এলএন [ই (এক্স)]> ই [এলএন (এক্স)] কেন?

Question

আমরা একটি ফিনান্স কোর্সে লগন্যালমাল ডিস্ট্রিবিউশন নিয়ে কাজ করছি এবং আমার পাঠ্যপুস্তকটি কেবলমাত্র এটি সত্য বলেছে যে আমার গণিতের পটভূমি খুব শক্তিশালী না হওয়ায় আমি হতাশার মতো দেখতে পাই তবে আমি অন্তর্দৃষ্টি চাই। কেহ আমাকে দেখাতে পারে কেন এই ঘটনা?

Comments

ইতিমধ্যে এখানে জবাব দেওয়া হয়েছে: math.stackexchange.com/questions/21063/…

— লাকসান নাথান

$\ln$ একটি অবতল ফাংশন। : দেখুন জেনসেন বৈষম্য en.wikipedia.org/wiki/Jensen%27s_inequality

— kjetil খ halvorsen

ইনাথান: ওহ দুঃখিত আমি যখন সন্ধান করছিলাম তখন আমি তা পাইনি।

— চিজক

Answer 1

মনে রাখবেন যে$e^x\geq 1+x$

$E\left[e^{Y}\right]=e^{ E(Y)} E\left[e^{Y- E(Y)}\right]\geq e^{E(Y)} E\left[1+{Y- E(Y)}\right] = e^{E(Y)}$

সুতরাং$e^{E(Y)}\leq E\left[e^{Y}\right]$

এখন , আমাদের কাছে রয়েছে:$Y=\ln X$

$e^{E(\ln X)}\leq E\left[e^{\ln X}\right]=E(X)$

এখন উভয় পক্ষের লগ নিন

$E[\ln (X)]\leq\ln[E(X)]$

---

বিকল্পভাবে:

$\ln X = \ln X - \ln \mu+\ln\mu \qquad$ (যেখানে )$\mu=E(X)$

$\qquad= \ln(X/\mu)+\ln \mu$

$\qquad= \ln[ \frac{X-\mu}{\mu} + 1]+\ln \mu$

$\qquad \leq \frac{X-\mu}{\mu} + \ln \mu\qquad$ (যেহেতু )$\ln(t+1)\leq t$

এখন উভয় পক্ষের প্রত্যাশা নিন:

$E[\ln(X)] \leq \ln\mu$

---

একটি চিত্র (জেনসেনের বৈষম্যের সংযোগ দেখানো):

( এখানে এক্স এবং ওয়াইয়ের ভূমিকাগুলি একে অপরের সাথে পরিবর্তিত হয়েছে যাতে তারা প্লটের অক্ষগুলির সাথে মিলে যায়; আরও ভাল পরিকল্পনা তাদের উপরের ভূমিকাগুলি বদলে দিতে পারত তাই প্লটটি আরও বীজগণিতের সাথে সরাসরি মিলছে ))

শক্ত বর্ণের রেখাগুলি প্রতিটি অক্ষের অর্থ উপস্থাপন করে।

আমরা দেখতে কারণ সম্পর্ক "নুয়ে দিকে" মাঝখানে (এবং "থেকে দূরে" ), গড় (কমলা অনুভূমিক রেখা) বক্ররেখা (ছোট ফাঁক দান আঘাত আগে আরও একটু বরাবর যায় (নীল চিহ্নিত ) লগ (অর্থ (y)) এবং গড় (লগ (y)) এর মধ্যে যা আমরা দেখি$X$$Y$$Y$