যৌথ বন্টন গাউসিয়ান নয় এমন গাউসিয়ান এলোমেলো ভেরিয়েবলের জুড়ি রাখা কি সম্ভব?

চাকরির একটি সাক্ষাত্কারে কেউ আমাকে এই প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করেছিল এবং আমি জবাব দিয়েছিলাম যে তাদের যৌথ বন্টন সর্বদা গাউসিয়ান। আমি ভেবেছিলাম যে আমি সর্বদা তাদের উপায় এবং বৈকল্পিকতা এবং সমবায়িকাগুলি সহ একটি বিভাজন গাউসিয়ান লিখতে পারি। আমি ভাবছি যে এমন কোনও মামলা হতে পারে যার জন্য দুটি গাউসিয়ানির যৌথ সম্ভাবনা গাউসিয়ান নয়?

— MarkSAlen
সূত্র

উইকিপিডিয়া থেকে অন্য একটি উদাহরণ । অবশ্যই, যদি ভেরিয়েবলগুলি স্বতন্ত্র এবং প্রান্তিক গাউসিয়ান হয় তবে তারা যৌথভাবে গাউসিয়ান।

একটি উদাহরণ এখানে wu.ece.ufl.edu/books/math/probability/jointlyga Persian.pdf

— স্টাফেন লরেন্ট

উত্তর:

138

বিভাজনে সাধারণ বিতরণ ব্যতিক্রম , নিয়ম নয়!

এটি স্বীকার করতে যে "প্রায় সব" স্বাভাবিক marginals সঙ্গে যৌথ ডিস্ট্রিবিউশন হয় গুরুত্বপূর্ণ না bivariate স্বাভাবিক বন্টন। এটি হ'ল সাধারণ দৃষ্টিভঙ্গি যে সাধারণ প্রান্তিকের সাথে যৌথ বন্টন যা দ্বিবিভক্ত সাধারণ নয় কোনওভাবে "প্যাথলজিকাল" হয়, এটি কিছুটা বিভ্রান্তিকর।

অবশ্যই, লিনিয়ার ট্রান্সফর্মেশনগুলির অধীনে স্থিতিশীলতার কারণে মাল্টিভারিয়েট স্বাভাবিকটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ এবং তাই অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে বেশিরভাগ মনোযোগ গ্রহণ করে।

উদাহরণ

এটি কয়েকটি উদাহরণ দিয়ে শুরু করা দরকারী। নীচের চিত্রে ছয় bivariate ডিস্ট্রিবিউশন, এর heatmaps রয়েছে সব যার আদর্শ স্বাভাবিক marginals আছে। উপরের সারির বাম এবং মাঝের অংশগুলি বিভাজনযুক্ত স্বাভাবিক, বাকিগুলি (স্পষ্ট হওয়া উচিত) নয়। সেগুলি আরও নীচে বর্ণিত হয়েছে।

মানক প্রান্তিক প্রান্তিকের সাথে দ্বিখণ্ডিত বিতরণের উদাহরণ।

কোপুলার খালি হাড়

নির্ভরতার বৈশিষ্ট্যগুলি প্রায়শই কপুলাস ব্যবহার করে দক্ষতার সাথে বিশ্লেষণ করা হয় । একজন bivariate যোজক ইউনিট বর্গক্ষেত্র উপর একটি সম্ভাব্যতা বিতরণের মাত্র একটি অভিনব নাম সঙ্গে অভিন্ন marginals। $[0,1]^2$

ধরুন একটি বিভাজন কোপুলা। তারপরে উপরের দিকের সাথে সাথেই আমরা জানি যে উদাহরণস্বরূপ , এবং , উদাহরণস্বরূপ। $C(u,v)$ $C(u,v) \geq 0$ $C(u,1) = u$ $C(1,v) = v$

আমরা ইউক্যালিডিয়ান বিমানটিতে বিভাজনীয় কপুলার একটি সাধারণ রূপান্তর দ্বারা প্রাক নির্ধারিত প্রান্তিকের সাথে বিভাজনে র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি তৈরি করতে পারি । এবং এক জোড়া এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য প্রান্তিক বিতরণ নির্ধারিত করা যাক । তারপরে, যদি হয় বিভাজন কোপুলা, $F_1$ $F_2$ $(X,Y)$ $C(u,v)$

