একাধিক সংঘর্ষের সাথে জন্মদিনের সমস্যাটি বিপরীত করুন

ধরুন আপনার অজানা দৈর্ঘ্যের সাথে একটি এলিয়েন বছর ছিল If যদি আপনি বলেন এলিয়েনের এলোমেলো নমুনা থাকে এবং তাদের মধ্যে কিছু জন্মদিন ভাগ করে নেন, তবে আপনি বছরের দৈর্ঘ্যটি অনুমান করার জন্য এই ডেটা ব্যবহার করতে পারেন?

উদাহরণস্বরূপ, 100 এর নমুনায় আপনার দুটি ট্রিপল (অর্থাত্ দুটি জন্মদিন প্রতিটি তিনটি এলিয়েন দ্বারা ভাগ করা) এবং পাঁচটি জোড়া এবং চুরাশি একক একক থাকতে পারে। এন অনুমান করার ক্ষেত্রে, সর্বনিম্ন সর্বনিম্ন 91 এবং সর্বাধিক সীমাহীন, তবে আমি কীভাবে যুক্তিসঙ্গত প্রত্যাশিত মানটি খুঁজে পাব?

অনুমানগুলির মধ্যে "সমস্ত জন্মদিনের সমান সম্ভাবনা থাকে" এর মতো জিনিস অন্তর্ভুক্ত থাকে।

এখানে উত্তর দেওয়া অন্য প্রশ্নের বিপরীতে, রুমে জ্ঞাত সংঘর্ষ রয়েছে। যে কোনও পর্যাপ্ত দীর্ঘ বছর এলিয়েনের ঘরের জন্য কোনও সংঘর্ষের জোর সম্ভাবনা থাকবে। তবে খুব দীর্ঘ বছরগুলিতে কোনও সংঘর্ষের স্বল্প প্রতিক্রিয়া থাকবে এবং সংক্ষিপ্ত বছরগুলিতে কয়েকটি সংঘর্ষের স্বল্প প্রতিক্রিয়া থাকবে, এইভাবে সম্ভবত বছরের দীর্ঘ দৈর্ঘ্যের জন্য একটি (তাত্ত্বিক) পরিসীমা সরবরাহ করা হবে।

estimation inference birthday-paradox

— Techhead
সূত্র

এই প্রশ্নের একটি বিশেষ সংস্করণে আমার উত্তর সহজেই সাধারণীকরণ করে ( বহুজাতিক বিতরণ ব্যবহার করে): দেখুন stats.stackexchange.com/questions/252813 ।

— whuber

@ টেকহেড বিভিন্ন উপায়ে! প্যারামিটার অনুমানের উল্লেখ করার জন্য সুস্পষ্ট পদ্ধতিটি সর্বাধিক সম্ভাবনা।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

বিপরীত জন্মদিনের সমস্যার

— স্টিফান কোলাছা

@ তবে আমি এই প্রশ্নটি এবং আপনার মন্তব্য দেখেছি, তবে আমি জানি না যে এটির সর্বাধিক কীভাবে পরিচিত সংঘর্ষের সাথে নমুনায় প্রয়োগ করা যায়। প্রসারিত ফর্মটি খুঁজে পাওয়া শক্ত নয়, তবে আমি জানি না আমি কীভাবে লোগারিথমিক যোগফলটি খুঁজে পেতে পারি।

— টেকহেড

আমি সম্মত হই যে আপনার সংস্করণটি আরও জটিল যে এটি নকল হিসাবে বন্ধ করা উচিত নয়।

— whuber

উত্তর:

কোনও বিতরণের প্রত্যাশা মান হিসাবে গণনা করা হয় $E(X) = \sum {p_ix_i}$ । এই সমস্যার জন্য, আমরা বিতরণ গণনা করতে চাই $N$ কিছু সংঘর্ষের মানদণ্ড দেওয়া, বা সন্ধান করুন $E(N) = \sum_{n=0}^{\infty}p_n n$ কিছু সংঘর্ষের মানদণ্ড দেওয়া, যেখানে $p_n=P(N=n).$

