33

দীর্ঘ সময়ের জন্য বুঝলাম না কেন দুই র্যান্ডম ভেরিয়েবল "সমষ্টি" হয় তাদের সংবর্তন , যেহেতু মিশ্রণ ঘনত্ব ফাংশন সমষ্টি $f(x)$ এবং $g(x)$ হয় $p\,f(x)+(1-p)g(x)$ ; পাটিগণিত যোগফল এবং না তাদের সমঝোতা। "দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফল" এর সঠিক বাক্যটি গুগলে ১৪ 14,০০০ বার প্রদর্শিত হয়েছে এবং নিম্নরূপে উপবৃত্তাকার। যদি কোনও আরভিটিকে একটি একক মান অর্জন করতে বিবেচনা করে, তবে সেই একক মানটি অন্য আরভি একক মানের সাথে যুক্ত করা যেতে পারে, যার দৃ conv়বিশ্বাসের সাথে কোনও সম্পর্ক নেই, কমপক্ষে প্রত্যক্ষভাবে নয়, এটি দুটি সংখ্যার যোগফল। পরিসংখ্যানগুলিতে একটি আরভি ফলাফল তবে মানগুলির সংগ্রহ এবং সুতরাং আরও সঠিক বাক্যটি হ'ল "দুটি আরভি'র সাথে সম্পর্কিত স্বতন্ত্র মানের জোড়গুলির সমন্বিত সংখ্যার সমষ্টি তাদের পৃথক সমঝোতা" ... এবং এটি দ্বারা সংশোধন করা যায় সেই আরভি এর সাথে সম্পর্কিত ঘনত্বের ক্রিয়াকলাপগুলির সমঝোতা। এমনকি সহজ ভাষা: 2 টি আরভি এর $n$ উদাহরণগুলি কার্যকরভাবে দুটি এন-ডাইমেনশনাল ভেক্টর যা তাদের ভেক্টর যোগফল হিসাবে যুক্ত করে।

দয়া করে দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফল কী পরিমাণে কনভলভ এবং যোগফল হয় তার বিশদটি দেখান।

— কার্ল
সূত্র

6

আমি সত্যিই বিশ্বাস করি না যে এটি একটি বিমূর্ত বীজগণিত অর্থে 'যোগফল' । আমরা যখন 'ভেরিয়েবলগুলির যোগফল' তৈরি করি তখন আমরা প্রাকৃতিক সংখ্যা বা আসল সংখ্যা যুক্ত করার সময় আমরা সাধারণত সাধারণ গাণিতিক অপারেশনটি উল্লেখ করি। এর অর্থ হ'ল আমরা অন্যান্য ভেরিয়েবলগুলি একসাথে 'যুক্ত' করে একটি নতুন ভেরিয়েবল তৈরি করি। 'যোগফলের যোগফলের' ধারণাটিও পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রের বাইরেও রয়েছে এবং এটি বিশ্লেষণ এবং সম্ভাবনা সম্পর্কে অভিব্যক্তি থেকে স্বতন্ত্র। সুতরাং, প্রকৃতপক্ষে 'ভেরিয়েবল এর সমষ্টি হল , একটি সংবর্তন' ভুল। তবে কেউ এটিকে বোঝায় না। আমাদের এই বিবৃতিতে 'হ'ল শব্দটি পরিবর্তন করা উচিত।

— সেক্সটাস এম্পেরিকাস

5

এটি যুক্তি দেওয়ার মতো যে

f (x) \cdot g (x)

$f(x) \cdot g(x)$ কে 'দুটি ফাংশন f এবং g এর পণ্য' বলা উচিত নয় (বা কেবল 'product' এর কিছু বিমূর্ত বীজগণিত ধারণা হিসাবে ব্যাখ্যা করা উচিত) কারণ এটি শর্তে একটি কনভলজেশন এই ফাংশনগুলির ফুরিয়ার রূপান্তর।

— সেক্সটাস এম্পেরিকাস

16

"বিজ্ঞপ্তি" বিভ্রান্তিকর। র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটি সমষ্টি

X

$X$ এবং

Y

$Y$ অবিকল একই অর্থে "সমষ্টি" এ বোঝানো হয় স্কুলের বোঝা হয়: প্রত্যেকের জন্য

ω

$\omega$ , মান

(X + Y) (ω)

$(X+Y)(\omega)$ সংখ্যার যোগ করে পাওয়া যায়

X (ω)

$X(\omega)$ এবং

Y (ω) .