F (x, y) = C (F_{1} (x), F_{2} (y))

$F(x,y) = C(F_1(x), F_2(y))$ প্রান্তিক

এবং

সহ একটি দ্বিবিভক্ত বিতরণ ফাংশন । এই শেষ ঘটনাটি দেখার জন্য, কেবলমাত্র নোট করুন একই যুক্তি জন্য কাজ করে ।

F_{1}

$F_1$

F_{2}

$F_2$

P (X \leq x) = P (X \leq x, Y < \infty) = C (F_{1} (x), F_{2} (\infty)) = C (F_{1} (x), 1) = F_{1} (x) .

$\renewcommand{\Pr}{\mathbb P} \Pr(X \leq x) = \Pr(X \leq x, Y < \infty) = C(F_1(x), F_2(\infty)) = C(F_1(x),1) = F_1(x) \>.$

F_{2}

$F_2$

অবিচ্ছিন্ন এবং , স্কারার উপপাদ্য একটি কথোপকথন বোঝানো স্বতন্ত্রতা জোর দেয়। অর্থাত্, ক্রমাগত প্রান্তিক , সহ দ্বিখণ্ডিত বিতরণ , সংশ্লিষ্ট কপুলা অনন্য (উপযুক্ত পরিসরের স্থানে)। $F_1$ $F_2$ $F(x,y)$ $F_1$ $F_2$

দ্বিখণ্ডিত স্বাভাবিক ব্যতিক্রমী

স্কলার এর উপপাদ্য আমাদের (মূলত) বলে যে এখানে কেবল একটি কোপুলা রয়েছে যা দ্বিবিভক্ত স্বাভাবিক বিতরণ উত্পাদন করে। এটি যথাযথভাবে নামকরণ করা হয়েছে, এর ঘনত্ব রয়েছে এমন গাউসিয়ান কপুলা যেখানে লব পারস্পরিক সম্পর্ক সঙ্গে bivariate সাধারন বন্টনের হয় এ মূল্যায়ন এবং । $[0,1]^2$

c_{ρ} (u, v) := \frac{\partial^{2}}{\partial u \partial v} C_{ρ} (u, v) = \frac{φ_{2, ρ} (Φ^{- 1} (u), Φ^{- 1} (v))}{φ (Φ^{- 1} (u)) φ (Φ^{- 1} (v))},

$c_\rho(u,v) := \frac{\partial^2}{\partial u \partial v} C_\rho(u,v) = \frac{\varphi_{2,\rho}(\Phi^{-1}(u),\Phi^{-1}(v))}{\varphi(\Phi^{-1}(u)) \varphi(\Phi^{-1}(v))} \>,$

ρ

$\rho$

Φ^{- 1} (u)

$\Phi^{-1}(u)$

Φ^{- 1} (v)

$\Phi^{-1}(v)$

তবে, এখানে প্রচুর অন্যান্য কপুলা রয়েছে এবং এগুলির সবকটি স্বাভাবিক প্রান্তিকের সাথে দ্বিখণ্ডিত বিতরণ দেবে যা পূর্ববর্তী বিভাগে বর্ণিত রূপান্তরটি ব্যবহার করে দ্বিপদস্যু স্বাভাবিক নয় ।

উদাহরণে কিছু বিশদ

মনে রাখবেন যে যদি ঘনত্ব সহ নির্বিচারে কোপুলা হয় তবে রূপান্তর হয় $C(u,v)$ $c(u,v)$ $F(x,y) = C(\Phi(x),\Phi(y))$

f (x, y) = φ (x) φ (y) c (Φ (x), Φ (y)) .

