গাউসীয় অনুপাত বিতরণ: ডেরিভেটিভস অন্তর্নিহিত এর এবং এস

Question

আমি দুটি স্বতন্ত্র সাধারণ বিতরণ এবং সাথে কাজ করছি যার অর্থ এবং এবং এবং ।$X$$Y$$\mu_x$$\mu_y$$\sigma^2_x$$\sigma^2_y$

আমি তাদের অনুপাতের বিতরণে আগ্রহী । আমরাও কিংবা , তাই শূন্য একটি গড় রয়েছে একটি কোশি যেমন বিতরণ করা হয় না।$Z=X/Y$$X$$Y$$Z$

আমাকে এর সিডিএফ খুঁজে পেতে হবে এবং তারপরে , , এবং সাথে সিডিএফের ডেরিভেটিভ নেওয়া ।$Z$$\mu_x$$\mu_y$$\sigma^2_x$$\sigma^2_y$

কেউ কি এমন একটি কাগজ জানেন যেখানে এইগুলি ইতিমধ্যে গণনা করা হয়েছে? নাকি আমি নিজে এটি করব?

আমি ১৯69৯ সালের একটি কাগজে সিডিএফের সূত্রটি পেয়েছি তবে এই ডেরাইভেটিভগুলি গ্রহণ করা অবশ্যই একটি বিশাল ব্যথা হবে be হয়তো কেউ ইতিমধ্যে এটি সম্পন্ন করেছেন বা সহজে কীভাবে এটি করবেন তা জানেন? আমার প্রধানত এই ডেরাইভেটিভগুলির লক্ষণগুলি জানতে হবে।

বেশিরভাগ ধনাত্মক হলে এই কাগজটিতে বিশ্লেষণাত্মকভাবে সরল আনুমানিকতাও রয়েছে । আমার এই সীমাবদ্ধতা থাকতে পারে না। তবে, সম্ভবত প্যারামিটারের সীমা ছাড়িয়েও সত্যিক ডেরাইভেটিভের সমান সংকেত থাকতে পারে?$Y$

Comments

আমি আপনার জন্য যুক্ত করেছি। আপনি "সিগমা" লিখেছেন তবে উল্লেখ করেছেন যে এগুলি রূপগুলি ছিল, তাই আমি তাদের সিগমা-স্কোয়ারে পরিণত করেছি। নিশ্চিত হয়ে নিন যে এটি এখনও জিজ্ঞাসা করতে চায় says $\TeX$

— গুং - মনিকা পুনরায়

en.wikedia.org/wiki/Ratio_distribration এর সম্ভাবনা ঘনত্বের কার্য রয়েছে।

— ডগলাস জারে

এটি উপরের কাগজের মতো একই পিডিএফ। আমি অন্তর্নিহিত মুস এবং সিগমাসের প্রতি শ্রদ্ধা রেখে সিডিএফের ডেরাইভেটিভ নেওয়ার চেষ্টা করছি।

— এবিসি

ডেভিড হিনকলে পিডিএফের সূত্রটি সম্পূর্ণ বন্ধ-ফর্মের মধ্যে রয়েছে in সুতরাং আপনি এই ডেরাইভেটিভগুলি নিতে পারেন, একবারে এক ধাপ। এ জাতীয় উপকরণগুলি করার বিষয়টি সম্পর্কে আমি কৌতূহলী, কারণ আসল সংখ্যাগুলির তুলনায় চিহ্নটি অবিচ্ছিন্নভাবে হওয়া উচিত কারণ নেই ...

— শিয়ান

@ এ বি সি আপনি এই কাগজের 1 সমীকরণে ঘনত্বটি খুঁজে পেতে পারেন । আমি কিছুক্ষণ আগে এটিতে কাজ করেছি এবং এটি হিঙ্কলির ফলাফল এবং মার্সাগলিয়ার ফলাফলের সাথে একমত । এটা তোলে পাশব বল হিসাবে ভাল ডগলাস Zare প্রস্তাব দেওয়া (আমি তা, শুধুমাত্র যদি আপনার পরামর্শ দিয়েছে যেমন দ্বারা অনুমিত করা যাবে সত্যিই এটা করতে প্রয়োজন)। $X/Y$

Answer 1

সম্পর্কিত কিছু কাগজপত্র:

উইকি: ` http://en.wikedia.org/wiki/Ratio_distribration

1. http://www.jstatsoft.org/v16/i04/

2. http://link.springer.com/article/10.1007/s00362-012-0429-2

3. http://mrvar.fdv.uni-lj.si/pub/mz/mz1.1/cedilnik.pdf

Comments

@ কোয়ান্টাম সাইটে আপনাকে স্বাগতম। আপনি কি এই কাগজপত্রগুলির একটি সংক্ষিপ্ত সংক্ষিপ্ত বিবরণ দেওয়ার বিষয়ে আপত্তি করবেন, যাতে পাঠকরা বিচার করতে পারেন যে তারা প্রতিটি খোলার ও না পড়েই তারা যা খুঁজছেন তা তারা কিনা?

