ড্রিফট সহ এলোমেলো পদক্ষেপের সর্বাধিক ড্রাউডাউনের সংশ্লেষিত বিতরণ গণনা করা হচ্ছে

9

আমি এলোমেলো সর্বাধিক : যেখানে । পিরিয়ডের পরে সর্বাধিক হ'ল । ম্যাগডন-ইসমাইল এট এর একটি কাগজ । অল। ড্রিফ্ট সহ ব্রাউনিয়ান গতি সর্বাধিক ড্রাউডের জন্য বিতরণ দেয়। এক্সপ্রেশন একটি অসীম যোগফল জড়িত যা কিছু শর্তাদি কেবল স্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত অন্তর্ভুক্ত। রূপান্তরকারী যা বাস্তবায়ন লিখতে আমার সমস্যা হচ্ছে। সিডিএফের বিকল্প এক্সপ্রেশন বা কোডে রেফারেন্স প্রয়োগের বিষয়ে কি কেউ সচেতন? $X_0 = 0, X_{i+1} = X_i + Y_{i+1}$ $Y_i \sim \mathcal{N}(\mu,1)$ $n$ $\max_{0 \le i \le j \le n} (X_i - X_j)$

— shabbychef
সূত্র

আপনার এটি কতটা সঠিক দরকার? আপনি কি কেবল পদচারণা অনুকরণ করতে এবং সম্পূর্ণ-কার্যকরী সমাধানগুলি এড়াতে পারবেন?

— কাইল

ভাল যুক্তি. আমার অ্যাটমিক-ফিজিক্স স্তরের নির্ভুলতার দরকার নেই। আসলে, 3 সিগফিজ সম্ভবত ঠিক আছে ....

— শেব্বিচেফ

এর জন্য প্রায় এক মিলিয়ন সিমুলেটেড এলোমেলো পদচারণা দরকার হবে ...

— শুক্রবার

4

এটি একটি বিকল্প যোগফল। একের পর এক জুটি প্রায় বাতিল করে দেয়; এই জাতীয় জুড়ি যোগফল অবশেষে একঘেয়েমি হ্রাস পায়।

তারপরে একটি পদ্ধতির যোগফলকে জোড়গুলি গণনা করা হবে যেখানে = {1,2}, {3,4}, {5,6} ইত্যাদি etc. (এটি করার ফলে প্রচুর ভাসমান পয়েন্ট ত্রুটিও দূর হয়)) কিছু আরও কৌশল সাহায্য করতে পারে: $n$

(1) সমাধানের জন্য একটি ইতিবাচক ধ্রুবক জন্য , অনুসন্ধান করার জন্য একটি ভাল শুরু মান - এবং জন্য একটি চমৎকার পড়তা বৃহত্তম root-- হয় । আমার সন্দেহ হয় নিউটন-র‌্যাফসনের সত্যই ভাল কাজ করা উচিত। $\tan(t) = t / \alpha$ $\alpha$ $n^\text{th}$ $t = (n + 1/2)\pi - \frac{\alpha}{(n + 1/2)\pi}$