$f(x,y) = \varphi(x) \varphi(y) c(\Phi(x), \Phi(y)) \> .$

নোট করুন যে উপরের সমীকরণে গাউসিয়ান কপুলা প্রয়োগ করে আমরা দ্বিবিভক্ত স্বাভাবিক ঘনত্ব পুনরুদ্ধার করি। তবে, এর অন্য কোনও পছন্দের জন্য , আমরা তা করব না। $c(u,v)$

চিত্রের উদাহরণগুলি নিম্নরূপভাবে নির্মিত হয়েছিল (প্রতিটি সারি পেরিয়ে একবারে একটি কলাম):

স্বতন্ত্র উপাদানগুলির সাথে বিভায়ারেট স্বাভাবিক।
Iv সহ স্বাভাবিক । $\rho = -0.4$
উদাহরণস্বরূপ এই উত্তর দেওয়া এর দিলীপ Sarwate । এটি সহজেই কোপুলা দ্বারা ঘনত্ব দ্বারা প্ররোচিত হতে দেখা যায় । । $C(u,v)$ $c(u,v) = 2 (\mathbf 1_{(0 \leq u \leq 1/2, 0 \leq v \leq 1/2)} + \mathbf 1_{(1/2 < u \leq 1, 1/2 < v \leq 1)})$
প্যারামিটার দিয়ে ফ্রাঙ্ক কপুলা থেকে উত্পন্ন । $\theta = 2$
ক্লেটন কপুলা থেকে প্যারামিটার দিয়ে উত্পন্ন । $\theta = 1$
প্যারামিটার দিয়ে ক্লেটন কপুলার একটি অসম্পূর্ণ পরিবর্তন থেকে উত্পন্ন । $\theta = 3$

— মৌলিক
সূত্র

দ্বিপাক্ষিক স্বাভাবিক ঘনত্ব ব্যতিক্রমী ক্ষেত্রে যে মন্তব্য জন্য +1!

— দিলীপ সরোতে

হতে পারে আমি কিছু মিস করছি, তবে আমরা যদি , তবে যৌথ বন্টন স্বয়ংক্রিয়ভাবে কোনও কোপুলা নির্মাণের সাথে সংজ্ঞায়িত করা হয়, এবং যদি আমরা একটি অ- গাউসিয়ান কপুলা নির্মাণ তাদের সিডিএফগুলিতে, এটি সত্য যে আমরা একটি গাউসিয়ান সিডিএফ পাব, তবে সাধারণভাবে এই ফাংশনটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের জোড়ার সিডিএফ হবে না আমরা শুরু করেছি, ডান ?

X_{1}, X_{2} \sim N (0, 1)

$X_1, X_2\sim\mathcal N(0,1)$

(X_{1}, X_{2})

$(X_1, X_2)$

F (x_{1}, x_{2})

$F(x_1,x_2)$

X_{,} X_{2}

$X_, X_2$

— র্যান্ডমগুই

নীচের ডান প্যানেলে যেমন অনুকরণ করা যায় তার উদাহরণ: library(copula) kcf <- khoudrajiCopula(copula2 = claytonCopula(6), shapes = fixParam(c(.4, 1), c(FALSE, TRUE))) # force normal margins evil <- mvdc(kcf, c("norm", "norm"), list(list(mean = 0, sd =1), list(mean = 0, sd = 1))) contour(evil, dMvdc, xlim = c(-3, 3), ylim=c(-3, 3))

— অর্ধ-পাস করুন

@ র্যান্ডমগুই, আপনি একটি অস্তিত্বহীন অনুমানটি হারিয়েছেন যে । যদি আপনি ধরে নেন যে তারা স্বাধীন, তবে হ্যাঁ, আপনি ইতিমধ্যে যৌথ বিতরণটি জানেন। স্বাধীনতা অনুমান ব্যতীত, প্রান্তিক বিতরণগুলি জেনে যৌথ বিতরণ নির্দিষ্ট করার জন্য পর্যাপ্ত তথ্য দেয় না।

X_{1}, X_{2} \sim i n d e p e n d e n t N (0, 1)

