আমি শুনেছি অনুপাত বা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বিপরীতগুলি প্রায়শই সমস্যাযুক্ত, প্রত্যাশা না থাকার কারণে। তা কেন?

25

শিরোনামটি প্রশ্ন। আমাকে বলা হয়েছে যে অনুপাত এবং র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির বিপরীতগুলি প্রায়শই সমস্যাযুক্ত। যা বোঝানো হচ্ছে তা হল প্রত্যাশা প্রায়শই বিদ্যমান থাকে না। এর কোন সাধারণ, সাধারণ ব্যাখ্যা আছে কি?

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন
সূত্র

25

আমি খুব সহজ, স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যা দিতে চাই would এটি কোনও ছবি দেখার মতোই: এই পোস্টের বাকী অংশটি চিত্রটি ব্যাখ্যা করে এবং এ থেকে সিদ্ধান্তে পৌঁছে।

এখানে যা নেমে আসে তা এখানে: নিকটে যখন "সম্ভাব্যতা ভর" কেন্দ্রীভূত হয় তখন কাছাকাছি খুব বেশি সম্ভাবনা দেখা দেয় যার ফলে এর প্রত্যাশা অপরিবর্তিত থাকে। $X=0$ $1/X\approx \pm \infty$

সম্পূর্ণরূপে সাধারণ হওয়ার পরিবর্তে, উপর র্যান্ডম ভেরিয়েবল এর ফোকাস দিন একটানা ঘনত্বের আছে একটি আশেপাশে । ধরুন । দৃশ্যত, এই শর্তগুলির অর্থ চারপাশের অক্ষের উপরে এর গ্রাফ রয়েছে : $X$ $f_X$ $0$ $f_X(0)\ne 0$ $f$ $0$

আশেপাশে এর ধারাবাহিকতা করে যে কোনও ধনাত্মক উচ্চতা জন্য চেয়ে কম এবং যথেষ্ট ছোট , আমরা এই গ্রাফের নীচে একটি আয়তক্ষেত্রটি বের করতে পারি যা চারপাশে কেন্দ্রিক , প্রস্থ এবং উচ্চতা , হিসাবে দেখানো হয়েছে। এটি অভিন্ন বিতরণ (ওজন weight ) এবং যা কিছু অবশিষ্ট রয়েছে এর মিশ্রণ হিসাবে মূল বন্টনকে প্রকাশ করার সাথে সম্পর্কিত । $f_X$ $0$ $p$ $f_X(0)$ $\epsilon$ $x=0$ $2\epsilon$ $p$ $p\times 2\epsilon=2p\epsilon$

অন্য কথায়, আমরা মনে হতে পারে নিম্নলিখিত পদ্ধতিতে উদ্ভূত হিসাবে: $X$

সম্ভাব্যতা 2 , ইউনিফর্ম বিতরণ থেকে একটি মান আঁকুন । $2p\epsilon$ $(-\epsilon,\epsilon)$
তা না হলে, বিতরণ যার ঘনত্ব সমানুপাতিক থেকে একটি মান আঁকা । (এটি ডানদিকে হলুদ রঙে আঁকা ফাংশন)) $f_X - p I_{(-\epsilon,\epsilon)}$

( সূচক ফাংশন।) $I$

পদক্ষেপ দেখায় যে যে কোনও এবং মধ্যে ছাড়িয়ে যাওয়ার সুযোগ রয়েছে । সমতুল্যভাবে, এই সুযোগ যে অতিক্রম করে । এটি অন্যভাবে রাখার জন্য : এর বেঁচে থাকা ফাংশনের জন্য লিখুন $(1)$ $0 \lt u \lt \epsilon$ $X$ $0$ $u$ $p u / 2$ $1/X$ $1/u$ $S$ $1/X$

S (x) = Pr (1 / X > x),

$S(x) = \Pr(1/X \gt x),$

ছবিতে সমস্ত জন্য দেখানো হয়েছে । $S(x) \gt p / (2x)$ $x \gt 1/\epsilon$

আমরা এখনই সম্পন্ন করেছি, কারণ এই প্রত্যাশাটি অপরিজ্ঞাত। $S$ , এর ধনাত্মক অংশের প্রত্যাশা গণনা করার সাথে জড়িত অখণ্ডগুলির তুলনা করুন : $1/X$ $(1/X)_{+} = \max(0, 1/X)$

E [(1 / X)_{+}] = \int_{0}^{\infty} S (x) d x > \int_{1 / ϵ}^{x} S (x) d x > \int_{1 / ϵ}^{x} \frac{p}{2 x} d x = \frac{p}{2} \log (x ϵ) .

