কেন প্রত্যাশিত মানটির নামকরণ করা হয়েছে?

Question

আমি বুঝতে পারি যে আমরা ন্যায্য 6-পার্শ্বযুক্ত ডাই রোল করার জন্য প্রত্যাশিত মান হিসাবে কীভাবে 3.5 পাই। তবে স্বজ্ঞাতভাবে, আমি প্রতিটি মুখের সমান সম্ভাবনা 1/6 এর সাথে আশা করতে পারি।

সুতরাং ডাই রোলিংয়ের প্রত্যাশিত মানটি 1-6 এর মধ্যে সমান সম্ভাবনার সাথে হওয়া উচিত না?

অন্য কথায়, 'ন্যায্য 6-পক্ষীয় মরন ছুড়ে ফেলার প্রত্যাশিত মূল্যটি কী?' এই প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করা হলে, 'ওহ, সমান সুযোগের সাথে এটি 1-6 এর মধ্যে কিছু হতে পারে' এর উত্তর দেওয়া উচিত। পরিবর্তে এটি 3.5।
আসল বিশ্বে স্বজ্ঞাতভাবে, কেউ কী ব্যাখ্যা করতে পারে যে একটি ডাই নিক্ষেপ করার ক্ষেত্রে আমার কী কী 3.5 মূল্য আশা করা উচিত?
আবার আমি প্রত্যাশার সূত্র বা ডেরাইভেশন চাই না।

Comments

en.wikedia.org/wiki/E

— অ্যালেক্স

আপনি এটি গড়ের মতো ভাবতে পারেন।

— স্মলচেস

@ টিম ঠিক আছে, তবে কেন আমরা প্রত্যাশিত মানটিকে প্রত্যাশিত মান বলে থাকি তা এখনও বুঝতে পারি না। আমি যদি এখানে কিছু অন্তর্দৃষ্টি অনুপস্থিত তবে আমি কৌতূহলী। এমনকি আমরা কীভাবে / কেন প্রত্যাশার দিকে তাকাতে শুরু করেছি তার একটি

— গল্পও

ডাই রোলিংয়ের প্রত্যাশিত মানটি আপনি যে নম্বরটি প্রত্যাশা করছেন তা নয়; এটি আপনি যে পরিমাণ অর্থ প্রত্যাশা করবেন তা যদি আপনি জানেন যে আপনি যে নম্বরটি আসবে তার অর্থ প্রদান করা হবে। যদি আপনি $ 3.50 এরও কম দাম নিয়ে বাড়িতে যাওয়ার আশা করেন তবে আপনি খুব হতাশাবোধ করছেন; যদি আপনি $ 3.50 এর বেশি দিয়ে বাড়িতে যেতে চান তবে আপনি খুব বেশি আশা করছেন। যদিও আপনি জানেন আপনি ঠিক আপ শেষ হতে পারে না $ 3.50, আপনি দিতে হবে না $ রোল করার একটি সুযোগ জন্য 3.51।

— ফ্লাউন্ডারার

@ ফ্লাউন্ডারার এই যুক্তি অনুসারে, কেউ লটারির টিকিটের জন্য অর্থ প্রদান করবে না ... তবে তারা বেশ ভাল বিক্রি বলে মনে হচ্ছে

— Glen_b -Rininstate Monica

Answer 1

কল্পনা করুন যে আপনি 1654 সালে প্যারিসে রয়েছেন এবং আপনি এবং আপনার বন্ধু একটি ছয়তরফা পাশার ক্রমিক রোলিংয়ের উপর ভিত্তি করে জুয়া খেলাটি পর্যবেক্ষণ করছেন। এখন, জুয়া খেলাটি অত্যন্ত অবৈধ এবং লিঙ্গ দ্বারা বাসগুলি বেশ ঘন ঘন এবং লিভারের স্ট্যাকের সাথে একটি টেবিলে ধরা পড়ার জন্য প্রায় অবশ্যই চ্যাটো ডি'আইফের দীর্ঘতর গ্যারান্টি দেওয়া যায়।