ধরুন উপরোক্ত হিসাবে আপনার কিছু সংঘর্ষের মানদণ্ড রয়েছে, এবং যাক $q_n$ সংঘর্ষের মানদণ্ডটি বছরের দৈর্ঘ্য অনুসারে পূরণ হওয়ার সম্ভাবনা হ'ল $n.$ তারপর $q_n$ জন্মদিনের সাধারণভাবে যেভাবে সাজানো যেতে পারে তার সংখ্যার সাথে সংঘর্ষের মানদণ্ডগুলি কীভাবে পূরণ করা যায় তার সংখ্যা ভাগ করেই সন্ধান করা যেতে পারে। একদা $q_n$ প্রতিটি সম্ভাব্য জন্য পাওয়া যায় $n$ , তবে অনুপস্থিত একমাত্র টুকরোটি অনুবাদ করা হচ্ছে $q_n$ প্রতি $p_n.$

আমরা যদি ধরে নিই $p_n$ আনুপাতিক হয় $q_n$ তাহলে $p_n= \alpha q_n.$ থেকে $\sum_{n=0}^{\infty} p_n=1$ , $\alpha \sum_{n=0}^{\infty} q_n=1$ এবং $\alpha=\frac{1}{\sum_{n=0}^{\infty} q_n}.$ অতএব, আমাদের কেবলমাত্র একটি সূত্র প্রয়োজন $q_n$ সমস্যাটি সমাধান করতে.

আপনার উদাহরণস্বরূপ, প্রথমে সংঘর্ষের মানদণ্ডগুলি কীভাবে ঘটতে পারে তার সংখ্যাটি সন্ধান করি $N=n.$ প্রথম এলিয়েন সিঙ্গলটন যে কোনও দিনে অবতরণ করতে পারে, তাই রয়েছে $n$ সম্ভাবনার। পরের সিঙ্গলটন যে কোনও দিন অবতরণ করতে পারে তবে প্রথম এলিয়েনের জন্মদিন, তাই রয়েছে $n-1$ সম্ভাবনার। প্রথম 84 টি সিঙ্গলেটের জন্য এটি সম্পূর্ণ করা, আমরা পাই $n(n-1)(n-2)...(n-83)$ সম্ভাব্য উপায়ে এটি ঘটতে পারে। লক্ষ করুন যে আমাদের 5 টি জোড়া এবং 2 টি ট্রিপল্ট রয়েছে, সুতরাং প্রতিটি গ্রুপের জন্য "প্রথম" এলিয়েন অবশ্যই সিঙ্গলটন জোড়ায় অবতরণ করবেন না। এটি একটি বাড়ে $n(n-1)(n-2)...(n-84-5-2 + 1)$ এই এলিয়েনদের সংঘর্ষ না হওয়ার উপায়ে (আনাড়ি সিনট্যাক্সটি পরে আরও সাধারণীকরণের জন্য)।

এরপরে, প্রদত্ত জুটি বা ট্রিপলিটের জন্য দ্বিতীয় এলিয়েনের 91 টি পছন্দ রয়েছে, পরেরটির 90 টি রয়েছে ইত্যাদি 91 প্রথম 91 এলিয়েনের জন্মদিনের ভিত্তিতে এটি যেভাবে ঘটতে পারে তার মোট সংখ্যা is $91(91-1)(91-2)...(91-7+1)$ । ট্রিপল্টের অবশিষ্ট সদস্যদের অবশ্যই জোড়গুলির জন্মদিনে পড়তে হবে এবং এটি হওয়ার সম্ভাবনা $7*6$ । সংঘর্ষের মানদণ্ডটি মাপার জন্য মোট সম্ভাব্য উপায়গুলি পেতে আমরা এই সকলের জন্য সম্ভাব্যতাগুলি একসাথে গুন করি:

r_{n} = n (n - 1) . . . (n - 84 - 5 - 2 + 1) (84 + 5 + 2) (84 + 5 + 2 - 1) . . . (84 + 1) (5 + 2) (5 + 1)

