মানক বিচ্যুতির উপর ত্রিকোণমিতিক ক্রিয়াকলাপ

সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির সংযোজন, বিয়োগ, গুণ এবং বিভাগ ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে ত্রিকোণমিত্রিক ক্রিয়াকলাপ সম্পর্কে কী বলা যায়?

উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক যে আমি দুটি ত্রিভুজযুক্ত (একটি ডান-কোণ ত্রিভুজ হিসাবে মডেল করা) দুটি মাত্রা $d_1$ এবং দিয়ে দুটি বিতরণ হিসাবে বর্ণনা করে একটি ত্রিভুজাকার কদলের কোণটি অনুসন্ধান করার চেষ্টা করছি । $d_2$

অন্তর্দৃষ্টি এবং সিমুলেশন উভয়ই আমাকে বলে দেয় যে ফলস্বরূপ বিতরণটি স্বাভাবিক, $\arctan\left(\frac{\text{mean}(d_1)}{\text{mean}(d_2)}\right)$ । তবে ফলাফলযুক্ত কোণটির বিতরণ গণনা করার কোনও উপায় আছে কি? আমি উত্তরটি কোথায় খুঁজে পাব?

(কিছুটা প্রসঙ্গে, আমি যান্ত্রিক অংশগুলির পরিসংখ্যানগত সহনশীলতা নিয়ে কাজ করছি My যদি আরও বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতির উপস্থিতি থাকতে পারে be)

— Bossykena
সূত্র

আপনি কি নিশ্চিত করতে পারেন যে (ক) ডি 1 এবং ডি 2 পার্শ্ব দৈর্ঘ্য (এবং কোণ নয়); (খ) আপনি যে উভয়টির মধ্যবর্তী কোণটি অনুমান করছেন এটি একটি সঠিক কোণ (অন্যথায় এটির সূত্র সন্দেহযুক্ত); এবং (গ) আপনি এই ডান ত্রিভুজটির অন্য একটি কোণ বিতরণে আগ্রহী? এছাড়াও, সম্ভবত, প্রতিটি দৈর্ঘ্যের বিতরণের এসডি এর প্রত্যাশার তুলনায় অনেক ছোট কারণ ত্রিভুজটি নেতিবাচক দিকের দৈর্ঘ্যের কোনও প্রশংসনীয় সম্ভাবনা না থাকা উচিত :-)।

— হোবার

সঠিক। আমি সমস্যাটি কিছুটা পরিষ্কার করার জন্য পুনরায় চাপ দিয়েছি। এবং হ্যাঁ, এসডিটি মাত্রাগুলির তুলনায় ছোট হবে small

— Bossykena

গুণন এবং সংযোজনের সূত্রগুলি ব্যবহার করে, আপনি টেলর সম্প্রসারণের চেষ্টা করতে পারেন।

আপনার দুর্দান্ত উত্তরগুলির জন্য উভয়কে ধন্যবাদ, যা (যতদূর আমি আমার সীমিত পরিসংখ্যানের দক্ষতার সাথে বলতে পারি) স্বজ্ঞাত এবং সাবলীল উভয়ই।

— Bossykena

উত্তর:

এই ব্যাখ্যা সালে ত্রিভুজ পাশ একটি সমকোণী ত্রিভুজ লেন্থ হয় এবং প্রত্যাশার সঙ্গে binormally বিতরণ এবং , স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন এবং , এবং পারস্পরিক সম্পর্ক । আমরা এর বিতরণ চাই । এই লক্ষ্যে, এবং মানিক করুন যাতে এটি $X$ $Y$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\rho$ $\arctan(Y/X)$ $X$ $Y$

এবং

X = σ_{x} ξ + μ_{x}

$X = \sigma_x \xi + \mu_x$

Y = σ_{y} η + μ_{y}

$Y = \sigma_y \eta + \mu_y$

সঙ্গে এবং পারস্পরিক সম্পর্ক সহ স্ট্যান্ডার্ড স্বাভাবিক variates $\xi$ $\eta$ $\rho$ । যাক একটি কোণের এবং সুবিধা লেখ হতে । তারপর $\theta$ $q = \tan(\theta)$

P [\arctan (Y / X) \leq θ] = P [Y \leq q X]

$\mathbb{P}[\arctan(Y/X) \le \theta] = \mathbb{P}[Y \le q X]$

= P [σ_{y} η + μ_{y} \leq q (σ_{x} ξ + μ_{x})

$=\mathbb{P}[\sigma_y \eta + \mu_y \le q \left( \sigma_x \xi + \mu_x \right)$

= P [σ_{y} η - q σ_{x} ξ \leq q μ_{x} - μ_{y}]

$=\mathbb{P}[\sigma_y \eta - q \sigma_x \xi \le q \mu_x - \mu_y]$

বাম দিকে, লম্ব একটি রৈখিক সমন্বয় হচ্ছে, স্বাভাবিক সঙ্গে গড় এবং ভ্যারিয়েন্স $\mu_y \sigma_y - q \mu_x \sigma_x$ । $\sigma_y^2 + q^2 \sigma_x^2 - 2 q \rho \sigma_x \sigma_y$