এটি পেতে আপনার এবং আপনার বন্ধুটির সাথে শেষ ডাই রোলের আগে আপনার দুজনের মধ্যে তৈরি একটি বাজি নিয়ে ভদ্রলোকের চুক্তি রয়েছে। তিনি পরের পাঁচটি রাইসে দু'টি ছক্কর পর্যবেক্ষণ করলে আপনাকে পাঁচটি লিভার প্রদান করতে সম্মত হন এবং আপনি যদি দুটি সংযোজন না করেন তবে আপনি তাকে একই পরিমাণ দিতে সম্মত হন, যদি এই সমন্বয়গুলি সামনে না আসে তবে অন্য কোনও পদক্ষেপ ছাড়াই।

এখন, শেষ ডাই রোলটি একটি ছয়, সুতরাং আপনি নিজের আসনের কিনারায় অলঙ্কারিতভাবে। এই মুহুর্তে, ভারী সশস্ত্র প্রহরীরা গোলাগুলিতে ফেটে পড়ে এবং টেবিলে সবাইকে গ্রেপ্তার করে, এবং জনতা ছড়িয়ে পড়ে।

আপনার বন্ধু বিশ্বাস করে যে আপনার দুজনের মধ্যে করা বাজিটি এখন অবৈধ। তবে, আপনি বিশ্বাস করেন যে একটি ছয়টি ইতিমধ্যে রোলড হয়ে গেছে বলে তাকে আপনার কিছু পরিমাণ অর্থ প্রদান করা উচিত। আপনার দুজনের মধ্যে এই বিরোধ নিষ্পত্তি করার উপযুক্ত উপায় কী?

(এটি এখানে উপস্থাপিত হিসাবে প্রত্যাশিত মূল্যের উত্স সম্পর্কে আমার ব্যাখ্যা এবং এখানে আরও বিস্তারিতভাবে আলোচনা করা হয়েছে )

আসুন ন্যায্য মান এই প্রশ্নের উত্তর একটি অনমনীয় ভাবে। আপনার বন্ধু আপনাকে যে পরিমাণ অর্থ প্রদান করতে হবে তা নিম্নলিখিত পদ্ধতিতে গণনা করা যেতে পারে। চার পাশা সমস্ত সম্ভাব্য রোল বিবেচনা করুন। রোলগুলির কয়েকটি সেট (যার মধ্যে কমপক্ষে একটি ছয় থাকে) এর ফলে আপনার বন্ধু সম্মত পরিমাণ পরিশোধ করে out তবে, অন্যান্য সেটগুলিতে (যথা, যাদের মধ্যে একটিও ছয়টি নেই) আপনার ফলস্বরূপ কোনও অর্থ পাবে না। এই দুই ধরণের রোলগুলি হওয়ার সম্ভাবনাটিকে আপনি কীভাবে সামঞ্জস্য করবেন? সরল, সমস্ত সম্ভাব্য রোলগুলির মাধ্যমে আপনাকে যে পরিমাণ অর্থ প্রদান করা হত তার গড় নির্ধারণ করুন।

তবে, আপনার বন্ধু, (যথেষ্ট সম্ভাবনা নেই) এখনও তার বাজিটি জিততে পারে! চারটি পাশ্বয়ে দু'বার ঘুরানো হবে তার সংখ্যাটি আপনাকে বিবেচনা করতে হবে এবং চারটি পাশের সমস্ত সম্ভাব্য রোলগুলির সংখ্যার তুলনায় আপনি তাকে যে পরিমাণ অর্থ প্রদান করবেন তা বের করতে হবে। আপনার বন্ধুর জন্য বাজি দেওয়ার জন্য এটি ন্যায্য পরিমাণ। সুতরাং আপনি যে পরিমাণ পরিমাণটি পেয়ে যাবেন তা হ'ল আপনার বন্ধুর আপনাকে যে পরিমাণ অর্থ প্রদান করা উচিত তা বিয়োগফল যা আপনাকে আপনার বন্ধুকে প্রদান করা উচিত।