$r_n=n(n-1)...(n-84-5-2+1)(84+5+2)(84+5+2-1)...(84+1)(5+2)(5+1)$

এই মুহূর্তে প্যাটার্নটি স্পষ্ট, যদি আমাদের থাকে $a$ singletons, $b$ জোড়া, এবং $c$ ট্রিপল্ট, আমরা 84 এর সাথে প্রতিস্থাপন করব $a,$ সাথে 5 $b,$ এবং 2 সহ $c$ একটি সাধারণীকরণের সূত্র পেতে। আমি মনে করি এটি সাধারণভাবে জন্মদিনের ব্যবস্থা করার সম্ভাব্য উপায়গুলির সংখ্যাটিও পরিষ্কার $n^m$ , যেখানে সমস্যাটিতে মোট এলিয়েন সংখ্যা এম। সুতরাং, সংঘর্ষের মানদণ্ড পূরণের সম্ভাবনা হ'ল সংঘর্ষের মানদণ্ডটি পূরণের উপায়গুলি যেভাবে এলিয়েন জন্মগ্রহণ করতে পারে তার সংখ্যা দ্বারা বিভক্ত, বা $q_n=\frac{r_n}{n^m}$ ।

সূত্রে আরও একটি আকর্ষণীয় জিনিস হাজির $r_n$ । দিন $y_n=n(n-1)...(n-(a+b+c)+1)=\frac{n!}{(n-(a+b+c))!}$ , এবং যাক $z_n$ এর বাকি অংশ হতে হবে $r_n$ যাতে $r_n=y_nz_n$ । মনে রাখবেন যে $z_n$ এন থেকে স্বতন্ত্র, সুতরাং আমরা সহজভাবে লিখতে পারেন $z_n=z$ ধ্রুবক হিসাবে! থেকে $p_n=q_n/\sum_{i=0}^\infty q_i$ , এবং $q_n=\frac{zy_n}{n^m}$ , আমরা আসলে ফ্যাক্টর করতে পারি $z$ বিভাজনে যোগফলের বাইরে। এই মুহুর্তে, এটি পাওয়ার জন্য অংকের অংশটি বাতিল করে $p_n=\frac{y_n}{n^m}/\sum_{i=0}^\infty (\frac{y_i}{i^m})$ । আমরা সরল করতে পারি $y_n$ আরও যদি আমরা দিন $s=a+b+c$ (বা এটি এলিয়েনদের গ্রুপে অনন্য জন্মদিনের সংখ্যা হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে), যাতে আমরা পাই:

p_{n} = \frac{\frac{n!}{(n - s)!}}{n^{m}} / \sum_{i = 0}^{\infty} (\frac{\frac{i!}{(i - s)!}}{i^{m}})

$p_n=\frac{\frac{n!}{(n-s)!}}{n^m}/\sum_{i=0}^\infty (\frac{\frac{i!}{(i-s)!}}{i^m})$

এখন আমাদের কাছে একটি (মোটামুটি) সহজ সূত্র রয়েছে $p_n$ , এবং এর জন্য একটি (মোটামুটি) সহজ সূত্র $E(N)$ , যেখানে কেবল অনুমানটি হয়েছিল $P(N=n)$ আনুপাতিক হয় $q_n$ (প্রদত্ত সংঘর্ষের মানদণ্ড পূরণের সম্ভাবনা $N=n$ )। আমি মনে করি এটি করা একটি ন্যায্য ধারণা এবং আমার চেয়ে স্মার্ট কেউ এই প্রমাণটি জড়িত তা প্রমাণ করতে সক্ষম হতে পারে $P(N=n)$ একটি বহুজাতিক বিতরণ অনুসরণ। এই সময়ে আমরা গণনা করতে পারি $E(N)$ সংখ্যাগত পদ্ধতি ব্যবহার করে বা হিসাবে কিছু অনুমান অনুমান করা $p_n$ 0 হিসাবে যোগাযোগ করা হবে $n$ পন্থা $\infty$ ।

— কডি মওগান
সূত্র

দেখে মনে হচ্ছে আপনি সম্ভাব্যতার ফাংশনটির পরিবর্তে সম্ভাবনা ফাংশনের ভিত্তিতে প্রত্যাশা মানটি গণনা করার প্রস্তাব দিয়েছেন। এটা কি ইচ্ছাকৃত ছিল?