$E[(1/X)_{+}] = \int_0^\infty S(x)dx \gt \int_{1/\epsilon}^x S(x)dx \gt \int_{1/\epsilon}^x \frac{p}{2x}dx = \frac{p}{2} \log(x\epsilon).$

(এটি নিখুঁত জ্যামিতিক যুক্তি: প্রতিটি অবিচ্ছেদ্য একটি সনাক্তকারী দ্বি-মাত্রিক অঞ্চলকে উপস্থাপন করে এবং সমস্ত অসমতাগুলি সেই অঞ্চলের মধ্যে কঠোর অন্তর্ভুক্তি থেকে উদ্ভূত হয়। প্রকৃতপক্ষে, আমাদের চূড়ান্ত অবিচ্ছেদ্য একটি লোগারিদমও জানা দরকার: সরল জ্যামিতিক রয়েছে এই অবিচ্ছেদ্য প্রসার দেখানো যুক্তি।)

যেহেতু ডান দিকটি হিসাবে , ডাইভারেজ করে। এর নেতিবাচক অংশের পরিস্থিতি একই রকম (কারণ আয়তক্ষেত্র কেন্দ্রিক ) এবং একই যুক্তি বিভক্ত হওয়ার নেতিবাচক অংশের প্রত্যাশা দেখায় । ফলস্বরূপ এর প্রত্যাশা নিজেই অপরিজ্ঞাত। $x\to\infty$ $E[(1/X)_{+}]$ $1/X$ $0$ $1/X$ $1/X$

উল্লেখ্য, একই যুক্তি শো যে যখন সম্ভাব্যতা ঘনীভূত হয়েছে একপাশে এর (কম আকৃতির মাপদণ্ড সঙ্গে কোনো ধরনের সূচকীয় বা গামা বন্টন হিসাবে, ), তারপর এখনও ইতিবাচক প্রত্যাশা অপসারী কিন্তু নেতিবাচক প্রত্যাশা শূন্য। এই ক্ষেত্রে প্রত্যাশা করা হয় সংজ্ঞায়িত কিন্তু অসীম নয়। $X$ $0$ $1$

— whuber
সূত্র

3

ফলাফলের জন্য অনুমান করা কি সন্দেহের মধ্যে আমি ঠিক আছি ? আমি বলতে চাইছি, আমাদের এমন কেস রয়েছে যেখানে এর অন্তত কিছু পরিসীমা জড়িত প্যারামিটারের জন্য মুহূর্ত থাকে এবং এটি প্রদর্শিত হয় যে এটি , গামা / বিপরীত-গামার মতো

f_{X} (0) \neq 0

$f_X(0)\neq 0$

1 / X

$1/X$

f_{X} (0) = 0

$f_X(0) = 0$

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

3

@ অ্যালোকোস নো, অনুমানটি গুরুত্বপূর্ণ নয়। এটি এবং এ এর ধারাবাহিকতা আর্গুমেন্টটিকে সহজ করে তোলে তবে দুটোই অপরিহার্য নয়। একটি কথা বিবেচনা ঘনত্ব সমানুপাতিক করতে জন্য এবং । এটি এ অবিচ্ছিন্ন তবে এর কোনও প্রত্যাশা নেই।

f

$f$

0

$0$

X

$X$

f_{X}

$f_X$

- 1 / \log (x)

$-1/\log(x)$

0 < x < 1 / e

$0 \lt x \lt 1/e$

f_{X} (0) = 0

$f_X(0)=0$

0

$0$

1 / X

$1/X$

— হোবার

15

অনুপাত এবং বিপরীতমুখীগুলি nonnegative র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির সাথে বেশিরভাগ অর্থবহ, তাই আমি অবশ্যই অবশ্যই ধরে নেব । তারপরে, যদি একটি পৃথক পরিবর্তনশীল হয় যা মান শূন্যকে ধনাত্মক সম্ভাবনার সাথে নিয়ে যায়, তবে আমরা ইতিবাচক সম্ভাবনার সাথে শূন্যের সাথে বিভক্ত হব, যা কেন এর প্রত্যাশা থাকবে না তা ব্যাখ্যা করে । $X \ge 0$ $X$ $1/X$