এই পরামিতিগুলির সাধারণ সিডিএফের পার্থক্য করা সম্মানের সাথে কোণটির পিডিএফ দেয়। অভিব্যক্তিটি মোটামুটি ভয়াবহ, তবে এর একটি মূল অংশ হ'ল ঘনিষ্ঠ $\theta$

\exp (- \frac{(μ_{y} (σ_{y} + 1) - μ_{x} (σ_{x} + 1) \tan (θ))^{2}}{2 (- 2 ρ σ_{x} σ_{y} \tan (θ) + σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} + \tan^{2} (θ))}),

$\exp \left(-\frac{\left(\mu _y \left(\sigma _y+1\right)-\mu _x \left(\sigma _x+1\right) \tan (\theta )\right){}^2}{2 \left(-2 \rho \sigma _x \sigma _y \tan (\theta )+\sigma _x^2+\sigma _y^2+\tan ^2(\theta )\right)}\right),$

তত্ক্ষণাৎ যে কোণ হয় দেখাচ্ছে না স্বাভাবিকভাবে বিতরণ করেন। যাইহোক, আপনার সিমুলেশনগুলি দেখায় এবং অন্তর্দৃষ্টি থেকে বোঝা যায়, পার্শ্ব দৈর্ঘ্যের প্রকরণগুলি দৈর্ঘ্যের তুলনায় নিজের তুলনায় এটির পরিমাণ কম হওয়া উচিত। এই ক্ষেত্রে একটি Saddlepoint পড়তা নির্দিষ্ট মানের জন্য ভাল ফলাফল উত্পাদ কর্তব্য , , $\mu_x$ $\mu_y$ , , এবং , যদিও একটি বদ্ধ-ফর্ম সাধারণ সমাধান পাওয়া যায় না। আনুমানিক স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি দ্বিতীয় ডেরাইভেটিভ (to এর প্রতি সম্মানের সাথে) খুঁজে পাওয়ার সাথে সাথেই নেমে আসবে $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\rho$ $\theta$ ) পিডিএফ এর লগারিদম (যেমন রেফারেন্সের সমীকরণ (2.6) এবং (3.1) এ দেখানো হয়েছে) আমি এটি চালানোর জন্য একটি কম্পিউটার বীজগণিত সিস্টেমের (যেমন ম্যাটল্যাব বা ম্যাথেম্যাটিকার) প্রস্তাব দিই!

— whuber
সূত্র

এটির বিতরণ হওয়ার কোনও সম্ভাবনা কখনও ছিল না। এটি একটি কোণ! এটি কেবলমাত্র

মান গ্রহণ করে ।

[- π, π)

$[-\pi, \pi)$

— রবি ম্যাককিলিয়াম

\leq

$\le$

\leq

$\le$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

2 π

$2\pi$

@YBE আমি সম্মত হই যে আমার অভিব্যক্তির শেষ "+" দেখে মনে হচ্ছে এটি এর অন্তর্ভুক্ত নয় - আমি টেক্স মার্কআপ পরিষ্কার করার সময় এটি পিছলে যেতে পারে। আমার কাছে কোনও রেফারেন্স নেই কারণ আমি নিজেকে ডেরিভেটিভ গণনা করেছি।

— শুক্র

আপনি বিজ্ঞপ্তি পরিসংখ্যান এবং বিশেষত একটি বৃত্তাকার বিতরণ প্রক্ষেপিত সাধারণ বন্টন বলা হয় ।

কোনও কারণে এই বিষয়টি গুগল করা একটু কঠিন হতে পারে তবে বিজ্ঞপ্তি সংক্রান্ত পরিসংখ্যান সম্পর্কিত দুটি প্রধান পাঠ্য হ'ল স্ট্যাটিস্টিকাল অ্যানালাইসিস অফ সার্কুলার ডেটা ফিশার এবং ডিরেক্টিয়া স্ট্যাটিস্টিকস মার্ডিয়া এবং জুপ দ্বারা।

পূর্বাভাসিত সাধারণ বিতরণের বিশদ বিশ্লেষণের জন্য মার্ডিয়া এবং জুপের পৃষ্ঠা 46 দেখুন। বিতরণের জন্য বদ্ধ ফর্ম এক্সপ্রেশন (ত্রুটি ফাংশন ইন্টিগ্রাল অবধি) রয়েছে এবং হুইবারের পরামর্শ অনুসারে, এটি যখন তার 'ভেরিয়েন্স' (এখানে সাবধানতা অবলম্বন করুন, বৃত্তের এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য তারতম্যের অর্থ কী? !) ছোট, অর্থাত্‍ যখন বিতরণটি এক পর্যায়ে (বা দিক বা কোণ) তে বেশ কেন্দ্রীভূত হয়।

— রবি ম্যাককিলিয়াম
সূত্র