}_{1}} {এক্স}_{2}) {\hat{β}}_{OLS, 2}

$F_{num}=\hat{\beta}_{\text{ols},2}'(X_2'M_{X_1}X_2)\hat{\beta}_{\text{ols},2}$

{\hat{β}}_{OLS, 2} = ({এক্স}_{2}^{'} {এম}_{{এক্স}_{1}} {এক্স}_{2})^{- 1} {এক্স}_{2}^{'} {এম}_{{এক্স}_{1}} Y

$\hat{\beta}_{\text{ols},2}=(X_2'M_{X_1}X_2)^{-1}X_2'M_{X_1}y$

\begin{aligned} {এফ}_{এন তোমার দর্শন লগ করা মি} & = Y^{'} {এম}_{{এক্স}_{1}} {এক্স}_{2} ({এক্স}_{2}^{'} {এম}_{{এক্স}_{1}} {এক্স}_{2})^{- 1} ({এক্স}_{2}^{'} {এম}_{{এক্স}_{1}} {এক্স}_{2}) ({এক্স}_{2}^{'} {এম}_{{এক্স}_{1}} {এক্স}_{2})^{- 1} {এক্স}_{2}^{'} {এম}_{{এক্স}_{1}} Y \\ = Y^{'} {এম}_{{এক্স}_{1}} {এক্স}_{2} ({এক্স}_{2}^{'} {এম}_{{এক্স}_{1}} {এক্স}_{2})^{- 1} {এক্স}_{2}^{'} {এম}_{{এক্স}_{1}} Y \end{aligned}

$\begin{align*} F_{num}&=y'M_{X_1}X_2(X_2'M_{X_1}X_2)^{-1}(X_2'M_{X_1}X_2)(X_2'M_{X_1}X_2)^{-1}X_2'M_{X_1}y\\ &=y'M_{X_1}X_2(X_2'M_{X_1}X_2)^{-1}X_2'M_{X_1}y \end{align*}$

$\text{USSR}-\text{RSSR}$

RSSR = Y^{'} {এম}_{{এক্স}_{1}} Y

$\text{RSSR}=y'M_{X_1}y$

y

$y$

X_{1}

$X_1$

H_{0}

$H_0$

T S S = \sum_{i} (y_{i} - \bar{y})^{2}

$TSS=\sum_i(y_i-\bar y)^2$

$\text{USSR}$

{এম}_{{এক্স}_{1}} Y চালু {এম}_{{এক্স}_{1}} {এক্স}_{2}

$M_{X_1}y\quad\text{on}\quad M_{X_1}X_2$

\begin{array}{rcl} ইউএসএসআর & = & Y^{'} {এম}_{{এক্স}_{1}}^{'} {এম}_{{এম}_{{এক্স}_{1}} {এক্স}_{2}} {এম}_{{এক্স}_{1}} Y \\ = & Y^{'} {এম}_{{এক্স}_{1}}^{'} (আমি - {পি}_{{এম}_{{এক্স}_{1}} {এক্স}_{2}}) {এম}_{{এক্স}_{1}} Y \\ = & Y^{'} {এম}_{{এক্স}_{1}} Y - Y^{'} {এম}_{{এক্স}_{1}} {এম}_{{এক্স}_{1}} {এক্স}_{2} (({এম}_{{এক্স}_{1}} {এক্স}_{2})^{'} {এম}_{{এক্স}_{1}} {এক্স}_{2})^{- 1} ({এম}_{{এক্স}_{1}} {এক্স}_{2})^{'} {এম}_{{এক্স}_{1}} Y \\ = & Y^{'} {এম}_{{এক্স}_{1}} Y - Y^{'} {এম}_{{এক্স}_{1}} {এক্স}_{2} ({এক্স}_{2}^{'} {এম}_{{এক্স}_{1}} {এক্স}_{2})^{- 1} {এক্স}_{2}^{'} {এম}_{{এক্স}_{1}} Y \end{array}

$\begin{eqnarray*} \text{USSR}&=&y'M_{X_1}'M_{M_{X_1}X_2}M_{X_1}y\\ &=&y'M_{X_1}'(I-P_{M_{X_1}X_2})M_{X_1}y\\ &=&y'M_{X_1}y-y'M_{X_1}M_{X_1}X_2((M_{X_1}X_2)'M_{X_1}X_2)^{-1}(M_{X_1}X_2)'M_{X_1}y\\ &=&y'M_{X_1}y-y'M_{X_1}X_2(X_2'M_{X_1}X_2)^{-1}X_2'M_{X_1}y \end{eqnarray*}$

সুতরাং,

\begin{array}{rcl} RSSR - ইউএসএসআর & = & Y^{'} {এম}_{{এক্স}_{1}} Y - (Y^{'} {এম}_{{এক্স}_{1}} Y - Y^{'} {এম}_{{এক্স}_{1}} {এক্স}_{2} ({এক্স}_{2}^{'} {এম}_{{এক্স}_{1}} {এক্স}_{2})^{- 1} {এক্স}_{2}^{'} {এম}_{{এক্স}_{1}} Y) \\ = & Y^{'} {এম}_{{এক্স}_{1}} {এক্স}_{2} ({এক্স}_{2}^{'} {এম}_{{এক্স}_{1}} {এক্স}_{2})^{- 1} {এক্স}_{2}^{'} {এম}_{{এক্স}_{1}} Y \end{array}

$\begin{eqnarray*} \text{RSSR}-\text{USSR}&=&y'M_{X_1}y-(y'M_{X_1}y-y'M_{X_1}X_2(X_2'M_{X_1}X_2)^{-1}X_2'M_{X_1}y)\\ &=&y'M_{X_1}X_2(X_2'M_{X_1}X_2)^{-1}X_2'M_{X_1}y \end{eqnarray*}$

— ক্রিস্টোফ হ্যাঙ্ক
সূত্র

ধন্যবাদ। আমি জানি না যে এটি এই মুহুর্তে হাত ধরে বিবেচিত হয়েছে তবে আপনি কীভাবে আপনার স্কোয়ার বিটার সমষ্টি থেকে স্কোয়ারের সমষ্টিযুক্ত একটি অভিব্যক্তিতে যাবেন?

