কাঙ্ক্ষিত অবিচ্ছেদ্য নিষ্ঠুর দ্বারা জালিয়াতি বল প্রয়োগ দ্বারা জমা করা যেতে পারে; এখানে, আমরা পরিবর্তে কিছুটা আরও সম্ভাব্য স্বাদযুক্ত একটি বিকল্প ডেরাইভেশন দেওয়ার চেষ্টা করি।
দিন X∼Exp(k,λ) অবস্থানের প্যারামিটার সহ একটি ননসেন্ট্রাল এক্সফোনেনশিয়াল এলোমেলো পরিবর্তনশীল হোন k>0 এবং রেট প্যারামিটার λ। তারপরX=Z+k কোথায় Z∼Exp(λ)।
মনে রাখবেন যে log(X/k)≥0এবং তাই, নন-নেগেটিভ এলোমেলো ভেরিয়েবলের প্রত্যাশা গণনার জন্য একটি স্ট্যান্ডার্ড ফ্যাক্ট ব্যবহার করে ,
Elog(X/k)=∫∞0P(log(X/k)>z)dz=∫∞0P(Z>k(ez−1))dz.
কিন্তু,
P(Z>k(ez−1))=exp(−λk(ez−1)) চালু
z≥0 থেকে
Z∼Exp(λ) এবং তাই
Elog(X/k)=eλk∫∞0exp(−λkez)dz=eλk∫∞λkt−1e−tdt,
যেখানে সর্বশেষ সাম্য বিকল্পটি অনুসরণ করে from
t=λkez, ঐ রকম কিছ না
dz=dt/t।
সর্বশেষ প্রদর্শনের ডান হাতের আকারে অবিচ্ছেদ্য মাত্র Γ(0,λk) সংজ্ঞা দ্বারা এবং তাই
ElogX=eλkΓ(0,λk)+logk,
প্রশ্নটির মন্তব্যে
@ প্রলাইনেটরের গণিত গণনা
দ্বারা নিশ্চিত হয়েছে confirmed
এনবি : সমতুল্য স্বরলিপিE1(x) এছাড়াও প্রায়শই স্থানে ব্যবহৃত হয় Γ(0,x)।