এ কারণেই আমরা এটিকে "প্রত্যাশিত মান" বলি। আপনি একসাথে একাধিক যুগপত মহাবিশ্বে ঘটে যাওয়া কোনও ঘটনাকে সিমুলেট করতে সক্ষম হলে আপনি যে গড় গড় পরিমাণ প্রত্যাশা করেছেন তা।

Comments

আমি কেবল আমার উত্তর জমা দিতে যাচ্ছিলাম, তবে আপনার ব্যাখ্যাটি আরও ভাল!

— ফ্লাউন্ডারিয়ার

Answer 2

দুর্দান্ত প্রশ্ন। এটি প্রথমে যতটুকু মনে হয় তার থেকে এটি আরও সূক্ষ্ম। এটি র্যান্ডম ইভেন্ট এবং এলোমেলো পরিবর্তনশীল (সংখ্যা, মান) এর সাথে করতে হবে। আপনার বিভ্রান্তি এই দুটি সম্পর্কিত কিন্তু স্বতন্ত্র ধারণার সাথে একত্রে মিশে গেছে।

আসুন একটি ইভেন্ট দিয়ে শুরু করা যাক। আপনি আপনার প্রশ্নটি যেভাবে তৈরি করেছেন, সেখান থেকে এটি প্রদর্শিত হয় যে আপনি কোনও ইভেন্টের পাশার ফলাফল বিবেচনা করছেন। এটি এলোমেলো, সুতরাং আপনি যেমন লিখেছিলেন সমান সুযোগের সাথে এর ছয়টি দিকের একটি পেতে পারেন। এটি একটি নিখুঁত ধারণা তৈরি করে।

এই পরীক্ষার প্রত্যাশিত মান কী? প্রত্যাশাগুলি ইভেন্টের পরিবর্তে র্যান্ডম ভেরিয়েবল (মান) এর জন্য সংজ্ঞায়িত হয়। আপনার জন্য পাশ্বের 1 থেকে 6 নম্বরগুলি এর দিকগুলি পার্থক্য করার সহজ উপায় (আপনার প্রশ্নের গঠনের প্রসঙ্গে)। পরিবর্তে আপনি চিঠিগুলি ব্যবহার করেছেন তা কল্পনা করুন: এ, বি, সি, ডি, ই এবং এফ। অক্ষরগুলি দিয়ে সংখ্যাগুলি প্রতিস্থাপন করুন এবং আপনার প্রশ্নটি নীচে পুনরাবৃত্তি করুন:

অন্য কথায়, 'ন্যায্য--পক্ষীয় মারা মারা যাওয়ার প্রত্যাশিত মূল্যটি কী?' এমন প্রশ্ন করা হলে, 'উহু, সমান সুযোগের সাথে এটি এ এবং এফের মধ্যে যে কোনও কিছু হতে পারে' এর উত্তর দেওয়া উচিত '

এখন প্রত্যাশিত মানটি নিয়ে আসার চেষ্টা করুন। এটি সংজ্ঞায়িত করা হয়নি!

আপনি যখন 1 থেকে 6 এর মতো এলোমেলো মানগুলি সংজ্ঞায়িত করেন তখন প্রত্যাশাগুলি দেখা যায় আপনি উদাহরণস্বরূপ ইভেন্টের জায়গাতে মানচিত্রটি মানচিত্র করেন, উদাহরণস্বরূপ, আপনি যে পাশটি A 1, পার্শ্ব বিটি 2 ইত্যাদি ব্যাখ্যা করেন এখন আপনার 6 টি সংখ্যা রয়েছে এবং প্রত্যাশা গণনা করুন, যা 3.5 হয়।

