পিছনের দরজা এবং সম্মুখ-দরজা সমন্বয় দ্বারা কার্যকারিতা প্রভাব

আমরা যদি এর কার্যকারণ প্রভাব নিরূপণ করতে চেয়েছিলেন উপর নীচের কার্যকারণ গ্রাফ, আমরা উভয় ব্যাক ডোর সমন্বয় এবং ফ্রন্ট-ডোর সমন্বয় উপপাদ্য, অর্থাত্, ব্যবহার করতে পারেন $X$ $Y$

P (y | do (X = x)) = \sum_{u} P (y | x, u) P (u)

$P(y | \textit{do}(X = x)) = \sum_u P(y | x, u) P(u)$

এবং

P (y | do (X = x)) = \sum_{z} P (z | x) \sum_{x^{'}} P (y | x^{'}, z) P (x^{'}) .

$P(y | \textit{do}(X = x)) = \sum_z P(z | x) \sum_{x'} P(y|x', z)P(x').$

দুটি সামঞ্জস্যটি উপর এর একই কার্যকারণ প্রভাবকে পরিচালিত করে তা দেখানো কি কোনও সহজ হোমওয়ার্ক নয় ? $X$ $Y$

— Jae
সূত্র

এটি কি সত্যিকারের হোম ওয়ার্ক? তারপরে স্ব-অধ্যয়নের ট্যাগ যুক্ত করুন। তারপরে লোকেরা আপনাকে চিন্তাভাবনা (এবং শেখার) রেখে আপনাকে ইঙ্গিত দিতে পারে। আপনি কী চেষ্টা করেছেন এবং কোথায় আটকে আছেন তা আমাদের বলুন। মনে রাখবেন সিভি হোমওয়ার্ক আউটসোর্সিংয়ের জন্য নয় ...

— নর্পি

হাই নার্পি, এটি স্ব-অধ্যয়নের একটি অংশ এবং গৃহকর্ম নয়। আমি বর্তমানে পার্ল এট আল দ্বারা "পরিসংখ্যানের মধ্যে কার্যকারিতা" পড়ছি। এবং আমি উপরে জিজ্ঞাসা করা প্রশ্নটি সম্পর্কে প্রায় 1 ঘন্টা চিন্তা করে ব্যয় করুন, কারণ এটি জিজ্ঞাসা করা একটি স্বাভাবিক প্রশ্ন, তবে সমতাটি প্রদর্শন করতে পারেনি। হয় আমি এখানে কিছু মিস করছি, বা দুটি এক্সপ্রেশন সমান নয়।

— জায়ে

কর্ম পরিবর্তনশীল উপর একটি হস্তক্ষেপের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ বা এটির সাথে সেট $do(x)$ $X$ $x$ । আমরা যখন উপর হস্তক্ষেপ , এর মানে বাবা আর এর মান প্রভাবিত করে না, যা তীর নির্দেশিত সরানোর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ .So একটি নতুন DAG এই হস্তক্ষেপের প্রতিনিধিত্ব করি। $X$ $X$ $X$

আসুন আসল পর্যবেক্ষণমূলক বিতরণ এবং হস্তক্ষেপ-উত্তর বিতরণ । আমাদের লক্ষ্য প্রকাশ করতে পরিপ্রেক্ষিতে । লক্ষ্য করুন যে আমাদের সেই । এছাড়াও, পূর্ববর্তী হস্তক্ষেপ এবং পোস্টের অন্তর্বর্তী সম্ভাবনাগুলি এই দুটি আগ্রাসনটি ভাগ করে: এবং যেহেতু আমরা স্পর্শ করি নি আমাদের হস্তক্ষেপে সেই পরিবর্তনশীলগুলিতে প্রবেশকারী কোনও তীর। তাই: $P$ $P^*$ $P^*$ $P$ $P^*$ $U \perp X$ $P^*(U) = P(U)$ $P^*(Y|X, U) = P(Y|X, U)$

\begin{aligned} P (Y | d o (X)) & := P^{*} (Y | X) \\ = \sum_{U} P^{*} (Y | X, U) P^{*} (U | X) \\ = \sum_{U} P^{*} (Y | X, U) P^{*} (U) \\ = \sum_{U} P (Y | X, U) P (U) \end{aligned}

