যদি সসীম হয়, ?

অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল $X$ , $E(|X|)$ সীমাবদ্ধ হলে, $\lim_{n\to\infty}n P(|X|>n)=0$ ?

এটি ইন্টারনেটে আমি খুঁজে পেয়েছি এমন একটি সমস্যা, তবে আমি এটি নিশ্চিত করছি না এটি ধারণ করে কিনা।

আমি জানি যে $n P(|X|>n)<E(|X|)$ মার্কভ বৈষম্য দ্বারা ঝুলিতে, কিন্তু আমি প্রদর্শন করতে পারবে না এটি 0 যায় $n$ অনন্ত চলে যায়।

probability expected-value probability-inequalities

— 456 123
সূত্র

(1) ধারাবাহিকতা প্রয়োজন হয় না। (২) বেঁচে থাকার ক্রিয়াকলাপ

অবিচ্ছেদ্য হিসাবে প্রত্যাশাটি প্রকাশ করুন

Pr (| X | > n)

$\Pr(|X|\gt n)$ । (3) সংবেদনশীল বিবেচনা করুন: একটি ননজারো সীমাটি প্রত্যাশা সম্পর্কে কী বোঝায়?

— whuber

@ খুব ভাল ব্যায়াম! আমি মনে করি আমার একটি সঠিক উত্তর আছে, তবে যেহেতু self-studyএটির মতো দেখাচ্ছে তাই আমার মনে হয় না যে এটি এখানে লেখা উচিত। আমি কি একটি ব্যক্তিগত চ্যাট-রুম তৈরি করতে পারি এবং আমার সমাধানটি আপনাকে দেখাতে পারি, যাতে এটি সঠিক কিনা তা আপনি আমাকে বলতে পারেন?

— ডেল্টাভিও

@ ডেল্টা এটি এমন একটি ক্ষেত্রে যেখানে আপনার উত্তর পোস্ট করা আমার কাছে ভাল লাগবে: ওপিতে একটি নির্দিষ্ট সাব-প্রশ্ন রয়েছে এবং এটি হোমওয়ার্কের উত্তরের জন্য কেবল ট্রলিং হিসাবে দেখা যাচ্ছে না।

— শুক্র

@ যেহেতু এটি প্রাকৃতিক সংখ্যার তুলনায় অভিন্ন অস্তিত্বের অস্তিত্বের কথা মনে করিয়ে দেয় - এর অর্থ কি এই যে এখানে ধারাবাহিকতা প্রয়োজন নেই, গণনাযোগ্য সংযোজন কি ?

— বিল ক্লার্ক

উত্তর:

কেবল বৃহত্তর মান ধরে রেখে সংজ্ঞায়িত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্রম দেখুন |:এটি পরিষ্কার যে , সুতরাং নোট করুন যে এবংপ্রতিটি । সুতরাং (1) এর LHS দ্বারা শূন্য থাকে অধ্যুষিত অভিসৃতি । $\{Y_n\}$ $|X|$

Y_{n} := | X | I (| X | > n) .

$Y_n:=|X|I(|X|>n).$

Y_{n} \geq n I (| X | > n)

$Y_n\ge nI(|X|>n)$

\begin{matrix} (1) & E (Y_{n}) \geq n P (| X | > n) . \end{matrix}

$E(Y_n)\ge nP(|X|>n).\tag1$

Y_{n} \to 0

$Y_n\to0$

| Y_{n} | \leq | X |

$|Y_n|\le |X|$

n

$n$

— grand_chat
সূত্র

আমি মনে করি আপনি আপনার চূড়ান্ত বাক্যে "আরএইচএস" বলতে চাইছেন, অন্যথায়, ভাল কাজ!

— জবোম্যান 21

@ জাবোম্যান, এস / এর অর্থ আধিপত্য তত্ত্ব দ্বারা (নোট করুন যে কেবল এই সিদ্ধান্তে পৌঁছানোর পক্ষে যথেষ্ট নয়)। আমি উইকিপিডিয়ায়

E Y_{n} \to 0

$\mathbb{E}{Y_n} \to 0$

Y_{n} \to 0

$Y_n \to 0$

— ডিসিটির

@ পি। উইন্ড্রিজ - আমি যথেষ্ট যত্ন সহকারে পড়িনি, এবং পূর্ববর্তী বাক্যটির পরিবর্তে "সুতরাং এলএইচএস" সমীকরণ 1 এর সাথে যুক্ত করেছি। আমার খারাপ।

— জবোম্যান

নোট করুন যে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল। কী অর্থে?