Comments

আপনাকে ধন্যবাদ আকাকাল। আপনার উত্তর এক সাথে অ্যালেক্সের সাথে আমার এখন সঠিক ধারণা দেয়! ইতিমধ্যে আপনার প্রশ্নটি কীভাবে বৈধ এবং আমি কী অনুমান (ভুল ধারণা) তৈরি করছিলাম তা আপনার ইঙ্গিত করে এবং আপনার শেষ প্যারায় আপনি কীভাবে সংক্ষিপ্তভাবে লিখেছিলেন সে সম্পর্কে অ্যালেক্সের আরও বিশদযুক্ত তথ্য সরবরাহ করে।

— নিতিশ ইনপারসুট অফফ্যাপিনেস

Answer 3

"প্রতিটি মান সমানভাবে সম্ভাব্য", বা "কিছু মান খুব সম্ভবত" হ'ল মোডের সংজ্ঞা, প্রত্যাশিত মান নয়।

কল্পনা করুন যে আমরা একটি কয়েন-টসিং গেম খেলছি। প্রতিবার আমি মাথা শিরসঁচালন, আমি আপনাকে 1 দিতে $ , প্রতিটি সময় আমি মুদ্রার উলটা পিঠ শিরসঁচালন, তুমি আমাকে 1 দিতে $ । আপনি দীর্ঘমেয়াদে কত টাকা জয়ের আশা করবেন বা শিথিল করবেন ? পরিমাণ সমান, তাদের নিক্ষেপের সম্ভাবনা সমান, প্রত্যাশিত মান শূন্য।

Answer 4

প্রত্যাশিত মান তথাকথিত কারণ যদি আপনি সেই সমস্ত পাশা রোলস গড় আপনি হয় আশা এই পেতে প্রত্যাশিত মান মধ্যে দীর্ঘ রান । প্রত্যাশিত মানটি কোনও একক ডাইস রোলের সাথে সম্পর্কিত নয়।

Answer 5

একটি historicalতিহাসিক দৃষ্টিকোণ থেকে ধারণাটি বিভিন্ন দেশে উপস্থিত হয়েছিল বলে মনে হয়েছিল, তাই আমি এই শব্দটির ব্যবহারকে বিভিন্ন ভাষায় অনুরূপ ধারণার মধ্যে সুবিধাজনক রূপান্তর হিসাবে বিবেচনা করব ।

আমার প্রারম্ভিক বিন্দুটি সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যানের প্রতীকগুলির দুর্দান্ত প্রাথমিক ব্যবহারগুলি ছিল :

প্রত্যাশা। ডাব্লুএ হুইটওয়ার্থের সুপরিচিত পাঠ্যপুস্তক চয়েস এবং চান্স (পঞ্চম সংস্করণ) ১৯০১-এর প্রত্যাশার জন্য একটি বৃহত লিপি ই ব্যবহৃত হয়েছিল তবে প্রতীক বা প্রত্যাশার ক্যালকুলাসের পরেও ইংরেজ সাহিত্যে প্রতিষ্ঠিত হয় নি অনেক দিন পর্যন্ত। উদাহরণস্বরূপ, রিতেজ গাণিতিক পরিসংখ্যান (1927) ই প্রতীকটি ব্যবহার করেছে এবং মন্তব্য করেছে যে "ভেরিয়েবলের প্রত্যাশিত মান এমন একটি ধারণা যা বিভিন্ন মহাদেশীয় ইউরোপীয় লেখকরা অনেক বেশি ব্যবহার করেছেন ..." মহাদেশীয় ইউরোপীয় লেখকদের জন্য ই ইঙ্গিত করেছেন "এরওয়ার্টং" বা " গুপ্তচরবৃন্দ (সম্পাদকের দ্রষ্টব্য: গণিত) "

এই শব্দটি কখনও কখনও "হুইগেনস" এর জন্য দায়ী করা হয়, যা সম্ভবত হিউজেনস ফাউন্ডেশন অফ সম্ভাবনার মধ্যে আলোচিত হয় :