$\begin{aligned} P(Y|do(X)) &:= P^*(Y|X) \\ &=\sum_{U}P^*(Y|X, U)P^*(U|X)\\ &=\sum_{U}P^*(Y|X, U)P^*(U)\\ &=\sum_{U}P(Y|X, U)P(U) \end{aligned}$

সামনের দরজার ডাইরিভিশন কিছুটা বিস্তৃত। প্রথম লক্ষ করুন যে এবং মধ্যে কোনও বিভ্রান্তিকর নেই , তাই, $X$ $Z$

P (Z | d o (X)) = P (Z | X)

$P(Z|do(X)) = P(Z|X)$

এছাড়াও, ডু অর্জনের জন্য একই যুক্তি ব্যবহার করে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে জন্য নিয়ন্ত্রণ করা উপর এর প্রভাব অর্জনের জন্য যথেষ্ট , তা হ'ল $P(Y|do(X))$ $X$ $Z$ $Y$

P (Y | d o (Z)) = \sum_{X^{'}} P (Y | X^{'}, Z) P (X^{'})

$P(Y|do(Z)) = \sum_{X'}P(Y|X', Z) P(X')$

যেখানে আমি পরবর্তী অভিব্যক্তির জন্য স্বরলিপি সুবিধার জন্য ব্যবহার করছি। সুতরাং এই দুটি এক্সপ্রেশন ইতিমধ্যে প্রাক-হস্তক্ষেপ বিতরণের শর্তে রয়েছে এবং আমরা তা পূর্ববর্তী ব্যাকডোর যুক্তিগুলি সহজভাবে ব্যবহার করেছি।

গত টুকরা আমরা প্রয়োজন প্রভাব অনুমান করা হয় উপর প্রভাব মিশ্রন উপর এবং উপর । এটি করার জন্য, আমাদের গ্রাফে লক্ষ্য করুন , এর প্রভাব থেকে অন এর সম্পূর্ণরূপে দ্বারা মধ্যস্থতা করা হয় এবং হস্তক্ষেপের সময় থেকে এর পিছনের দিকটি অবরুদ্ধ করা হয় । অত: পর: $X$ $Y$ $Z$ $Y$ $X$ $Z$ $P(Y|Z, do(X)) = P(Y|do(Z), do(X)) = P(Y|do(Z))$ $X$ $Y$ $Z$ $Z$ $Y$ $X$

\begin{aligned} P (Y | d o (X)) & = \sum_{Z} P (Y | Z, d o (X)) P (Z | d o (X)) \\ = \sum_{Z} P (Y | d o (Z)) P (Z | d o (X)) \\ = \sum_{Z} \sum_{X^{'}} P (Y | X^{'}, Z) P (X^{'}) P (Z | X) \\ = \sum_{Z} P (Z | X) \sum_{X^{'}} P (Y | X^{'}, Z) P (X^{'}) \end{aligned}

$\begin{aligned} P(Y|do(X)) &= \sum_{Z} P(Y|Z, do(X))P(Z|do(X))\\ &= \sum_{Z} P(Y|do(Z))P(Z|do(X))\\ &= \sum_{Z} \sum_{X'}P(Y|X', Z) P(X')P(Z|X)\\ &= \sum_{Z}P(Z|X) \sum_{X'}P(Y|X', Z) P(X') \end{aligned}$

যেখানে নিম্নলিখিত উপায়ে বোঝা যায়: যখন আমি উপর হস্তক্ষেপ করি , তখন এর বন্টন পরিবর্তিত হয় ; তবে আমি আসলে তে হস্তক্ষেপ করছি তাই আমি জানতে চাই যে আমি যখন পরিবর্তন করি তখন একটি নির্দিষ্ট মান কতবার নেবে , যা । $\sum_{Z} P(Y|do(Z))P(Z|do(X))$ $Z$ $Y$ $P(Y|do(Z))$ $X$ $Z$ $X$ $P(Z|do(X))$