$X_1, X_2 \sim independent N(0, 1)$

— মেন্ট্যাটঅফডুন

এটি সত্য যে একটি মাল্টিভারিয়েট স্বাভাবিক ভেক্টরের প্রতিটি উপাদান নিজেই সাধারণত বিতরণ করা হয় এবং আপনি তাদের উপায় এবং প্রকরণগুলি কেটে নিতে পারেন। তবে এটি সত্য নয় যে কোনও দুটি গাসিয়ান র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি যৌথভাবে সাধারণভাবে বিতরণ করা হয়। এখানে একটি উদাহরণ:

সম্পাদনা করুন: দিয়ে একটি সাধারণ বিতরণযোগ্য ভেরিয়েবল হিসাবে একটি বিন্দু ভর হিসাবে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হিসাবে বিবেচনা করা যায় যে theকমত্যের জবাবে , আমি আমার উদাহরণটি পরিবর্তন করছি। $\sigma^2=0$

যাক দিন যেখানে একটি হল দৈব চলক। এটি হ'ল, সম্ভাব্যতার সাথে , সম্ভাব্যতা । $X \sim N(0,1)$ $Y = X \cdot (2B-1)$ $B$ ${\rm Bernoulli}(1/2)$ $Y = \pm X$ $1/2$

আমরা প্রথমে দেখাই যে একটি সাধারণ বন্টন রয়েছে। $Y$ দ্বারা মোট সম্ভাবনা আইন ,

P (Y \leq y) = \frac{1}{2} (P (Y \leq y | B = 1) + P (Y \leq y | B = 0))

$P(Y \leq y) = \frac{1}{2} \Big( P(Y \leq y | B = 1) + P(Y \leq y | B = 0) \Big)$

পরবর্তী,

P (Y \leq y | B = 0) = P (- X \leq y) = 1 - P (X \leq - y) = 1 - Φ (- y) = Φ (y)

$P(Y \leq y | B = 0) = P(-X \leq y) = 1-P(X \leq -y) = 1-\Phi(-y) = \Phi(y)$

যেখানে হ'ল মানক সিডিএফ । একইভাবে, $\Phi$

P (Y \leq y | B = 1) = P (X \leq y) = Φ (y)

$P(Y \leq y | B = 1) = P(X \leq y) = \Phi(y)$

অতএব,

P (Y \leq y) = \frac{1}{2} (Φ (y) + Φ (y)) = Φ (y)

$P(Y \leq y) = \frac{1}{2} \Big( \Phi(y) + \Phi(y) \Big) = \Phi(y)$

সুতরাং, এর সিডিএফ হ'ল , এভাবে । $Y$ $\Phi(\cdot)$ $Y \sim N(0,1)$

এখন আমরা দেখাই যে যৌথভাবে সাধারণত বিতরণ করা হয় না। $X,Y$ @ কার্ডিনাল হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছে যে মাল্টিভারিয়েট স্বাভাবিকের একটি বৈশিষ্ট্য হ'ল এর উপাদানগুলির প্রতিটি লিনিয়ার সংমিশ্রণটি সাধারণত বিতরণ করা হয়। থেকে এই সম্পত্তি নেই $X,Y$

Y + X = {\begin{cases} 2 X & if B = 1 \\ 0 & if B = 0. \end{cases}

$Y+X = \begin{cases} 2X &\mbox{if } B = 1 \\ 0 & \mbox{if } B = 0. \end{cases}$

সুতরাং হ'ল একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল এবং 0 এ একটি পয়েন্ট ভর এর মিশ্রণ , সুতরাং এটি সাধারণত বিতরণ করা যায় না। $Y+X$ $50/50$ $N(0,4)$

— ম্যাক্রো
সূত্র

আমি এই উত্তরের সাথে একমত নই একটি অধ: পতিত বিন্দু ভর এ সাধারণত শূন্য ভ্যারিয়েন্স সঙ্গে একটি অধ: পতিত গসিয়ান দৈব চলক বলে মনে করা হয়। এছাড়াও, সামান্য ধারাবাহিক হলেও যৌথভাবে অবিচ্ছিন্ন নয়। দুই একটি উদাহরণ জন্য যৌথভাবে একটানা র্যান্ডম ভেরিয়েবল যে সীমিতভাবে গসিয়ান কিন্তু যৌথভাবে গসিয়ান নয়, উদাহরণস্বরূপ, শেষ অর্ধে দেখতে এই উত্তর ।