— ব্যবহারকারী1627466

@ ব্যবহারকারী ১62২66746666, আমি দুটি সূত্রের সমতুল্যের একটি ব্যয় যুক্ত করেছি।

— ক্রিস্টোফ হ্যাঙ্ক

@ ক্রিসটফহ্যাঙ্ক একটি খুব বিস্তৃত উত্তর দিয়েছেন, এখানে আমি উল্লিখিত বিশেষ মামলায় প্রমাণের স্কেচ যুক্ত করব। আশা করি নতুনদের জন্য এটি অনুসরণ করা আরও সহজ।

$Y\sim F_{d_1,d_2}$

ওয়াই = \frac{{এক্স}_{1} / ঘ_{1}}{{এক্স}_{2} / ঘ_{2}},

$Y=\frac{X_1/d_1}{X_2/d_2},$

X_{1} \sim χ_{d_{1}}^{2}

$X_1\sim\chi^2_{d_1}$

X_{2} \sim χ_{d_{2}}^{2}

$X_2\sim\chi^2_{d_2}$

F

$F$

F

$F$

c ESS \sim χ_{p - 1}^{2}

$c\text{ESS}\sim\chi^2_{p-1}$

c RSS \sim χ_{n - p}^{2}

$c\text{RSS}\sim\chi^2_{n-p}$

c

$c$

Y = এক্স β + + ε,

$y=X\beta+\varepsilon,$

X

$X$

n \times p

$n\times p$

ε \sim N_{n} (0, σ^{2} I)

$\varepsilon\sim N_n(\mathbf{0}, \sigma^2I)$

H = X (X^{T} X)^{- 1} X^{T}

$H=X(X^TX)^{-1}X^{T}$

\hat{y} = H y

$\hat{y}=Hy$

M = I - H

$M=I-H$

H

$H$

M

$M$

tr (H) = p

$\operatorname{tr}(H)=p$

H X = X

$HX=X$

$J$

TSS = Y^{টি} (আমি - \frac{1}{এন} জে) Y, আরএসএস = Y^{টি} এম Y, কানা অনুলিপি করুন = Y^{টি} (এইচ - \frac{1}{এন} জে) Y ।

$\text{TSS}=y^T\left(I-\frac{1}{n}J\right)y,\quad\text{RSS}=y^TMy,\quad\text{ESS}=y^T\left(H-\frac{1}{n}J\right)y.$

M + (H - J / n) + J / n = I

$M+(H-J/n)+J/n=I$

J / n

$J/n$

rank (M) + rank (H - J / n) + rank (J / n) = n

$\operatorname{rank}(M)+\operatorname{rank}(H-J/n)+\operatorname{rank}(J/n)=n$

H - J / n

$H-J/n$

M (H - J / n) = 0

$M(H-J/n)=0$

$F$ $F$

$x\sim N_n(\mu,\Sigma)$ $A$ $r$ $A\Sigma$ $x^TAx\sim\chi^2_r(\mu^TA\mu/2)$ $\chi^2$ $r$ $\mu^TA\mu/2$ বালদেড়ির ফলাফলের ।
$x\sim N_n(\mu,\Sigma)$ $A\Sigma B=0$ $x^TAx$ $x^TBx$

$y\sim N_n(X\beta,\sigma^2I)$

\frac{কানা অনুলিপি করুন}{σ^{2}} = {(\frac{Y}{σ})}^{টি} (এইচ - \frac{1}{এন} জে) \frac{Y}{σ} ~ χ_{পি - 1}^{2} ((এক্স β)^{টি} (এইচ - \frac{জে}{এন}) এক্স β) ।

$\frac{\text{ESS}}{\sigma^2}=\left(\frac{y}{\sigma}\right)^T\left(H-\frac{1}{n}J\right)\frac{y}{\sigma}\sim\chi^2_{p-1}\left((X\beta)^T\left(H-\frac{J}{n}\right)X\beta\right).$

β = 0

$\beta=\mathbf{0}$

ESS / σ^{2} \sim χ_{p - 1}^{2}

$\text{ESS}/\sigma^2\sim\chi^2_{p-1}$

y^{T} M y = ε^{T} M ε

$y^TMy=\varepsilon^TM\varepsilon$

H X = X

$HX=X$

RSS / σ^{2} \sim χ_{n - p}^{2}

$\text{RSS}/\sigma^2\sim\chi^2_{n-p}$

M (H - J / n) = 0

$M(H-J/n)=0$

ESS / σ^{2}

$\text{ESS}/\sigma^2$

RSS / σ^{2}

$\text{RSS}/\sigma^2$

এফ = \frac{(TSS - আরএসএস) / (পি - 1)}{আরএসএস / (এন - পি)} = \frac{\frac{কানা অনুলিপি করুন}{σ^{2}} / (পি - 1)}{\frac{আরএসএস}{σ^{2}} / (এন - পি)} ~ {এফ}_{পি - 1, এন - পি} ।

$F = \frac{(\text{TSS}-\text{RSS})/(p-1)}{\text{RSS}/(n-p)}=\frac{\dfrac{\text{ESS}}{\sigma^2}/(p-1)}{\dfrac{\text{RSS}}{\sigma^2}/(n-p)}\sim F_{p-1,n-p}.$

— ফ্রান্সিস
সূত্র