অতএব, দুটি সমন্বয় আপনাকে এই গ্রাফটিতে হস্তক্ষেপ পরবর্তী পোস্ট প্রদান করবে, যেমনটি আমরা দেখিয়েছি।

আপনার প্রশ্নটি আমার কাছে পুনরায় পড়ার পরে আপনি সরাসরি দেখাতে আগ্রহী হতে পারেন যে দুটি সমীকরণের ডান দিকটি প্রাক-হস্তক্ষেপমূলক বিতরণে সমান (যা আমাদের পূর্ববর্তী অনুকরণের ভিত্তিতে হওয়া উচিত)। এটি সরাসরি দেখাও কঠিন নয়। এটি আপনার ডিএজি তে দেখানোর পক্ষে যথেষ্ট:

\sum_{X^{'}} P (Y | Z, X^{'}) P (X^{'}) = \sum_{U} P (Y | Z, U) P (U)

$\sum_{X'}P(Y|Z, X') P(X') = \sum_{U}P(Y|Z, U) P(U)$

খেয়াল করুন ডিএজি দ্বারা এবং বোঝানো হয়েছে তারপরে: $Y \perp X|U, Z$ $U \perp Z|X$

\begin{aligned} \sum_{X^{'}} P (Y | Z, X^{'}) P (X^{'}) & = \sum_{X^{'}} (\sum_{U} P (Y | Z, X^{'}, U) P (U | Z, X^{'})) P (X^{'}) \\ = \sum_{X^{'}} (\sum_{U} P (Y | Z, U) P (U | X^{'})) P (X^{'}) \\ = \sum_{U} P (Y | Z, U) \sum_{X^{'}} P (U | X^{'}) P (X^{'}) \\ = \sum_{U} P (Y | Z, U) P (U) \end{aligned}

$\begin{aligned} \sum_{X'}P(Y|Z, X') P(X') &= \sum_{X'}\left(\sum_{U}P(Y|Z, X', U)P(U|Z, X') \right)P(X') \\ &= \sum_{X'}\left(\sum_{U}P(Y|Z, U)P(U| X') \right)P(X') \\ &= \sum_{U}P(Y|Z, U) \sum_{X'}P(U| X')P(X') \\ &= \sum_{U}P(Y|Z, U) P(U) \\ \end{aligned}$

অত: পর:

\begin{aligned} \sum_{Z} P (Z | X) \sum_{X^{'}} P (Y | X^{'}, Z) P (X^{'}) & = \sum_{Z} P (Z | X) \sum_{U} P (Y | Z, U) P (U) \\ = \sum_{U} P (U) \sum_{Z} P (Y | Z, U) P (Z | X) \\ = \sum_{U} P (U) \sum_{Z} P (Y | Z, X, U) P (Z | X, U) \\ = \sum_{U} P (Y | X, U) P (U) \end{aligned}

$\begin{aligned} \sum_{Z}P(Z|X) \sum_{X'}P(Y|X', Z) P(X') &= \sum_{Z}P(Z|X)\sum_{U}P(Y|Z, U) P(U)\\ &= \sum_{U}P(U)\sum_{Z}P(Y|Z, U)P(Z|X) \\ &= \sum_{U}P(U)\sum_{Z}P(Y|Z, X, U)P(Z|X, U) \\ &= \sum_{U}P(Y| X, U) P(U)\\ \end{aligned}$

— কার্লোস সিনেলি
সূত্র

এটি একটি খুব ভাল এবং সম্পূর্ণ উত্তর। আপনি সামনের দরজার মাধ্যমে কার্যকারণ প্রভাবটি সনাক্ত করতে পারেন, তবুও অনাবশ্যক (ওপি ইতিমধ্যে এটি সম্পন্ন করেছে এবং এটি সম্মুখ-দরজার উপপাদ্যটি থেকে সরাসরি অনুসরণ করে), এবং এটিতে একটি ভুলও রয়েছে: এখানে "মোটের কোনও আইন নেই" কার্যকারিতা জন্য সম্ভাব্যতা "। অর্থাৎ, সাধারণত সমান হয় না , বরং ডু ডু যা স্পষ্টতই আলাদা 87---৮৮ পৃষ্ঠায় বড় পার্ল বইটি দেখুন