Y_{n}

$Y_n$

Y_{n} \to 0

$Y_n\rightarrow 0$

— YHH

@ ওয়াইএইচএইচ রূপান্তরটি মূল দিকের: প্রতিটি , হিসাবে ।

ω

$\omega$

Y_{n} (ω) \to 0

$Y_n(\omega)\to0$

n \to \infty

$n\to\infty$

— গ্র্যান্ড_চ্যাট

আমি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য একটি উত্তর সরবরাহ করতে পারি (অবশ্যই আরও সাধারণ উত্তর আছে)। যাক: $Y=|X|$

E [Y] = \int_{0}^{\infty} y f_{Y} (y) d y = \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + \int_{n}^{\infty} y f_{Y} (y) d y \geq \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + n \int_{n}^{\infty} f_{Y} (y) d y = \dots + n (F_{Y} (\infty) - F_{Y} (n)) = \dots + n (1 - F_{Y} (n)) = \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + n P (Y > n)

$\mathbb{E}[Y]=\int_0^\infty yf_Y(y)\text{d}y=\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+\int_n^\infty yf_Y(y)\text{d}y\ge\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+n\int_n^\infty f_Y(y)\text{d}y=\dots+n\left(F_Y(\infty)-F_Y(n)\right)=\dots+n(1-F_Y(n))=\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+nP(Y\gt n)$

এইভাবে

0 \leq n P (Y > n) \leq (E [Y] - \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y)

$0\leq nP(Y\gt n)\le\left(\mathbb{E}[Y]-\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y\right)$

এখন, যেহেতু হাইপোথিসিস দ্বারা সীমাবদ্ধ তাই আমাদের তা আছে $\mathbb{E}[Y]$

lim_{n \to \infty} (E [Y] - \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y) = E [Y] - lim_{n \to \infty} \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y = E [Y] - E [Y] = 0

$\lim_{n\to \infty}\left(\mathbb{E}[Y]-\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y\right)=\mathbb{E}[Y]-\lim_{n\to \infty}\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y=\mathbb{E}[Y]-\mathbb{E}[Y]=0$

তারপর

lim_{n \to \infty} n P (Y > n) = 0

$\lim_{n\to \infty}nP(Y\gt n)=0$

স্যান্ডউইচ উপপাদ্য দ্বারা।

— DeltaIV
সূত্র

@ পি। উইন্ড্রিজ আপনি দয়া করে পরীক্ষা করতে পারেন যে আমার প্রভাবিত অভিযোজিত উপপাদ্যটিও সঠিক? আমার একটি পরিমাণ আছে, , যা ননজিটিভ নয় এবং এমন পরিমাণের চেয়ে বেশি নয় যার সীমা 0, সুতরাং আমার আবেদনের ক্ষেত্রে উপপাদ্য। ধন্যবাদ

n P (Y > n)

$nP(Y>n)$

lim_{n \to \infty} n P (Y > n) = 0

$\lim_{n\to\infty}nP(Y>n)=0$

— ডেল্টাভিও

@ ডেল্টাআইভি- প্রথমে স্পষ্ট করার জন্য, " এবং ইঙ্গিত দেয় " উপপাদ্য নয় (সাধারণত এটি স্যান্ডউইচ উপপাদ্য বলা হয়)।

a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}

$a_n \le b_n \le c_n$

a_{n}, c_{n} \to l

$a_n, c_n \to l$

b_{n} \to l

$b_n\to l$

— পি.বাইন্ড্রিজে

@ ডেল্টাআইভি- না, আপনার ডিসিটি লাগবে না, এমসিটি যথেষ্ট (এতে সম্ভাবনা রয়েছে যে th , তবে তারপরে আপনি say বলতে পারবেন না !)

E Y = \infty

$\mathbb{E} Y = \infty$

E Y - E Y = \infty - \infty = 0

$\mathbb{E} Y -\mathbb{E} Y = \infty - \infty = 0$

— পি.বাইন্ড্রিজে

সমস্যা নেই. বিটিডব্লু, আমি জানি অনুমান দ্বারা সীমাবদ্ধ, আমি কেবল এটি ব্যাখ্যা করছি যে আপনি কোথায় এই অনুমানটি ব্যবহার করেন (এমসিটি নিজেই এটির প্রয়োজন হয় না, এটি ডিসিটির বিপরীতে, যা @ গ্র্যান্ড_চ্যাট ব্যবহার করেছে এবং আমি আশা করি আপনি আপনার দিকে তাকিয়েছিলেন :))।

E [Y]

$E[Y]$

— পি.বাইন্ড্রিজে

@ পি। উইন্ড্রিজ আহ, ঠিক আছে! আমি খেয়াল করিনি যে এমসিটি-র অনুমানের প্রয়োজন নেই। ডিসিটির দিকে আমার নজর ছিল, সে কারণেই আমি ভেবেছিলাম আমার প্রুফের জন্য আমার এটির দরকার নেই :) আমি বিশ্ববিদ্যালয়ে লেবেসগু ইন্টিগ্রেশন সম্পর্কে শেখানো হয়নি বলে মূল্য পরিশোধ করি ... এই কারণে, আমি অভ্যস্ত সম্ভাবনার ক্যালকুলাসকে পিডিএফ-এর ক্ষেত্রে করুন, পরিবর্তে ব্যবস্থার শর্ত না করে।

— ডেল্টাভিউ

$E\left | X \right |< \infty \Leftrightarrow E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\rightarrow 0$ (অভিন্নভাবে সংহত)

$E\left | X \right |=E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}+E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |\leq n}$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\leq E\left | X \right |< \infty$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\geq nE\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}=nP\left ( \left | X \right |>n\right )$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n} \rightarrow 0 \Rightarrow nP\left ( \left | X \right |>n\right )\rightarrow 0 \Rightarrow P\left ( \left | X \right |>n\right )\rightarrow 0$

যেমন $\underset{n\rightarrow \infty}{\lim} P\left ( \left | X \right |>n\right )=0$

— Aldehu
সূত্র