1

$1$

μ

$\mu$

(X, - X)

$(X, -X)$

— দিলিপ সরোতে

@ দিলিপ সরওয়াতে, প্রশ্নটি ছিল দুটি ভেরিয়েবলের একটি উদাহরণ (যদি উপস্থিত থাকে) যা সাধারণত বিতরণ করা হয় তবে তাদের যৌথ বিতরণ মাল্টিভারিয়েট স্বাভাবিক নয়। এটি একটি উদাহরণ। সাধারণ বিতরণের বেশিরভাগ স্ট্যান্ডার্ড সংজ্ঞা (যেমন উইকিপিডিয়া en.wikedia.org/wiki/Normal_distribration ) এর বৈকল্পিকতা কঠোরভাবে ইতিবাচক হওয়া আবশ্যক, সুতরাং সাধারণ বিতরণের পরিবারের অংশ হিসাবে একটি পয়েন্ট ভরকে অন্তর্ভুক্ত না করে।

— ম্যাক্রো

মাল্টিভারিয়েট গাউসির একটি মানসম্পন্ন বৈশিষ্ট্যটি হ'ল ari মাল্টিভারিয়েট গাউসিয়ান যদি এবং কেবল যদি গৌসিয়ান হয় সমস্ত ।@ ডিলিপ ইঙ্গিত হিসাবে, এটি উদাহরণস্বরূপ এটি সত্য কিনা তা বিবেচনা করা উচিত।

X \in R^{n}

$X \in \mathbb R^{n}$

a^{T} X

$a^T X$

a \in R^{n}

$a \in \mathbb R^n$

— কার্ডিনাল

যেহেতু আপনি আপাত আপত্তি যুক্তিসঙ্গততার কাছে ;-) পছন্দ করেন না, তবে কর্তৃপক্ষের কাছে আবেদনগুলি কীভাবে হবে? (এটি একটি রসিকতা, যদি তা স্পষ্ট না হয়।) আমি ঠিক ঘটনাক্রমে ঘটলাম যখন আমি অন্য কিছু সন্ধান করছিলাম: উদাহরণ 2.4 , জিএএফ সেবারের পৃষ্ঠা 22 এবং এজে লি, লিনিয়ার রিগ্রেশন অ্যানালাইসিস , ২ য়। এডি।, উইলে এটি উদ্ধৃত হয়েছে: "যাক ig এবং ... সুতরাং th ম্যাথবিএফ একটি বহুবিধ সাধারণ বিতরণ রয়েছে" "

Y \sim N (μ, σ^{2})

$Y \sim \mathcal N(\mu,\sigma^2)$

Y^{'} = (Y, - Y)

$\mathbf Y' = (Y, -Y)$

Y

$\mathbf Y$

— কার্ডিনাল

সংজ্ঞা সম্পর্কে আলোচনা। স্পষ্টতই, যদি সংজ্ঞা অনুসারে কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের প্রয়োজন হয় অ-একবচন ম্যাক্রো একটি উদাহরণ সরবরাহ করে তবে এটি আরও উদার সংজ্ঞা অনুসারে উদাহরণ নয় যা @ কার্ডিনাল খুব উল্লেখ করে refers আরও উদার সংজ্ঞাটি পছন্দ করার একটি ভাল কারণ হ'ল সাধারণ ভেরিয়েবলগুলির সমস্ত লিনিয়ার রূপান্তরগুলি স্বাভাবিক are বিশেষত, সাধারণ ত্রুটির সাথে লিনিয়ার রিগ্রেশনে অবশিষ্টাংশগুলির একটি যৌথ সাধারণ বিতরণ থাকে তবে কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স একবচন হয়।

— এনআরএইচ

কেবলমাত্র মূল ধারণাটি দিতে এবং আপনাকে শুরু করতে নীচের পোস্টটিতে একটি প্রমাণের একটি রূপরেখা রয়েছে ।

যাক দুটি স্বাধীন গসিয়ান র্যান্ডম ভেরিয়েবল হতে হবে এবং দিন হতে $z = (Z_1, Z_2)$ $x = (X_1, X_2)$

x = (\begin{matrix} X_{1} \\ X_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} α_{11} Z_{1} + α_{12} Z_{2} \\ α_{21} Z_{1} + α_{22} Z_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} α_{11} & α_{12} \\ α_{21} & α_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix} Z_{1} \\ Z_{2} \end{matrix}) = A z .

