ননসেন্ট্রাল ঘনঘটিত বিতরণের প্রত্যাশিত লগ মান


9

অনুমান করা X স্থানবিহীনভাবে কেন্দ্রীয়ভাবে বিতরণ করা হয় k এবং হার λ। তাহলে, কীE(log(X))

আমি এটা জানি k=0, উত্তরটা হচ্ছে log(λ)γ কোথায় γঅয়লার-মাসেরোনি ধ্রুবক। কখন কী হবেk>0?


আপনি কি গাণিতিককে সংহত করার চেষ্টা করেছেন?

4
আমি অনুমান করি k>0 (যখন ঘনত্ব হিসাবে লেখা হয় λexp{λ(xk)},) অন্যথায় x<0 সম্ভাব্যতা সহ> 0, এর জন্য ভয়ঙ্কর পরিণতি সহ Elogx
জোবোম্যান

2
আমি পেয়েছি E[log(X)]=ekλΓ(0,kλ)+log(k)Assumptionsপ্যারামিটার স্পেস নির্দিষ্ট করার জন্য আপনি যদি কমান্ডটি ব্যবহার করেন তবে ম্যাথমেটিকা ​​দ্রুত হয় ।

4
উপরের অসম্পূর্ণ গামা ফাংশনটি কি বদ্ধ ফর্ম হিসাবে গণনা করা হয় ? (আমার কাছে, এটি হয় না)) এটি স্বচ্ছলভাবে স্বরলিপিটির মাধ্যমে একটি অবিচ্ছেদ্য গোপন করছে।
কার্ডিনাল

2
@ নীলজি এটি ম্যাথমেটিকা ​​কোড Integrate[Log[x + k]*\[Lambda]*Exp[-\[Lambda]*x], {x, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> k > 0 && \[Lambda] > 0]। আপনি কেবল এটি অনুলিপি এবং একটি .nb ফাইলে পেস্ট করতে পারেন। আমি নিশ্চিত না যে ওল্ফ্রাম আলফা বিধিনিষেধ সহ অন্তর্ভুক্তির অনুমতি দেয় কিনা।

উত্তর:


11

কাঙ্ক্ষিত অবিচ্ছেদ্য নিষ্ঠুর দ্বারা জালিয়াতি বল প্রয়োগ দ্বারা জমা করা যেতে পারে; এখানে, আমরা পরিবর্তে কিছুটা আরও সম্ভাব্য স্বাদযুক্ত একটি বিকল্প ডেরাইভেশন দেওয়ার চেষ্টা করি।

দিন XExp(k,λ) অবস্থানের প্যারামিটার সহ একটি ননসেন্ট্রাল এক্সফোনেনশিয়াল এলোমেলো পরিবর্তনশীল হোন k>0 এবং রেট প্যারামিটার λ। তারপরX=Z+k কোথায় ZExp(λ)

মনে রাখবেন যে log(X/k)0এবং তাই, নন-নেগেটিভ এলোমেলো ভেরিয়েবলের প্রত্যাশা গণনার জন্য একটি স্ট্যান্ডার্ড ফ্যাক্ট ব্যবহার করে ,

Elog(X/k)=0P(log(X/k)>z)dz=0P(Z>k(ez1))dz.
কিন্তু, P(Z>k(ez1))=exp(λk(ez1)) চালু z0 থেকে ZExp(λ) এবং তাই
Elog(X/k)=eλk0exp(λkez)dz=eλkλkt1etdt,
যেখানে সর্বশেষ সাম্য বিকল্পটি অনুসরণ করে from t=λkez, ঐ রকম কিছ না dz=dt/t

সর্বশেষ প্রদর্শনের ডান হাতের আকারে অবিচ্ছেদ্য মাত্র Γ(0,λk) সংজ্ঞা দ্বারা এবং তাই

ElogX=eλkΓ(0,λk)+logk,
প্রশ্নটির মন্তব্যে @ প্রলাইনেটরের গণিত গণনা দ্বারা নিশ্চিত হয়েছে confirmed

এনবি : সমতুল্য স্বরলিপিE1(x) এছাড়াও প্রায়শই স্থানে ব্যবহৃত হয় Γ(0,x)


4
+1 @ মিশেল চেরনিক দেখে মনে হচ্ছে সবাই অলস নয়;)।

এটি সত্যিই দুর্দান্ত। আমি এটি প্রয়োগকারী যে কারও পক্ষে কেবল উল্লেখ করতে চাই যে অসম্পূর্ণ গামা ফাংশনটির অনেকগুলি বাস্তবায়ন প্রথম পরামিতিটিকে কঠোরভাবে ইতিবাচক হতে সীমাবদ্ধ করে। পরিচয়Γ(0,z)=Ei(z)যে সামান্য সমস্যা সমাধান করে।
নীল জি
আমাদের সাইট ব্যবহার করে, আপনি স্বীকার করেছেন যে আপনি আমাদের কুকি নীতি এবং গোপনীয়তা নীতিটি পড়েছেন এবং বুঝতে পেরেছেন ।
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.