আমি কীভাবে একটি সাধারণ বিতরণ থেকে নমুনার স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতিটির মানক বিচ্যুতিটি খুঁজে পেতে পারি?

যদি আমি এর চেয়ে সুস্পষ্ট কিছু মিস করি তবে আমাকে ক্ষমা করুন।

আমি একটি পদার্থবিজ্ঞানী যা মূলত একটি (হিস্টোগ্রাম) বিতরণ যা একটি সাধারণ বন্টনের প্রায় কাছাকাছি একটি গড় মূল্যকে কেন্দ্র করে। আমার কাছে গুরুত্বপূর্ণ মূল্য হ'ল এই গাউসিয়ান র্যান্ডম ভেরিয়েবলের স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি। আমি কীভাবে নমুনার স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতিতে ত্রুটিটি খুঁজতে চেষ্টা করব? মূল হিস্টোগ্রামের প্রতিটি বিনের ত্রুটিটি নিয়ে আমার কিছু করার অনুভূতি রয়েছে।

— কষা
সূত্র

একটি ইঙ্গিত দেওয়া হয় stats.stackexchange.com/questions/26924 এ । সাধারণত, একটি নমুনা ত্রুটি ভ্যারিয়েন্স প্রথম পরিপ্রেক্ষিতে নির্ণিত করা যেতে পারে চার বিতরণের মুহূর্ত এবং সেইজন্য এর এসডি স্যাম্পলিং ত্রুটি অন্তত ঐ মুহূর্তের থেকে অনুমান করা যায়।

— whuber

উত্তর:

মনে হচ্ছে আপনি নমুনা স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতিটির মানক বিচ্যুতির গণনা চেয়েছেন। এটি হ'ল, আপনি for for যেখানে ${\rm SD}(s) = \sqrt{ {\rm var}(s) }$

s = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})},

$s = \sqrt{ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X}) },$

$X_1, ..., X_n \sim N(\mu, \sigma^2)$ এবং the নমুনা গড়। $\overline{X}$

প্রথমত, আমরা ভিন্নতার প্রাথমিক বৈশিষ্ট্যগুলি থেকে জানি

v a r (s) = E (s^{2}) - E (s)^{2}

${\rm var}(s) = E(s^2) - E(s)^2$

যেহেতু নমুনা বৈকল্পিকতা পক্ষপাতহীন, আমরা । ইন কেন নমুনা স্ট্যানডার্ড ডেভিয়েশন একটি পক্ষপাতদুষ্ট মূল্নির্ধারক হয় ? , গণনা করা হয়, যা থেকে আমরা অনুমান করতে পারি $E(s^2) = \sigma^2$ $\sigma$ $E(s)$

E (s)^{2} = \frac{2 σ^{2}}{n - 1} \cdot {(\frac{Γ (n / 2)}{Γ (\frac{n - 1}{2})})}^{2}

$E(s)^2 = \frac{2 \sigma^2 }{n-1} \cdot \left( \frac{ \Gamma(n/2) }{ \Gamma( \frac{n-1}{2} ) } \right)^2$

অতএব

S D (s) = \sqrt{E (s^{2}) - E (s)^{2}} = σ \sqrt{1 - \frac{2}{n - 1} \cdot {(\frac{Γ (n / 2)}{Γ (\frac{n - 1}{2})})}^{2}}

${\rm SD}(s) = \sqrt{ E(s^2) - E(s)^2 } = \sigma \sqrt{ 1 - \frac{2}{n-1} \cdot \left( \frac{ \Gamma(n/2) }{ \Gamma( \frac{n-1}{2} ) } \right)^2 }$

— ম্যাক্রো
সূত্র

ভাল যুক্তি. আমি এস ^ 2 এর বৈকল্পিকের একটি অনুমান পেয়েছি। স্কোয়ার রুটটি গ্রহণ করলে s ^ 2 এর স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতিটির একটি অনুমান দেওয়া যায়। তবে আপনি আসল প্রশ্নের উত্তর দিয়েছিলেন যা ছিল এর মানক বিচ্যুতি। আমি ধরে নেব যে ব্যবহারিক কারণে আপনিও সূত্রটি ব্যবহার করে কোনও অনুমানের জন্য প্রতিস্থাপন করতে পারেন।

— মাইকেল আর। চেরনিক

হ্যাঁ, এটা ঠিক, আপনি with সাথে প্রতিস্থাপন করতে পারেন এবং এই আনুমানিক পরিমাণে নমুনা আকারের জন্য এমনকি ভাল পারফর্ম করে - আমি দিয়ে কিছু পরীক্ষা করেছি ।