— গুং - মনিকা পুনরায়

@ গুং হ্যাঁ, আমি মনে করি ... মজা করছি। এগুলি আমার জ্ঞানের সর্বোত্তমতম ঘনত্বের জন্য অভিব্যক্তি সম্বলিত এই বিষয়টির নবীনতম কাগজপত্র । বিষয়টি তেমন উত্তপ্ত নয়, সুতরাং আপনি সম্ভবত 2527 বছর এটি না পড়লে এই তালিকাটি আপ টু ডেট রয়েছে$Z=X/Y$

— কোয়ান্টাম

কোয়ান্টাম - এটি @ গুংয়ের উদ্বেগের সমাধান করে না। কেবলমাত্র লিঙ্ক-উত্তরগুলি গ্রহণযোগ্য হয় না। গুং জিজ্ঞাসা করেছে যে আপনি 'এই কাগজগুলির একটি সংক্ষিপ্ত সংক্ষিপ্ত বিবরণ' দিতে পারেন (অর্থ 'আপনার উত্তরে')। একটি মন্তব্যে আপনার সম্মিলিত বিবরণ যথেষ্ট নয়। দয়া করে প্রতিটি লিঙ্কের একটি সংক্ষিপ্ত বিবরণ দিন (সম্ভব হলে স্বতন্ত্রভাবে, সম্মিলিতভাবে নয়) যা আপনাকে এটি কেন অন্তর্ভুক্ত করেছে / কেন এটি প্রাসঙ্গিক তা নির্দেশ করে। যেহেতু এটি আপনার সম্ভাব্য দরকারী উত্তর ঝুঁকিকে একটি মন্তব্যে রূপান্তরিত করা হয়েছে - যেমনটি ইতিমধ্যে এই প্রশ্নের পূর্ববর্তী লিঙ্ক-কেবল প্রতিক্রিয়াগুলির সাথে ঘটেছে।

— গ্লেন_বি

অনুপাতের প্রত্যাশা কেন নেই তা আমি বুঝতে পারি না। যদি এবং যৌথভাবে শূন্যের চেয়ে পৃথক গড় দিয়ে বিতরণ করা হয় তবে জেড = এক্স এর গড়$X$$Y$ ∫∫xদ্বারা প্রদত্ত$Z = \frac{X}{Y}$, আমি কী মিস করছি? $\int \int \frac{x}{y} p \left( x, y \right) dx dy$

— রায়য়

আপনি যে অনুপস্থিত রয়েছেন তা হ'ল এর ঘনত্বটি নিরবচ্ছিন্ন এবং শূন্যের ধনাত্মক, যাতে ভারী লেজ উত্পন্ন হয় ...$y$

— কেজিটাল বি হালওয়ারসেন

Answer 2

গাণিতিকের মতো প্রতীকী গণিত প্যাকেজটি ব্যবহার করার বিষয়ে বিবেচনা করুন, যদি আপনার কাছে লাইসেন্স থাকে, বা সেজে না থাকলে।

যদি আপনি কেবল সংখ্যাসূচক কাজ করছেন, আপনি কেবল সংখ্যাগত পার্থক্য বিবেচনা করতে পারেন।

ক্লান্তিকর সময়, এটি সরাসরি সামনে দেখায় না। এটি হ'ল জড়িত সমস্ত কার্যক্রমে ডেরিভেটিভগুলি গণনা করা সহজ। আপনি সঠিক সূত্র আছে তা নিশ্চিত হয়ে গেলে আপনার ফলাফলটি পরীক্ষা করতে আপনি সংখ্যার পার্থক্য ব্যবহার করতে পারেন।

Answer 3

$\mu_x$

pratio <- function(z, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    sd_x <- sqrt(var_x)
    sd_y <- sqrt(var_y)

    a <- function(z) {
        sqrt(z*z/var_x+1/var_y)
    }

    b <- function(z) {
        mu_x*z/var_x + mu_y/var_y
    }

    c <- mu_x^2/var_x + mu_y^2/var_y

    d <- function(z) {
        exp((b(z)^2 - c*a(z)^2)/(2*a(z)^2))
    }


    t1 <- (b(z)*d(z)/a(z)^3)
    t2 <- 1.0/(sqrt(2*pi)*sd_x*sd_y)
    t3 <- pnorm(b(z)/a(z)) - pnorm(-b(z)/a(z))
    t4 <- 1.0/(a(z)^2*pi*sd_x*sd_y)
    t5 <- exp(-c/2.0)
    return(t1*t2*t3 + t4*t5)
}

# Integrates to 1, so probably no typos.
print(integrate(pratio, lower=-Inf, upper=Inf))

cdf_ratio <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    integrate(function(x) {pratio(x, mu_x, mu_y, var_x, var_y)}, 
        lower=-Inf, upper=x, abs.tol=.Machine$double.eps)$value
} 

# Numerical differentiation here is very easy:
derv_mu_x <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    eps <- sqrt(.Machine$double.eps)
    left <- cdf_ratio(x, mu_x+eps, mu_y, var_x, var_y)
    right <- cdf_ratio(x, mu_x-eps, mu_y, var_x, var_y)
    return((left - right)/(2*eps))
}