$Y(\omega).$ এটি সম্পর্কে বিমূর্ত কিছুই নেই। এই আরভিগুলির বিতরণ রয়েছে। বিতরণ উপস্থাপন করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে। বিতরণের ফাংশন

X + Y

$X+Y$ হয় সংবর্তন এর DFS এর

X

$X$ এবং

Y

$Y$ ; চারিত্রিক ফাংশন

X + Y

$X+Y$ হয়পণ্যতাদের CFS এর; এর cumulant উৎপাদিত ফাংশন

X + Y

$X+Y$ হয়সমষ্টিতাদের CGFs এর; ইত্যাদি।

— শুভ

3

আপনার গণনায় আমি র্যান্ডম ভেরিয়েবল বা বিতরণ দেখতে পাচ্ছি না।

— শুক্র

8

Stats.stackexchange.com/a/54894/919 এ আমার পোস্টের ভাষায় , এলোমেলো ভেরিয়েবলের একটি জুড়ি

প্রতিটি টিকিটের বাক্স নিয়ে থাকে যার দুটিতে দুটি নাম্বার লেখা থাকে, একটি মনোনীত

এবং অন্যটি

প্রতিটি টিকিটে পাওয়া দুটি নম্বর যুক্ত করে এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল পাওয়া যায়। আক্ষরিক গণনাটি এমন একটি কাজ যা আপনি তৃতীয় শ্রেণির শ্রেণিকক্ষে নির্ধারণ করতে পারেন। (অপারেশনের মৌলিক সরলতার উভয়কেই জোর দেওয়ার পাশাপাশি আমি প্রত্যেকে একটি "যোগফল" বোঝার জন্য এটির সাথে কতটা

(X, Y)

$(X,Y)$

X

$X$

Y .

$Y.$

— দৃ strongly়তার

14

র্যান্ডম ভেরিয়েবল বিতরণের সাথে যুক্ত কনভোলিউশন গণনাগুলি মোট সম্ভাবনার আইনের সমস্ত গাণিতিক প্রকাশ ।

আমার পোস্টের ভাষায় একটি "এলোমেলো পরিবর্তনশীল" বলতে কী বোঝায়? ,

এক জোড়া এলোমেলো ভেরিয়েবল $(X,Y)$ মধ্যে টিকিটের একটি বাক্স থাকে যার প্রতিটিতে দুটি নম্বর, একটি মনোনীত $X$ এবং অন্যটি $Y$ । প্রতিটি টিকিটে পাওয়া দুটি নম্বর যুক্ত করে এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল পাওয়া যায়।

এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের ধারণাটি স্পষ্ট করে আমি এই জাতীয় বাক্সের ছবি এবং এর টিকিট পোস্ট করেছি ।

এই গণনাটি আক্ষরিক অর্থে এমন একটি কাজ যা আপনি তৃতীয় শ্রেণির শ্রেণিকক্ষে নির্ধারণ করতে পারেন। (আমি অপারেশনের মৌলিক সরলতা উভয়ের উপর জোর দেওয়ার পাশাপাশি প্রত্যেকটি "সমষ্টি" বোঝার জন্য কী বোঝায় এটির সাথে এটি কতটা দৃ strongly়তার সাথে সংযুক্ত রয়েছে তা দেখানোর জন্য আমি এই বক্তব্যটি দিয়েছি।)

র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল কীভাবে গাণিতিকভাবে প্রকাশ করা হয় তার উপর নির্ভর করে আপনি কীভাবে বাক্সের বিষয়বস্তু উপস্থাপন করছেন:

নিরিখে সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন (pmf) অথবা সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন (PDF) তা অপারেশন সংবর্তন ।
নিরিখে মুহূর্ত উৎপাদিত ফাংশন (mgf), এটা (elementwise) পণ্য।
নিরিখে (ক্রমযোজিত) বন্টন ফাংশন (সিডিএফ), এটা ঘনিষ্ঠভাবে সংবর্তন এর সাথে সম্পর্কিত একটি অপারেশন হয়। (তথ্যসূত্র দেখুন।)
বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনগুলির (সিএফ) পদগুলির ক্ষেত্রে এটি (এলিমেন্টওয়াইজ) পণ্য।
নিরিখে cumulant উৎপাদিত ফাংশন (cgf) এটি পরিধি এ পর্যন্তই।

এগুলির মধ্যে প্রথম দুটি বিশেষ ইনসোফার কারণ বাক্সে কোনও পিএমএফ, পিডিএফ, বা মিলিগ্রাফ নাও থাকতে পারে তবে এটি সর্বদা একটি সিডিএফ, সিএফ, এবং সিজিএফ থাকে।

$X,$ $Y,$ $X+Y$ $X+Y$ $z$ $X+Y$ $z,$ $\Pr(X+Y=z).$

মোট সম্ভাব্যতার আইন অনুসারে, অঙ্কের মূল্য অনুসারে টিকিটের সেটটি ভেঙে যোগফলের পিএমএফ পাওয়া যায় , যা অনুপাতে (বিচ্ছিন্ন উপগ্রহের) যোগ যোগ করে দেয়। আরও প্রযুক্তিগতভাবে, $X$

বাক্সের বিচ্ছিন্ন উপগ্রহের সংগ্রহের মধ্যে পাওয়া টিকিটের অনুপাত হ'ল পৃথক উপসেটগুলির অনুপাতের যোগফল।

এটি এভাবে প্রয়োগ করা হয়:

টিকেট অনুপাত যেখানে , লিখিত সব সম্ভাব্য মান উপর সমষ্টি সমান নয় টিকেট অনুপাত যেখানে এবং লিখিত $X+Y=z$ $\Pr(X+Y=z),$ $x$ $X=x$ $X+Y=z,$ $\Pr(X=x, X+Y=z).$

কারণ এবং পরোক্ষভাবে এই মত প্রকাশের মূল ভেরিয়েবল পরিপ্রেক্ষিতে সরাসরি পুনর্লিখিত করা যাবে এবং যেমন $X=x$ $X+Y=z$ $Y=z-x,$ $X$ $Y$

Pr (X + Y = z) = \sum_{x} Pr (X = x, Y = z - x) .

$\Pr(X+Y=z) = \sum_x \Pr(X=x, Y=z-x).$

এটাই সমঝোতা।

সম্পাদন করা

অনুগ্রহ করে নোট করুন যে কনভলিউশনগুলি এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের সাথে যুক্ত হলেও কনভলিউশনগুলি এলোমেলো ভেরিয়েবলের কনভলিউশন নয়!

আসলে, বেশিরভাগ ক্ষেত্রে দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি একত্রিত করা সম্ভব নয় not এটি কাজ করার জন্য, তাদের ডোমেনগুলিতে অতিরিক্ত গাণিতিক কাঠামো থাকতে হবে। এই কাঠামোটি একটি অবিচ্ছিন্ন টপোলজিকাল গ্রুপ।

বিশদ বিবরণ না নিয়েই, এটুকু বলার পক্ষে যথেষ্ট যে দুটি কার্যকারীর সংশ্লেষণকে অবশ্যই বিমূর্তভাবে কিছু দেখতে হবে $X, Y:G \to H$

(X ⋆ Y) (g) = \sum_{h, k \in G ∣ h + k = g} X (h) Y (k) .