(২) প্রাথমিক সংখ্যার অল্প সংখ্যক পরে, জোড়ার যোগফলগুলি খুব, ধারাবাহিকভাবে আকারে কমতে শুরু করে। তাত্ক্ষণিকভাবে ব্যবধানযুক্ত জোড়গুলির পরম মানগুলির লগারিদমগুলি প্রায় রৈখিকভাবে হ্রাস পায়। এর অর্থ আপনি গণনা করেননি এমন সমস্ত জোড়-অঙ্কের অনুমান করতে আপনি খুব অল্প সংখ্যক গণনাযুক্ত জোড়-অঙ্কের মধ্যে বিভক্ত করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, কেবল জোড়া (২,৩), (৪,৫), (৮,৯), (১,,১)), ..., (১ 16৩৮৪, ১3৩৮৫) এর জন্য মানগুলি গণনা করে এবং এগুলির জন্য আন্তঃবাহিত বহুপদী নির্মাণ করে (1, 2, ..., 14 এ কোনও ফাংশনের মান হিসাবে বিবেচিত) এবং যুক্তি ব্যবহার করে $h = \mu = \sigma = 1$ , আমি সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে ত্রুটির জন্য ছয় চিত্রের যথার্থতা অর্জন করতে সক্ষম হয়েছি। (এমনকি আরও ভাল, ত্রুটিগুলি সাইন ইন দ্য সিলেক্ট করে, সংক্ষিপ্ত আন্তঃবিবাহিত মানগুলির যথার্থতা ছয়টি চিত্রের তুলনায় কিছুটা ভাল হতে পারে)) আপনি সম্ভবত এই মানগুলির শেষের দিকে রৈখিকভাবে বহির্মুখি করে ভাল পরিমার্জনকে সীমাবদ্ধতার অনুমান করতে পারেন (যা পাওয়ার আইনে অনুবাদ করে) এবং এক্সট্রাপোলেটিং ফাংশনকে অনন্তের সাথে সংহত করে। এই উদাহরণ গণনা সম্পূর্ণ করতে আপনার প্রথম পদও প্রয়োজন। যা সংক্ষিপ্তসারগুলিতে কেবল 29 টি গণিত শর্তাদির মাধ্যমে ছয় চিত্রের যথার্থতা দেয়।

(3) নোট করুন যে ফাংশনটি এবং উপর নির্ভর করে , এই তিনটি পরিবর্তকের স্বতন্ত্রভাবে নয়। উপর নির্ভরতা দুর্বল (এটি যেমন হওয়া উচিত); আপনার সমস্ত গণনা জুড়ে এর মান ঠিক করতে আপনি সন্তুষ্ট হতে পারেন। $h/\sigma$ $\mu/\sigma$ $T$

(৪) সর্বোপরি আইটকেনের পদ্ধতির মতো কয়েকটি সিরিজ-ত্বরণ পদ্ধতি ব্যবহার করে বিবেচনা করুন । সংখ্যার রেসিপিগুলিতে এর একটি ভাল অ্যাকাউন্টিং প্রদর্শিত হবে ।

যোগ করা হয়েছে

(5) আপনি একটি অখণ্ড সঙ্গে সমষ্টি এর লেজ অনুমান করতে পারেন। লেখার পরে সমীকরণ ( ) সমাধান করা যেতে পারে জন্য , যা ছোট, এবং তারপরে বিকল্প পরিবর্তে জন্য । তে টেলর সিরিজে ট্যানজেন্টটি প্রসারিত করা আনুমানিক সমাধান দেয় $\theta_n = (n + 1/2)\pi - 1/t_n$ $\tan(\theta_n) = \theta_n / \alpha$ $\alpha = \mu h / \sigma^2$ $t_n$ $\theta_n$ $t_n$

θ_{n} = z - \frac{α}{z} - \frac{α^{2} - α^{3} / 3}{z^{3}} + O ((\frac{α}{n})^{5})

$\theta_n = z - \frac{\alpha}{ z} - \frac{\alpha^2 - \alpha^3/3 }{z^3} + O\left((\frac{\alpha}{n})^5\right)$

যেখানে । $z = (n + 1/2)\pi$

প্রদত্ত যথেষ্ট পরিমাণে বড়, ফর্ম 1 এর খুব কাছাকাছি হয়ে যায় যাতে আপনি এগুলিকে অবহেলা করতে পারেন। সাধারণত এই পদগুলি এমনকি ছোট জন্যও অবহেলিত হতে পারে কারণ হ'ল , প্রথম খুব দ্রুত শূন্যে চলে যায়। (এই একবার ঘটবে যথেষ্ট ছাড়িয়ে গেছে । বৃহৎ জন্য আপনার গণনার কি যদি আপনি করতে পারেন!) $n$ $1 - \exp(\frac{-\sigma^2 \theta_n^2 T}{2 h^2}) \exp(\frac{-\mu^2 T}{2 \sigma^2})$ $n$ $\theta_n^2$ $\Theta\left(n^2\right)$ $n$ $\alpha / T^{1/2}$ $T$