σ

$\sigma$

s

$s$

n = 20

$n=20$

— ম্যাক্রো

পরিমাণগুলি এর একটি চি-স্কোয়ার বিতরণ রয়েছে যখন ডিগ্রি স্বাধীনতা হয় যখন নমুনাগুলি স্বাধীন হয় এবং একই সাধারণ বিতরণ দিয়ে বিতরণ করা হয় এই পরিমাণটি আত্মবিশ্বাস পেতে ব্যবহার করা যেতে পারে স্বাভাবিকের বৈকল্পিক এবং এর মানক বিচ্যুতির জন্য অন্তরগুলি। আপনার যদি কাঁচা মান থাকে এবং কেবল বিনের কেন্দ্রীয় মান না হয় তবে আপনি গণনা করতে পারেন । $X=(n-1) s^2/\sigma^2$ $n-1$ $s^2$

এটি জানা যায় যে যদি চি-স্কোয়ার্ড বিতরণ থাকে তবে ডিগ্রি স্বাধীনতার সাথে এর প্রকরণটি । এই এবং আসলে জানা করে আমরা পাই একটি ভ্যারিয়েন্স রয়েছে সমান যদিও অজানা তা আপনি দ্বারা এটি আনুমানিক করতে পারেন এবং ভিন্নতা কী তা সম্পর্কে আপনার মোটামুটি ধারণা রয়েছে । $X$ $n-1$ $2(n-1)$ $\mathrm{Var}(cX) = c^2 \mathrm{Var}(X)$ $s^2$

\frac{2 (n - 1) σ^{4}}{(n - 1)^{2}} = \frac{2 σ^{4}}{n - 1} .

$\frac{2(n-1)\sigma^4}{(n-1)^2} =\frac{2\sigma^4}{n-1} \>.$

σ^{4}

$\sigma^4$

s^{4}

$s^4$

s^{2}

$s^2$

— মাইকেল আর চেরনিক
সূত্র

আমি এটি ভিক্ষাবৃত্তিতে পোস্ট করতে যাচ্ছিলাম, তবে আমি এখানে যা সমস্যা দেখছি তা হ'ল অজানা। এই সত্যটি দেওয়া, আমি জানি না যে এটি যদি আমরা নমুনার আকারও না জানি তবে এটি আনুমানিক বৈধ কিনা। আমি মনে করি যে একজন দেখিয়ে দিতে পারেন যে চতুর্থ মুহুর্তে বিদেশীদের সাথে গুরুতর সমস্যা হতে পারে।

σ^{2}

$\sigma^2$

s^{4} \approx σ^{4}

$s^4\approx \sigma^4$

— নস্টর

s^{4}

$s^4$ (প্রদত্ত provided বিদ্যমান) এর একটি ধারাবাহিক অনুমানকারী , ডান @ নেপ? আমি মনে করি এটি যখন সাধারণত "আনুমানিক" বা "রুক্ষ ধারণা" বলেছিল তখনই বোঝানো হয়।

σ^{4}

$\sigma^4$

σ^{4}

$\sigma^4$

— ম্যাক্রো

ঘুমের অভাব হতে পারে, তবে, এটি বিজ্ঞপ্তি যুক্তির মতো নয়?

— নস্টর

আমরা শুরু থেকেই ধরে নিয়েছিলাম যে ডেটা একটি সাধারণ বিতরণ থেকে এসেছে সুতরাং কোনও আউটরিয়র সমস্যা নেই। আমি ম্যাক্রোর পরামর্শ অনুসারে মোটামুটি বোঝাতে চাইছি। আমি সম্মত হয়েছি যে নমুনার আকারটি s 4 এর কাছাকাছি থেকে কতটা প্রভাবিত করে affects তবে বিদেশিদের নিয়ে উদ্বেগ নেপকে অফবেস করা। যদি আপনি এর জন্য আমাকে হ্রাস করেন তবে আমি মনে করি এটি অত্যন্ত অন্যায়। আমি যা উপস্থাপন করেছি তা হ'ল DI 2 এর জন্য স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি অনুমানের মানক উপায় যখন ডেটা সাধারণভাবে বিতরণ করা হয়।

