পরিসংখ্যানে function ফাংশনের গুরুত্ব কী ?

আমার ক্যালকুলাস ক্লাসে, আমরা , বা "বেল কার্ভ" ফাংশনটির মুখোমুখি হয়েছি এবং আমাকে বলা হয়েছিল যে এটিতে পরিসংখ্যানগুলিতে প্রায়শই প্রয়োগ হয়। $e^{-x^2}$

কৌতূহলের বাইরে আমি জিজ্ঞাসা করতে চাই: the ফাংশনটি কি পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রে সত্যই গুরুত্বপূর্ণ? যদি তাই হয় তবে এটি about সম্পর্কে কী এটি কার্যকর করে তোলে এবং এর কয়েকটি অ্যাপ্লিকেশন কী কী? $e^{-x^2}$ $e^{-x^2}$

আমি ইন্টারনেটে ফাংশন সম্পর্কে খুব বেশি তথ্য খুঁজে পাইনি, তবে কিছু গবেষণা করার পরে আমি সাধারনত বেল কার্ভগুলির মধ্যে একটি লিঙ্ক এবং সাধারণ বিতরণ বলে কিছু পেয়েছি । একটি উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠা এই ধরণের ফাংশনগুলি পরিসংখ্যান প্রয়োগের সাথে সংযুক্ত করে, আমার দ্বারা হাইলাইট করার সাথে, তাতে বলা হয়েছে:

"পরিসংখ্যানগুলিতে সাধারণ বিতরণকে সর্বাধিক বিশিষ্ট সম্ভাবনা বন্টন হিসাবে বিবেচনা করা হয়। এর বেশ কয়েকটি কারণ রয়েছে: 1 প্রথমত, সাধারণ বন্টন কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্য থেকে উদ্ভূত হয়, যা বলে যে হালকা শর্তে প্রচুর সংখ্যক এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফল আঁকা drawn মূল বিতরণ ফর্ম নির্বিশেষে একই বিতরণ থেকে প্রায় সাধারণভাবে বিতরণ করা হয় ।

সুতরাং, যদি আমি কোনও ধরণের জরিপ বা এর মতো থেকে প্রচুর পরিমাণে ডেটা সংগ্রহ করি তবে সেগুলি মতো কোনও ফাংশনের মধ্যে সমানভাবে বিতরণ করা যেতে পারে ? ফাংশনটি প্রতিসম হয়, তাই এর প্রতিসাম্যতা কি এর সাধারণ বিতরণে এর দরকারীতা, এটি পরিসংখ্যানগুলিতে এত দরকারী কী করে? আমি কেবল অনুমান করছি। $e^{-x^2}$

সাধারণভাবে, পরিসংখ্যানগুলিতে উপযোগী করে? যদি সাধারণ বিতরণ একমাত্র ক্ষেত্র হয়, তবে সাধারণ বিতরণে গাউসীয় ধরণের অন্যান্য ফাংশনগুলির মধ্যে কী অনন্য বা বিশেষভাবে দরকারী? $e^{-x^2}$ $e^{-x^2}$

normal-distribution

— Zolani13
সূত্র

ভাল যে শুরু করা উচিত "মানে" না "যোগফল" পড়া উচিত।

— ত্রিস্তান

যোগফলও। সর্বোপরি, এটি নমুনার সংখ্যা দ্বারা কেবল গুণিতকৃত গুণমান।

— এরিক

উদ্ধৃতিটি দেখায় যে অনুসন্ধানের মূল শব্দের মধ্যে রয়েছে "সাধারণ বিতরণ"। এখানে অনুসন্ধান চালিয়ে 600০০ টিরও বেশি থ্রেড পাওয়া যায় - এই সাইটটি শুরু হওয়ার পর থেকে প্রতিদিন গড়ে গড়ে একজন করে। এই হিটগুলি বোঝার জন্য একটি অল্প সময় দ্রুত কাউকে দ্রুত পরিসংখ্যানগুলিতে "বেল বাঁক" এর ভূমিকাকে প্রশংসা করতে সহায়তা করবে।

