ননসেন্ট্রাল ঘনঘটিত বিতরণের প্রত্যাশিত লগ মান

অনুমান করা $X$ স্থানবিহীনভাবে কেন্দ্রীয়ভাবে বিতরণ করা হয় $k$ এবং হার $\lambda$ । তাহলে, কী $E(\log(X))$ ।

আমি এটা জানি $k=0$ , উত্তরটা হচ্ছে $-\log(\lambda) - \gamma$ কোথায় $\gamma$ অয়লার-মাসেরোনি ধ্রুবক। কখন কী হবে $k > 0$ ?

mean expected-value integral

— নীল জি
সূত্র

আপনি কি গাণিতিককে সংহত করার চেষ্টা করেছেন?

আমি অনুমান করি

k > 0

$k > 0$ (যখন ঘনত্ব হিসাবে লেখা হয়

λ \exp {- λ (x - k)}

$\lambda \exp\{-\lambda(x-k)\}$ ,) অন্যথায়

x < 0

$x < 0$ সম্ভাব্যতা সহ> 0, এর জন্য ভয়ঙ্কর পরিণতি সহ

E \log x

$\mathbb{E}\log x$ ।

— জোবোম্যান

আমি পেয়েছি

E [\log (X)] = e^{k λ} Γ (0, k λ) + \log (k)

${\mathbb E}[\log(X)]=e^{k\lambda}\Gamma(0,k\lambda)+\log(k)$ । Assumptionsপ্যারামিটার স্পেস নির্দিষ্ট করার জন্য আপনি যদি কমান্ডটি ব্যবহার করেন তবে ম্যাথমেটিকা দ্রুত হয় ।

উপরের অসম্পূর্ণ গামা ফাংশনটি কি বদ্ধ ফর্ম হিসাবে গণনা করা হয় ? (আমার কাছে, এটি হয় না)) এটি স্বচ্ছলভাবে স্বরলিপিটির মাধ্যমে একটি অবিচ্ছেদ্য গোপন করছে।

— কার্ডিনাল

@ নীলজি এটি ম্যাথমেটিকা কোড Integrate[Log[x + k]*\[Lambda]*Exp[-\[Lambda]*x], {x, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> k > 0 && \[Lambda] > 0]। আপনি কেবল এটি অনুলিপি এবং একটি .nb ফাইলে পেস্ট করতে পারেন। আমি নিশ্চিত না যে ওল্ফ্রাম আলফা বিধিনিষেধ সহ অন্তর্ভুক্তির অনুমতি দেয় কিনা।

কাঙ্ক্ষিত অবিচ্ছেদ্য নিষ্ঠুর দ্বারা জালিয়াতি বল প্রয়োগ দ্বারা জমা করা যেতে পারে; এখানে, আমরা পরিবর্তে কিছুটা আরও সম্ভাব্য স্বাদযুক্ত একটি বিকল্প ডেরাইভেশন দেওয়ার চেষ্টা করি।

দিন $X \sim \mathrm{Exp}(k,\lambda)$ অবস্থানের প্যারামিটার সহ একটি ননসেন্ট্রাল এক্সফোনেনশিয়াল এলোমেলো পরিবর্তনশীল হোন $k > 0$ এবং রেট প্যারামিটার $\lambda$ । তারপর $X = Z + k$ কোথায় $Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$ ।

মনে রাখবেন যে $\log(X/k) \geq 0$ এবং তাই, নন-নেগেটিভ এলোমেলো ভেরিয়েবলের প্রত্যাশা গণনার জন্য একটি স্ট্যান্ডার্ড ফ্যাক্ট ব্যবহার করে ,

E \log (X / k) = \int_{0}^{\infty} P (\log (X / k) > z) d z = \int_{0}^{\infty} P (Z > k (e^{z} - 1)) d z .

$\newcommand{\e}{\mathbb E}\newcommand{\rd}{\mathrm d}\renewcommand{\Pr}{\mathbb P} \e \log(X/k) = \int_0^\infty \Pr(\log(X/k) > z)\,\rd z = \int_0^\infty \Pr(Z > k(e^z - 1)) \,\rd z \>.$ কিন্তু,

P (Z > k (e^{z} - 1)) = \exp (- λ k (e^{z} - 1))

$\Pr(Z > k(e^z -1)) = \exp(-\lambda k(e^z - 1))$ চালু

z \geq 0

$z \geq 0$ থেকে

Z \sim E x p (λ)

$Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$ এবং তাই

E \log (X / k) = e^{λ k} \int_{0}^{\infty} \exp (- λ k e^{z}) d z = e^{λ k} \int_{λ k}^{\infty} t^{- 1} e^{- t} d t,

$\e \log(X/k) = e^{\lambda k} \int_0^\infty \exp(-\lambda k e^z) \, \rd z = e^{\lambda k} \int_{\lambda k}^\infty t^{-1} e^{-t} \,\rd t \>,$ যেখানে সর্বশেষ সাম্য বিকল্পটি অনুসরণ করে from

t = λ k e^{z}

$t = \lambda k e^z$ , ঐ রকম কিছ না

d z = d t / t

$\rd z = \rd t / t$ ।

সর্বশেষ প্রদর্শনের ডান হাতের আকারে অবিচ্ছেদ্য মাত্র $\Gamma(0,\lambda k)$ সংজ্ঞা দ্বারা এবং তাই

E \log X = e^{λ k} Γ (0, λ k) + \log k,

$\e \log X = e^{\lambda k} \Gamma(0,\lambda k) + \log k \>,$ প্রশ্নটির মন্তব্যে @ প্রলাইনেটরের গণিত গণনা দ্বারা নিশ্চিত হয়েছে confirmed

এনবি : সমতুল্য স্বরলিপি $\mathrm E_1(x)$ এছাড়াও প্রায়শই স্থানে ব্যবহৃত হয় $\Gamma(0,x)$ ।

— মৌলিক
সূত্র

+1 @ মিশেল চেরনিক দেখে মনে হচ্ছে সবাই অলস নয়;)।

এটি সত্যিই দুর্দান্ত। আমি এটি প্রয়োগকারী যে কারও পক্ষে কেবল উল্লেখ করতে চাই যে অসম্পূর্ণ গামা ফাংশনটির অনেকগুলি বাস্তবায়ন প্রথম পরামিতিটিকে কঠোরভাবে ইতিবাচক হতে সীমাবদ্ধ করে। পরিচয়

Γ (0, z) = - Ei (- z)

$\Gamma(0, z) = -\operatorname{Ei}(-z)$ যে সামান্য সমস্যা সমাধান করে।

— নীল জি