সাথে অবিচ্ছিন্ন ডিস্ট্রিবিউশন ঘনত্ব ফাংশন সহ একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল । আমরা ধরে নেব যে এবং অবিচ্ছিন্ন (কমপক্ষে শূন্যে)। তারপর সেখানে একটা হয় যেমন যে জন্য । প্রত্যাশিত মান দেওয়া হয় এখন ইন্টিগ্রেশনের ভেরিয়েবলটিকে পরিবর্তন করতে পারি, আমাদের কাছে , প্রাপ্ত $X \ge 0$ $f(x)$ $f(0)>0$ $f$ $\epsilon > 0$ $f(x) > \epsilon$ $0 \le x < \epsilon$ $1/X$

E \frac{1}{X} = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} f (x) d x

$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} \E \frac1{X} = \int_0^\infty \frac1{x} f(x)\; dx$

u = 1 / x

$u=1/x$

d u = - \frac{1}{x^{2}} d x

$du = -\frac1{x^2} \; dx$

E \frac{1}{X} = - \int_{\infty}^{0} u f (\frac{1}{u}) (\frac{1}{u})^{2} d u = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{u} f (\frac{1}{u}) d u

$\E \frac1{X} = -\int_{\infty}^0 u f(\frac1{u}) (\frac1{u})^2 \; du = \\ \int_0^\infty \frac1{u} f(\frac1{u}) \; du$ এখন, ধৃষ্টতা দ্বারা উপর তাই উপর , ব্যবহার করে এই আমরা আছে যে প্রত্যাশা বিদ্যমান নেই। এই অনুমানটি পূরণ করার একটি উদাহরণ হ'ল হার 1 সহ সূচকীয় বিতরণ।

f (u) > ϵ

$f(u) > \epsilon$

[0, ϵ)

$[0,\epsilon)$

f (\frac{1}{u}) > 1 / ϵ

$f(\frac1{u}) > 1/\epsilon$

(1 / ϵ, \infty)

$(1/\epsilon, \infty)$

E \frac{1}{X} > ϵ \int_{1 / ϵ}^{\infty} \frac{1}{u} d u = \infty

$\E \frac1{X} > \epsilon \int_{1/\epsilon}^\infty \frac1{u}\; du =\infty$

আমরা বিপরীতদের জন্য একটি উত্তর দিয়েছি, অনুপাত সম্পর্কে কী? দুটি ননজেটিভ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের অনুপাত হতে দিন Let যদি তারা স্বতন্ত্র থাকে তবে আমরা তাই এটি বেশ কিছুটা প্রথম ক্ষেত্রে হ্রাস পায় এবং বলার মতো নতুন কিছু নেই । তারা যদি নির্ভরশীল হয় তবে যৌথ ঘনত্বের ফ্যাক্টরিং হিসাবে পরে আমরা পাই (উপরের মতো একই বিকল্প ব্যবহার করে) এবং আমরা অভ্যন্তরীণ অবিচ্ছেদ্য উপর হিসাবে উপরে কারণ হতে পারে। ফলাফলটি হবে যে শর্তযুক্ত ঘনত্ব (প্রদত্ত $Z=Y/X$

E Z = E \frac{Y}{X} = E Y \cdot E \frac{1}{x}

$\E Z = \E\frac{Y}{X}=\E Y \cdot \E\frac1{x}$

f (x, y) = f (x ∣ y) g (y)

$f(x,y) = f(x \mid y) g(y)$

E \frac{Y}{X} = \int_{0}^{\infty} y \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} f (x ∣ y) d x g (y) d y = \int_{0}^{\infty} y \int_{0}^{\infty} \frac{1}{u} f (\frac{1}{u} ∣ y) d u g (y) d y

$\E \frac{Y}{X} = \int_0^\infty y \int_0^\infty \frac1{x} f(x\mid y) \; dx \;g(y)\; dy = \\ \int_0^\infty y \int_0^\infty \frac1{u} f(\frac1{u}\mid y) \; du \; g(y) \; dy$

y

$y$ ), ইতিবাচক ও শূন্য এ অবিচ্ছিন্ন একটি সেট জন্য 'ইতিবাচক প্রান্তিক সম্ভাব্যতা সঙ্গে গুলি, প্রত্যাশা অসীম হতে হবে। আমি অনুমান করি যে যেখানে এর প্রান্তিক প্রত্যাশা অসীম সেখানে উদাহরণগুলি খুঁজে পাওয়া সহজ হবে না তবে নিখুঁত পারস্পরিক সম্পর্ক না থাকলে অনুপাতের প্রত্যাশা সীমাবদ্ধ। এরকম কয়েকটি উদাহরণ দেখে ভালো লাগবে!

y

$y$

1 / X

$1/X$

Y / X

$Y/X$

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন
সূত্র