সাধারণত এটি প্রত্যাশার ভিত্তিতে হিউজেনস সম্ভাব্যতার ভিত্তিতে স্বীকৃত হয়। "প্রত্যাশা" শব্দটি হ'ল হাইজেনস গ্রন্থটির ভ্যাট-শুটেনের লাতিন অনুবাদ থেকে এসেছে। হিউজেনসের ডাচ পাঠ্যের আক্ষরিক অনুবাদে হিউজেনস আসলে কী বোঝাতে চেয়েছিলেন এবং কীভাবে তিনি এগিয়ে গিয়েছিলেন তা আরও স্পষ্টভাবে দেখায়।

ফারম্যাট, পাস্কেল সম্পর্কিত শ্রদ্ধার সাথে অতিরিক্ত বিবরণ প্রত্যাশা এবং প্রারম্ভিক সম্ভাব্যদের মধ্যে পাওয়া যাবে ।

Answer 6

মজার বিষয় হল, প্রত্যাশিত মানের চেয়ে সাধারণ ধারণাটি হ'ল অবস্থান । সুতরাং, প্রত্যাশিত মানের ধারণার মধ্যে সূক্ষ্ম প্রভাব রয়েছে যা কিছুটা বিভ্রান্তিকর।

$\leq 3$$\$1$$\geq 4$ এই মহাবিশ্বের আসলে ফলাফল হওয়ার সুবিধা নিয়ে of 1 হারায়, গড় হিসাবে কাজ করে।

শব্দ "প্রত্যাশিত মান" এবং "গড় মান" শব্দটির মধ্যে আন্তঃসীমাবদ্ধভাবে সীমাবদ্ধতার কারণটি শব্দার্থগতভাবে সঠিক বা এমনকি বিশেষভাবে তাত্পর্যপূর্ণ না হয়ে historicalতিহাসিক বলে মনে হয়। এটি, যে প্রসঙ্গে গণনা করা প্রত্যাশিত মানটি কোনও ডেটা সেটে বৈশিষ্ট্যযুক্ত আচরণের অবস্থানের প্রত্যাশার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ তা কেবলমাত্র ডেটা নির্দিষ্ট নির্দিষ্ট বিতরণে সীমাবদ্ধ, অন্যকে নয়।

$f$ 1883 সালে চেবিশেভের ক্ষেত্রে এটি প্রযোজ্য। এটি কেন্দ্রের সীমাবদ্ধ তত্ত্বের শক্তি that এটি একটি প্রতীক মানকে একটি গড় মানের সাথে যুক্ত করার জন্য প্যারেন্টিথিক্যাল এক্সপ্রেশন হয়ে ওঠে, যেখানে স্থানটির আরও সাধারণ পরিমাপের বিপরীতে।

তবে এমন ডেটা বিতরণ সম্পর্কে কী বলা যায় যেগুলির জন্য অন্যান্য ব্যবস্থাগুলি আরও স্থিতিশীল এবং / বা সেই ডেটার আরও প্রতিনিধি? উদাহরণস্বরূপ, ইউনিফর্ম বিতরণ থেকে মধ্য-পরিসীমা মান বা গড় চূড়ান্ত মান আরও নির্ভুল এবং স্থিতিশীল, অর্থাত্, সুনির্দিষ্ট এবং সেই বিতরণের গড় বা গড়ের চেয়ে দ্রুত রূপান্তরিত হয়। লগ-সাধারণ বিতরণগুলির জন্য, যেমন, আয়ের তথ্য (অনেকগুলি চিকিত্সার চিকিত্সা), ডেটা লগারিদমের গড়ের অ্যান্টি-লগ (একে একে জ্যামিতিক গড়)$\alpha \beta ^{\alpha } t^{-\alpha -1}$$\alpha \leq 1$$\alpha \leq 1$$\alpha \gt 1$