জন্য এবং শর্তাদি যোগ করতে এই অভিব্যক্তিটি ব্যবহার করে আমাদের সেগুলি আনুমানিক (সমস্ত ধূমপান একবার মুছে ফেলা হয়) হিসাবে দেয় $\theta_n$ $n$ $n+1$

\frac{2}{π n^{2}} - \frac{4}{π n^{3}} + \frac{13 π^{2} + 6 (4 - 3 α) α}{2 π^{3} n^{4}} + O (\frac{1}{n^{5}}) .

$\frac{2}{\pi n^2}-\frac{4}{\pi n^3}+\frac{13 \pi ^2+6 (4-3 \alpha ) \alpha }{2 \pi ^3 n^4}+O\left(\frac{1}{n^5}\right) \text{.}$

সমষ্টি থেকে শুরু প্রতিস্থাপন করা হচ্ছে উপর অবিচ্ছেদ্য দ্বারা থেকে শুরু লেজ পরিমাপক। (অবিচ্ছেদ্য একটি সাধারণ গুণক দ্বারা গুন করা হয়েছে ।) অবিচ্ছেদ্য মধ্যে ত্রুটি । সুতরাং, তিনটি উল্লেখযোগ্য পরিসংখ্যান অর্জন করার জন্য আপনাকে সাধারণত সমষ্টিতে আট বা তার বেশি শর্তগুলি গণনা করতে হবে এবং তারপরে এই লেজের আনুমানিক সংযোজন করতে হবে। $n = 2N$ $N$ $N - 1/4$ $\exp(-\alpha)$ $O(1/n^4)$

— whuber
সূত্র

1

এটি সত্যই দুর্দান্ত এবং সিডিএফের দিকে অনেকদূর যেতে হবে। উপরে এবং ব্যাজ উপাদানের বাইরে।

— shabbychef

2

আপনি fBasics এ ড্রডাউন বিতরণ ফাংশনগুলি দেখে শুরু করতে পারেন । সুতরাং আপনি সহজেই ড্রিফ্টের সাথে ব্রাউনিয়ান গতি অনুকরণ করতে পারেন এবং এই ফাংশনটিকে একটি প্রারম্ভিক রূপে প্রয়োগ করতে পারেন।

— শেন
সূত্র

এই ফাংশনগুলি কাগজে সূত্রগুলি প্রয়োগ করে বিবেচনা করে এটি +1 এটি একটি দুর্দান্ত প্রত্যক্ষ উত্তর!

— whuber

দেখে মনে হচ্ছে এই প্যাকেজটি কাগজের উপর ভিত্তি করে প্রত্যাশিত সর্বাধিক ড্রওডাউনটি গণনা করে তবে সিডিএফ গণনা করে না। এই প্রত্যাশাটি গণনা করার জন্য কাগজটি 'শর্টকাট' ফলাফল দেয়, আইআইআরসি।

— shabbychef

@ শ্যাববিচেফ দুঃখিত, আমি সেই নব্বইটি মিস করেছি। আমি দেখছি কীভাবে পুরো সিডিএফ প্রাপ্তি কেবল প্রত্যাশা জানার চেয়ে বেশি কার্যকর হতে পারে। (আর্থিক ঝুঁকি কেবল প্রত্যাশিত ক্ষতির চেয়ে অনেক বেশি ...) তবে সিডিএফ আনুমানিক করতে আমি যে কাজটি করেছি তা সম্পর্কে এখন আমি কিছুটা ভাল অনুভব করছি!

— whuber