— হোবার

থেকে টপ ভোট স্বাভাবিক ডিস্ট্রিবিউশন এর সাথে সম্পর্কিত থ্রেড , এবং mathematicians কারণ তারা বিশ্বাস এটা আছে; পরীক্ষা থেকে কারণ তারা মনে হয় এটা গণিত দ্বারা প্রমাণিত করা যেতে পারে:: "সবাই ত্রুটি [অর্থাত, সাধারন বন্টন] এর সূচকীয় আইন বিশ্বাস পর্যবেক্ষণ দ্বারা প্রতিষ্ঠিত হয়েছে। "

— হোবার

" গাউসীয়

— রবিন জিরাড

উত্তর:

এই ফাংশনটি যে কারণে গুরুত্বপূর্ণ তা হ'ল প্রকৃত বিতরণ এবং এর ঘনিষ্ঠভাবে সংযুক্ত সহযোগী, কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধতা উপপাদ্য (আমাদের এখানে অন্যান্য প্রশ্নের সিএলটি সম্পর্কে কিছু ভাল ব্যাখ্যা আছে) have

পরিসংখ্যানগুলিতে, সিএলটি সাধারণত প্রব্যাবিলাইটগুলি গণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, "আমরা 95% আত্মবিশ্বাসী যে ..." এর মতো বক্তব্য তৈরি করে ("95% আত্মবিশ্বাসী" এর অর্থ প্রায়শই ভুল বোঝা যায়, তবে এটি ভিন্ন বিষয়)।

ফাংশন (একটি ছোটো সংস্করণ) সাধারন বন্টনের ঘনত্ব ফাংশন। যদি সাধারণ বিতরণ ব্যবহার করে কোনও এলোমেলো পরিমাণকে মডেল করা যায় তবে এই ফাংশনটি বর্ণিত পরিমাণের বিভিন্ন সম্ভাব্য মানগুলি কতটা সম্ভব তা বর্ণনা করে। উচ্চ ঘনত্বযুক্ত অঞ্চলে ফলাফলগুলি কম ঘনত্বযুক্ত অঞ্চলে ফলাফলের চেয়ে বেশি সম্ভাবনা রয়েছে। $\exp\Big(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Big)$

$\mu$ এবং প্যারামিটার যা ঘনত্ব ফাংশনের অবস্থান এবং স্কেল নির্ধারণ করে। এটি সম্পর্কে সমান্তরাল , সুতরাং পরিবর্তন করা so মানে আপনি ফাংশনটি ডান বা বামে স্থানান্তরিত করুন। তার সর্বাধিক ( ) ঘনত্বের ক্রিয়াকলাপের মান নির্ধারণ করে এবং from থেকে দূরে সরে যাওয়ার সাথে সাথে এটি কত দ্রুত 0 এ চলে যায় । সেই অর্থে, পরিবর্তন করে ফাংশনের স্কেল পরিবর্তন করে। $\sigma$ $\mu$ $\mu$ $\sigma$ $x=\mu$ $x$ $\mu$ $\sigma$

নির্দিষ্ট পছন্দের জন্য এবং $\mu=0$ ঘনত্ব (আনুপাতিক) । এটি এই প্যারামিটারগুলির বিশেষ আকর্ষণীয় পছন্দ নয়, তবে এর ঘনত্বের ক্রিয়াটি লাভ করার সুবিধা রয়েছে যা অন্য সকলের তুলনায় কিছুটা সহজ দেখায়। $\sigma=1/\sqrt{2}$ $e^{-x^2}$

অন্যদিকে, আমরা থেকে যেতে পারেন দ্বারা পরিবর্তন অফ ভেরিয়েবল অন্য কোন স্বাভাবিক ঘনত্বের $e^{-x^2}$ । কারণ হতে পারে আপনার পাঠ্যপুস্তক বলছে যে, এবং $x=\frac{u-\mu}{\sqrt{2}\sigma}$ $e^{-x^2}$ , একটি খুব গুরুত্বপূর্ণ কাজ করা হয় যেলিখতে সহজ। $\exp\Big(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Big)$ $e^{-x^2}$

— MånsT
সূত্র

(+1 টি) উপান্ত্য অনুচ্ছেদের প্রথম বাক্য: আমি বলতে পারে সমানুপাতিক স্থানে হয় ।

— কার্ডিনাল

@ কার্ডিনাল: ধন্যবাদ, আপনি ঠিক বলেছেন! আমি উত্তর সম্পাদনা করেছি।

— MånsT

+1, আমি এই উত্তরটি সত্যিই পছন্দ করি। একটি বিষয় যা উল্লেখ করার মতো হতে পারে তা হ'ল সাধারণ পিডিএফ সাধারণত