P (Y | d o (X))

$P(Y|do(X))$

\sum_{Z} P (Y | d o (Z)) P (Z | d o (X)

$\sum_{Z}P(Y|do(Z))P(Z|do(X)$

\sum_{Z} P (Y | Z, d o (X)) P (Z | d o (X))

$\sum_{Z}P(Y|Z, do(X))P(Z|do(X))$

— জুলিয়ান শোয়সলার

@ জুলিয়ানশিউসলার এ কারণেই আমি বুঝতে পেরেছি যে "বোঝা যায়" বোঝার জন্য একটি উপায় হিসাবে, তবে আক্ষরিকভাবে এটি না বলে। সামনের দরজা ডেরাইভেশন সম্পর্কে এটি পরিষ্কার ছিল না যে ওপি কীভাবে এটি গ্রহণ করতে পারে জানত, সে কারণেই আমি এটি সেখানে রেখেছি।

— কার্লোস সিনেলি

দুর্দান্ত উত্তর। ধন্যবাদ, কার্লোস আপনার উত্তরের দ্বিতীয় অংশটি ঠিক আমি যা চেয়েছিলাম তা ছিল। আমার এখানে দুটি ফলো-আপ প্রশ্ন রয়েছে। 1) আপনি আপনার দ্বিতীয় উত্তরে বীজগণিতভাবে অভিব্যক্তিগুলি পরিচালনা করার জন্য কোন অনুসন্ধান কৌশলটি ব্যবহার করেছেন? (এক্সপ্রেশনগুলিতে যথেষ্ট পরিমাণে স্কুইং করে?) যেহেতু অনুসন্ধানের জায়গাটি বড়, আমি ভাবছি যে কীভাবে একটি অ্যালগরিদম লেখা যেতে পারে যাতে স্বয়ংক্রিয়ভাবে একই সিদ্ধান্তে আসতে সক্ষম হয়।

— জায়ে

2) আমার প্রথম অন্তর্নিহিতটি জুলিয়ানের পরামর্শ মতো বলে কীভাবে ব্যাখ্যা করতে পারি তা নিয়েও আমি বিভ্রান্ত But তবে পার্ল এট আল-এর বইটি আমি উল্লেখ করেছি আপনার অভিব্যক্তিটি ব্যবহার করে আমি ভাবছি, সাধারণত, কোনও নির্দেশিত শৃঙ্খলা তৈরি করার সময় যেখানে শুরু নোড কারণ এবং শেষ নোডটি প্রভাব হয়, প্রতিটি on এ শর্তযুক্ত করতে হবে এবং উপরে নয় , যেখানে শৃঙ্খলায় একটি অন্তর্বর্তী নোট

\sum_{z} P (Y | do (Z) P (Z | do (X))

$\sum_z P(Y|\textit{do}(Z)P(Z|\textit{do}(X))$

do (Z)

$\textit{do}(Z)$

Z

$Z$

Z

$Z$

— জায়ে

@ জিভাকা এটি ডিএজি-তে এনকোডেড একটি অনুমান যা এর ফ্যাক্টরীকরণ এবং এই ধারণাটি দ্বারা বোঝানো হয় যে সিস্টেমটি মডুলার, স্বায়ত্তশাসিত টুকরো দ্বারা গঠিত। সুতরাং, পরিবর্তনগুলি প্রভাব ফেলবে না । এটি ভাবতে সাহায্য করার একটি উপায় হ'ল (পর্যবেক্ষণী মডেল) এবং (ইন্টারভেনশনাল মডেল) উভয় মডেলের কাঠামোগত সমীকরণগুলি লিখে এবং তারপরে এবং অন্তর্নিহিত বিতরণগুলি অর্জন করা । আপনি দেখতে পাবেন যে এবং প্রদত্ত এবং উভয়ের শর্তসাপেক্ষ একই হবে।

P (X, U)

$P(X, U)$

P (Y | X, U)

$P(Y|X, U)$

M

$M$

M^{*}

$M^*$

P

$P$

P^{*}

$P^*$

Y

$Y$

X

$X$

U

$U$

— কার্লোস সিনেলি