— সেক্সটাস এম্পিরিকাস

কোডি থেকে দুর্দান্ত উত্তর সম্ভাব্যতা ফাংশনটি প্রকাশের জন্য একটি দুর্দান্ত উপায় সরবরাহ করে $N$ , সম্ভাব্যতার যে অংশটি স্বাধীন তা থেকে কিছু অংশ বের করে বছরের সংখ্যাগুলি (বা ফ্ল্যাট পূর্বের উপর ভিত্তি করে উত্তর বিতরণ) $N$ ।

এই উত্তরে আমি এটিকে আরও সংক্ষিপ্তভাবে লিখতে চাই এবং এই সম্ভাবনা ফাংশনের সর্বাধিক গণনা করার একটি উপায়ও সরবরাহ করতে চাই (প্রত্যাশিত মানের চেয়ে যা গণনা করা আরও বেশি কঠিন)।

এন জন্য সম্ভাবনা ফাংশন

এর ক্রম আঁকার কয়েকটি সংখ্যা $a+2b+3c$ একটি সেট বাইরে জন্মদিন $n$ জন্মদিনে, সেই সীমাবদ্ধতার সাথে $a$ একক জন্মদিনের সংখ্যা, $b$ সদৃশ জন্মদিন, এবং $c$ ট্রিপল জন্মদিন সমান

\begin{array}{ccl} r_{n} & = & \underset{\begin{array}{ccc} number of ways to \\ pick m unique birthdays \\ out of n days \end{array}}{\underset{⏟}{(\binom{n}{a + b + c})}} \underset{\begin{array}{ccc} number of ways to \\ distribute m birthdays \\ among groups of size a, b and c \end{array}}{\underset{⏟}{\frac{(a + b + c)!}{a! b! c!}}} \underset{\begin{array}{ccc} number of ordered ways to \\ arrange specific \\ single, duplicate, and triplicates \\ among the aliens \end{array}}{\underset{⏟}{\frac{(a + 2 b + 3 c)!}{1!^{a} 2!^{b} 3!^{c}}}} \\ = & \frac{n!}{(n - a - b - c)!} \times \frac{(a + 2 b + 3 c)}{a! b! c! 1!^{a} 2!^{b} 3!^{c}} \end{array}

$\begin{array}{ccl} r_n &=& \underbrace{{n}\choose{a+b+c}}_{\small\begin{array}{ccc}&\text{number of ways to} &\\ &\text{pick $m$ unique birthdays}& \\ &\text{out of $n$ days}&\end{array}} \underbrace{\frac{(a+b+c)!}{a!b!c!}}_{\small\begin{array}{ccc}&\text{number of ways to} &\\ &\text{distribute $m$ birthdays}& \\ &\text{among groups of size $a$, $b$ and $c$}&\end{array}} \underbrace{\frac{(a+2b+3c)!}{1!^a2!^b3!^c}}_{\small\begin{array}{ccc}&\text{number of ordered ways to} &\\ &\text{arrange specific }& \\&\text{single, duplicate, and triplicates}& \\ &\text{among the aliens }&\end{array}} \\ &=& \frac{n!}{(n-a-b-c)!} \times \frac{(a+2b+3c)}{a!b!c!1!^a2!^b3!^c} \end{array}$