দিয়ে লেখা হয়

সামনে

কারণটি হল যে বক্ররেখার নিচে মোট ক্ষেত্রফল

সমান

\frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}}

$\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}$

, কিন্তু যেহেতু পিডিএফ একটি আদর্শ ব্যবহার সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করার জন্য (যা 1 থেকে সমষ্টি), এটা সমান 1 থেকে বক্ররেখা অধীনে এলাকার জন্য সুবিধাজনক হয়, এবং এইভাবে আমরা মোট দ্বারা বিভক্ত করা যে ফলাফল অর্জন করা। আমি মনে করি আপনি ঠিক বলেছেন যে এটির সরল উপস্থিতির জন্য এটি বাদ দেওয়া হয়েছে।

\sqrt{2 π σ^{2}}

$\sqrt{2\pi\sigma^2}$

— গুং - মনিকা পুনরায়

আপনি ঠিক, সাধারন বন্টনের বা গসিয়ান মাপা এবং স্থানান্তরিত হয় তাই গুরুত্ব যে এটি মূলত সাধারণ বণ্টনের থেকে বেশিরভাগই আসে। $\exp (-x^2)$ $\exp (-x^2)$

এবং সাধারণ বিতরণ মূলত কারণ ("হালকা নিয়মিততার শর্তে") অনেকগুলি স্বতন্ত্র এবং অভিন্নভাবে বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির সমষ্টি স্বাভাবিকের কাছে আসে, যখন "অনেকগুলি" অনন্তের কাছে যায়।

সব কিছু সাধারণত বিতরণ করা হয় না। উদাহরণস্বরূপ, আপনার জরিপের ফলাফলগুলি নাও হতে পারে, কমপক্ষে যদি প্রতিক্রিয়াগুলি অবিচ্ছিন্ন স্কেলে নাও হয় তবে পূর্ণসংখ্যা 1-5 এর মতো কিছু হয়। কিন্তু গড় ফলাফল স্বাভাবিকভাবে ধরে স্যাম্পলিং পুনরাবৃত্তি বিতরণ করা হয় কারণ গড় মাত্র একটি ছোটো (স্বাভাবিক) সমষ্টি, এবং স্বতন্ত্র প্রতিক্রিয়া একে অপরের স্বাধীন। নমুনাটি অবশ্যই যথেষ্ট বড় বলে ধরে নেওয়া উচিত, কারণ কঠোরভাবে বলতে গেলে, নমুনার আকারটি যখন অসীম হয়ে যায় তখনই স্বাভাবিকতা উপস্থিত হয়।

উদাহরণ হিসাবে আপনি দেখতে পাচ্ছেন, প্রাকৃতিক বিতরণ প্রাক্কলন বা মডেলিং প্রক্রিয়ার ফলস্বরূপ উপস্থিত হতে পারে, এমনকি যখন তথ্য সাধারণত বিতরণ না করা হয়। সুতরাং স্বাভাবিক বিতরণ পরিসংখ্যান সর্বত্র হয়। বায়সিয়ান পরিসংখ্যানগুলিতে, পরামিতিগুলির বহু পোস্টেরিয়র বিতরণ প্রায় স্বাভাবিক, বা এটি ধরে নেওয়া যেতে পারে ass

— scellus
সূত্র

e^{- x^{2}}

$e^{-x^2}$

তারা সমার্থক নয়, এটি নির্দেশ করার জন্য ধন্যবাদ। (আমার অভিপ্রায়টি নির্ভুল হওয়া উচিত ছিল না, কেবল কোনও অ-পরিসংখ্যানবিদদের কাছে বোধগম্য ছিল

— already

-1

$n$ $0$ $1/n$ $\sqrt{n}$

— মাইকেল আর চেরনিক
সূত্র

এই প্রশ্নের মন্তব্যের জন্য একটি চ্যাট রুম তৈরি করা হয়েছে chat.stackexchange.com/rooms/3720/… । মন্তব্য করার পদ্ধতির আরও অপব্যবহার রোধ করতে আমি সমস্ত (50) মন্তব্য মুছে ফেলেছি এবং এই পোস্টটিকে লক করেছি।

— হোবার