$x = \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{11} Z_1 + \alpha_{12} Z_2\\ \alpha_{21} Z_1 + \alpha_{22} Z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12}\\ \alpha_{21} & \alpha_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Z_1 \\ Z_2 \end{pmatrix} = A z.$

প্রতিটি , তবে তারা উভয় একই স্বতন্ত্র r.vs এর লিনিয়ার সংমিশ্রণ হিসাবে, তারা যৌথভাবে নির্ভরশীল। $X_i \sim N(\mu_i, \sigma_i^2)$

সংজ্ঞা r.vs এক জোড়া বলা হয় bivariate হতে স্বাভাবিকভাবে বিতরণ iff এটি একটি রৈখিক সমন্বয় হিসেবে লেখা যেতে পারে স্বাধীন স্বাভাবিক r.vs এর । $x = (X_1, X_2)$ $x = Az$ $z = (Z_1, Z_2)$

লেমা যদি একটি দ্বিখণ্ডিত গাউসিয়ান হয় তবে এগুলির সাথে অন্য কোনও রৈখিক সংমিশ্রণটি আবার একটি সাধারণ এলোমেলো পরিবর্তনশীল। $x = (X_1, X_2)$

প্রুফ । তুচ্ছ, কাউকে আপত্তি না করার জন্য এড়িয়ে গেছে।

সম্পত্তি যদি হয় তবে সেগুলি স্বাধীন এবং তদ্বিপরীত। $X_1, X_2$

বিতরণ $X_1 | X_2$

ধরুন পূর্বের মতো একই গাউসিয়ান r.vs তবে ধরা যাক তাদের সরলতার জন্য ইতিবাচক বৈকল্পিক এবং শূন্য গড় রয়েছে। $X_1, X_2$

যদি দ্বারা বিস্তৃত উপ-স্থান হয় তবে এবং । $\mathbf S$ $X_2$ $X_1^{\mathbf S} = \frac{\rho \sigma_{X_1}}{\sigma_{X_2}} X_2$ $X_1^{\mathbf S^\perp} = X_1 - X_1^{\mathbf S}$

$X_1$ এবং এর লিনিয়ার সংমিশ্রণ , সুতরাং খুব বেশি। তারা সম্মিলিতভাবে গাউসিয়ান, অসামঞ্জস্যযুক্ত (এটি প্রমাণ করুন) এবং স্বতন্ত্র। $X_2$ $z$ $X_2, X_1^{\mathbf S^\perp}$

পচানি সঙ্গে ঝুলিতে

X_{1} = X_{1}^{S} + X_{1}^{S^{⊥}}

$X_1 = X_1^{\mathbf S} + X_1^{\mathbf S^\perp}$

E [X_{1} | X_{2}] = \frac{ρ σ_{X_{1}}}{σ_{X_{2}}} X_{2} = X_{1}^{S}

$\mathbf{E}[X_1 | X_2] = \frac{\rho \sigma_{X_1}}{\sigma_{X_2}} X_2 = X_1^{\mathbf S}$

\begin{aligned} V [X_{1} | X_{2}] & = V [X_{1}^{S^{⊥}}] \\ = E {[X_{1} - \frac{ρ σ_{X_{1}}}{σ_{X_{2}}} X_{2}]}^{2} \\ = (1 - ρ)^{2} σ_{X_{1}}^{2} . \end{aligned}

$\begin{split} \mathbf{V}[X_1 | X_2] &= \mathbf{V}[X_1^{\mathbf S^\perp}] \\ &= \mathbf{E} \left[ X_1 - \frac{\rho \sigma_{X_1}}{\sigma_{X_2}} X_2 \right]^2 \\ &= (1 - \rho)^2 \sigma^2_{X_1}. \end{split}$

তারপরে

X_{1} | X_{2} \sim N (X_{1}^{S}, (1 - ρ)^{2} σ_{X_{1}}^{2}) .