— মাইকেল আর। চেরনিক

@ নেপ, মাইকেল একটি সাধারণভাবে বিতরণ করা নমুনা থেকে নমুনার স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতিটির বৈকল্পিকের একটি ধারাবাহিক অনুমানকারী দিয়েছেন - বড় নমুনাগুলির জন্য এটি ভাল করবে - এটি অনুকরণ করে খুঁজে বের করুন। আপনি কেন এটিকে বিজ্ঞপ্তিযুক্ত যুক্তি বলে মনে করছেন তা নিশ্চিত নই।

— ম্যাক্রো

সাধারণ ক্ষেত্রে স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি ত্রুটির পরিমাণ নির্ধারণের বিভিন্ন উপায় রয়েছে। আমি প্রোফাইল সম্ভাবনা উপস্থাপন করতে যা যা আত্মবিশ্বাসের অন্তরগুলি প্রায় অনুমানের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। $\sigma$

যাক একটি সাধারন থেকে একটি নমুনা হতে । সংশ্লিষ্ট সম্ভাবনা ফাংশন দ্বারা দেওয়া হয় $x=(x_1,...,x_n)$ $(\mu,\sigma)$

L (μ, σ) \propto \frac{1}{σ^{n}} \exp (- \frac{1}{2 σ^{2}} \sum_{j = 1}^{n} (x_{j} - μ)^{2})

${\mathcal L}(\mu,\sigma) \propto \dfrac{1}{\sigma^n}\exp\left(-\dfrac{1}{2\sigma^2}\sum_{j=1}^n(x_j-\mu)^2\right)$

তারপরে, সর্বাধিক সম্ভাবনা অনুমানকারীরা , যেখানে । প্রদত্ত যে আপনার উপর ত্রুটি পরিমাণে উপর আগ্রহী , তাহলে আপনি নিম্নরূপ এই প্যারামিটারের সাধারণ প্রফাইল সম্ভাবনা নিরূপণ করতে পারেন। $(\hat\mu,\hat\sigma)=(\bar x,s)$ $s=\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{j=1}^n(x_j-\bar x)^2}$ $\sigma$

R_{p} (σ) = \frac{sup_{μ} L (μ, σ)}{L (\hat{μ}, \hat{σ})} = {(\frac{\hat{σ}}{σ})}^{n} \exp [\frac{n}{2} (1 - {(\frac{\hat{σ}}{σ})}^{2})]

$R_p(\sigma)=\dfrac{\sup_{\mu}{\mathcal L}(\mu,\sigma)}{{\mathcal L}(\hat\mu,\hat\sigma)} = \left(\dfrac{\hat\sigma}{\sigma}\right)^n\exp\left[\dfrac{n}{2}\left(1-\left(\dfrac{\hat\sigma}{\sigma}\right)^2\right)\right]$

দ্রষ্টব্য যে level। এর ব্যবধানের একটি আনুমানিক আস্থা থাকে পরবর্তী আমি একটি কোড সংযুক্ত করি যা এই অন্তরগুলি গণনার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে You আপনি এটি পরিবর্তন করতে পারেন সেই অনুসারে আপনার প্রসঙ্গে (অথবা আপনি যদি ডেটা পোস্ট করেন তবে আমি এই পরিবর্তনগুলি অন্তর্ভুক্ত করতে পারি)। $R_p:{\mathbb R}_+\rightarrow (0,1]$ $0.147$ $0.95$ $R$

data = rnorm(30)
n = length(data)
sg = sqrt(mean((data-mean(data))^2))
# Profile likelihood
rp = function(sigma) return( (sg/sigma)^n*exp(0.5*n*(1-(sg/sigma)^2))  )
vec = rvec = seq(0.5,1.5,0.01)
for(i in 1:length(rvec)) rvec[i] = rp(vec[i])
plot(vec,rvec,type="l")
rpc = function(sigma) return(rp(sigma)-0.147)
# Approximate 95% confidence interval
c(uniroot(rpc,c(0.7,0.8))$root,uniroot(rpc,c(1.1,1.3))$root)

এই ধরণের ব্যবধানগুলির একটি সুবিধা হ'ল তারা রূপান্তরগুলির আওতায় আক্রান্ত। এই ক্ষেত্রে যদি আপনি , জন্য একটি বিরতি গণনা করেন , তবে জন্য সংশ্লিষ্ট ব্যবধানটি কেবলমাত্র । $\sigma$ $I=(L,U)$ $\sigma^2$ $I^{\prime}=(L^2,U^2)$

আমি মনে করি তিনি সত্যিই এস এর স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি চেয়েছিলেন।

— মাইকেল আর। চেরনিক