এবং রাইটহ্যান্ডসাইডে কেবল প্রথম পদটি নির্ভর করে $n$ সুতরাং, অন্যান্য শর্তগুলি সন্ধান করে আমরা সম্ভাব্যতা ফাংশনটির জন্য একটি সাধারণ অভিব্যক্তি দিয়ে শেষ করি

\begin{array}{rcl} L (n | a, b, c) & = & n^{- (a + 2 b + 3 c)} \frac{n!}{(n - a - b - c)!} = n^{- m} \frac{n!}{(n - s)!} \\ \propto & P (a, b, c | n) \end{array}

$\begin{array}{rcl} \mathcal{L}(n|a,b,c) &=& n^{-(a+2b+3c)} \frac{n!}{(n-a-b-c)!} = n^{-m} \frac{n!}{(n-s)!}\\ & \propto & P(a,b,c|n) \end{array}$

যেখানে আমরা কোডি এবং ব্যবহার থেকে স্বরলিপি অনুসরণ করি $m$ এলিয়েন সংখ্যা বোঝাতে এবং $s$ অনন্য জন্মদিনের সংখ্যা।

এন এর সর্বাধিক সম্ভাবনার অনুমান mate

আমরা সম্ভাবনা ফাংশনটি সর্বাধিক সম্ভাবনার প্রাক্কলনের জন্য ব্যবহার করতে পারি $N$ ।

মনে রাখবেন যে

L (n) = L (n - 1) {(\frac{n - 1}{n})}^{m} \frac{n}{n - s}

$\mathcal{L}(n) = \mathcal{L}(n-1) \left(\frac{n-1}{n}\right)^m\frac{n}{n-s}$

এবং সর্বাধিকটি ঠিক এর আগে ঘটবে $n$ কিসের জন্য

{(\frac{n - 1}{n})}^{m} \frac{n}{n - s} = 1

$\left(\frac{n-1}{n}\right)^m\frac{n}{n-s} = 1$

অথবা

s = n (1 - {(1 - 1 / n)}^{m})

$s = n \left(1-\left(1-1/n\right)^m \right)$

বড় জন্য যা $n$ আনুমানিক (একটি লরেন্ট সিরিজ ব্যবহার করে যা আপনি প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে খুঁজে পেতে পারেন $x = 1/n$ এবং জন্য টেলর সিরিজ লিখুন $x$ বিন্দুতে $x=0$ )

s \approx \sum_{k = 0}^{l} (\binom{m}{k}) (- n)^{- k} + O (n^{- (l + 1)})

$s \approx \sum_{k=0}^l {{m}\choose{k}} (-n)^{-k} + \mathcal{O} \left( n^{-(l+1)} \right)$

শুধুমাত্র প্রথম অর্ডার শব্দ ব্যবহার করে $s \approx m - \frac{m(m-1)}{2 n}$ তুমি পাও:

n_{1} \approx \frac{(\binom{m}{2})}{m - s}

$n_1 \approx \frac{ {{m}\choose{2}}}{m-s}$

দ্বিতীয় অর্ডার শব্দটিও ব্যবহার করে $s \approx m - \frac{m(m-1)}{2 n} + \frac{m(m-1)(m-2)}{6 n^2}$ তুমি পাও:

n_{2} \approx \frac{(\binom{m}{2}) + \sqrt{{(\binom{m}{2})}^{2} - 4 (m - s) (\binom{m}{3})}}{2 (m - s)}

$n_2 \approx \frac{ {{m}\choose{2}} + \sqrt{{{m}\choose{2}}^2- 4 (m-s){{m}\choose{3}} } }{2(m-s)}$

সুতরাং ক্ষেত্রে $m=100$ এলিয়েনদের মধ্যে আছে $s=91$ অনন্য জন্মদিন আপনি আনুমানিক ব্যবহার করে পাবেন $n_1 \approx 550$ এবং $n_2 \approx 515.1215$ । আপনি যখন সমীকরণটি সংখ্যাসূচকভাবে সমাধান করেন আপনি পান $n=516.82$ যা আমরা রাউন্ড ডাউন $n=516$ এমএলই পেতে

— সেক্সটাস এম্পেরিকাস
সূত্র