$X_1 | X_2 \sim N\left( X_1^{\mathbf S}, (1 - \rho)^2 \sigma^2_{X_1} \right).$

দুটি অবিচ্ছিন্ন গাউসিয়ান এলোমেলো ভেরিয়েবল শর্তযুক্ত এবং গাউসিয়ানও। $X, Y$ $X | Y$ $Y|X$

— আনুষঙ্গিক
সূত্র

এই পর্যবেক্ষণটি প্রশ্নের উত্তর কীভাবে দেয় তা স্পষ্ট নয়। যেহেতু পণ্য বিধিটি কার্যত শর্তসাপেক্ষ বিতরণের সংজ্ঞা, তাই এটি দ্বিবিক বিতরণের বিশেষ নয়। পরবর্তী বিবৃতি "তারপরে ক্রম ..." কোনও কারণ প্রদান করে না: ঠিক কেন শর্তাধীন বিতরণগুলিও স্বাভাবিক হতে হবে?

— হোয়বার

হুঁশি, আমি মূল প্রশ্নের উত্তর দিচ্ছি: "আমি ভাবছি যে এমন কোনও মামলা হতে পারে যার জন্য দুটি গাউসিয়ানির যৌথ সম্ভাবনা গাউসিয়ান নয়?"। সুতরাং, উত্তরটি হ'ল: যখন শর্তযুক্ত স্বাভাবিক থাকে না। - আনুষঙ্গিক

— সহায়ক

আপনি কি এই বিক্ষোভ সম্পূর্ণ করতে পারেন? এখনই এটি আপনার পক্ষে কেবল একটি প্রমাণ, কোনও প্রমাণ নেই। এটি মোটেই স্পষ্ট নয় যে এটি সঠিক। এটিও অসম্পূর্ণ, কারণ আপনার অস্তিত্ব প্রতিষ্ঠা করা দরকার: এটি হ'ল যৌথ বন্টনের পক্ষে স্বাভাবিক প্রান্তিকের উপস্থিতি পাওয়া সম্ভব তবে এটির জন্য কমপক্ষে একটি শর্তসাপেক্ষ অস্বাভাবিক স্বাভাবিক। এখন প্রকৃতপক্ষে এটি তুচ্ছ সত্য, কারণ আপনি দ্বি-দ্বারীয় প্রতিটি শর্তসাপেক্ষ বিতরণকে তার প্রান্তিক পরিবর্তন না করে শূন্যের একটি পরিমাপের ব্যবস্থায় অবাধে পরিবর্তন করতে পারেন - তবে এই সম্ভাবনাটি আপনার দাবির বিরোধিতা করবে বলে মনে হয়।

— whuber

হাই @ ভুবার, আমি আশা করি এটি আরও সাহায্য করবে। আপনার কি কোন পরামর্শ বা সম্পাদনা আছে? আমি খুব তাড়াতাড়ি লিখেছিলাম যেহেতু এই মুহুর্তে আমি অতিরিক্ত ফাঁকা সময় পাই না :-) তবে আপনি যে কোনও পরামর্শ বা উন্নতি করতে পারেন তা আমি মূল্যবান করব। শ্রেষ্ঠ

— আনুষঙ্গিক

(1) আপনি কি প্রমাণ করার চেষ্টা করছেন? (2) কারণ প্রশ্ন জিজ্ঞেস যখন গসিয়ান marginals সঙ্গে একটি বন্টন হয় না যৌথভাবে গসিয়ান, আমি কিভাবে এই যুক্তি প্রাসঙ্গিক কিছু নেতৃত্ব দিচ্ছে দেখতে পাচ্ছি না।

— whuber