$(X\star Y)(g) = \sum_{h,k\in G\mid h+k=g} X(h)Y(k).$

(যোগফলটি অবিচ্ছেদ্য হতে পারে এবং যদি এটি বিদ্যমানগুলি থেকে নতুন এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি উত্পাদন করতে চলেছে, ওয়্যার যখনই এবং হবে সেটিকে পরিমাপযোগ্য হতে হবে ; সেখানে টপোলজি বা পরিমাপকতার কিছু বিবেচনা অবশ্যই আসবে)) $X\star Y$ $X$ $Y$

এই সূত্রটি দুটি অপারেশন আহ্বান করে। একটি হ'ল তে এটি অবশ্যই এবং মানকে গুণতে হবে sense অন্যটি সংযোজন এটি অবশ্যই উপাদান যুক্ত করার জন্য বোধ করা উচিত make $H:$ $X(h)\in H$ $Y(k)\in H.$ $G:$ $G.$

বেশিরভাগ সম্ভাবনার অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে হ'ল সংখ্যার সেট (বাস্তব বা জটিল) এবং গুণনটি হ'ল স্বাভাবিক usual তবে নমুনা স্পেস, প্রায়শই কোনও গাণিতিক কাঠামো থাকে না। এ কারণেই এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির কনভোলশনটি সাধারণত সংজ্ঞায়িত হয় না। এই থ্রেডে কনভলিউশনে জড়িত জিনিসগুলি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বিতরণের গাণিতিক উপস্থাপনা। এগুলি এলোমেলো ভেরিয়েবলের যৌথ বন্টন প্রদত্ত এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের গণনা করতে ব্যবহৃত হয়। $H$ $G,$

রেফারেন্স

স্টুয়ার্ট অ্যান্ড অর্ড, পরিসংখ্যানের কেন্দ্রের উন্নত তত্ত্ব, খণ্ড ১. পঞ্চম সংস্করণ, 1987, অধ্যায় 1, 3, এবং 4 ( ফ্রিকোয়েন্সি ডিস্ট্রিবিউশনস, মুহুর্তগুলি এবং সংশ্লেষসমূহ এবং চরিত্রগত কার্যাদি )।

— whuber
সূত্র

থেকে স্কালে গুণ সঙ্গে Associativity বীজগাণিতিক বৈশিষ্ট্য সম্পর্কিত যে কোনো বাস্তব (অথবা জটিল) সংখ্যার জন্য । যদিও একটি দুর্দান্ত সম্পত্তি হ'ল দুটি ঘনত্বের ফাংশনগুলির কনভলশনটি একটি ঘনত্বের ফাংশন, একটিকে ঘনত্বের ক্রিয়াগুলি সীমাবদ্ধ করা হয় না এবং সমঝোতা সাধারণভাবে কোনও সম্ভাবনা চিকিত্সা নয়, নিশ্চিত হতে পারে তবে এটি সময় সিরিজের চিকিত্সা হতে পারে, যেমন, একটি বৃষ্টিপাত পর হ্রদ জল জল একটি চিকিত্সা, একটি ড্রাগ ঘনত্ব মডেল নিম্নলিখিত dosing, ইত্যাদি

a (f * g) = (a f) * g

$a ( f ∗ g ) = ( a f ) ∗ g$

a

$a$

— কার্ল

@ কার্ল কীভাবে মন্তব্যটি আপনার মূল প্রশ্নের সাথে মিলিয়ে যায়, যা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পরিমাণ সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করে ? সর্বোপরি এটি স্পর্শকাতর।

— whuber

আমি আপনাকে অত্যধিক জেনারেলাইজ না করার জন্য বলছি। "আরভি'স কনভলিউশনটি" না বলেই "সমঝোতাটি" দিয়ে একটি বাক্য শুরু করা উপবৃত্তাকার is আমার এখানে পুরো সমস্যাটি ছিল উপবৃত্তাকারী স্বরলিপি নিয়ে। দুটি স্পেস ভেক্টরগুলির ভেক্টর সংযোজন হ'ল এই ভেক্টরগুলিকে সাধারণকরণ করা হয় কি না conv যদি এগুলি স্বাভাবিক করা হয় তবে তাদের সম্ভাবনা হওয়ার দরকার নেই, এটি কেবল সত্য নয়, এটি সম্পূর্ণ সত্য।

n

$n$

— কার্ল

আপনাকে ধন্যবাদ: আমি আপনার প্রশ্নের উত্তর দিচ্ছি তা জোর দেওয়ার জন্য আমি প্রথম বাক্যটি পরিষ্কার করব।

— whuber

আরভি'র সমঝোতার জন্য নতুন সংযোজন সত্য, যা প্রযুক্তিগতভাবে আমি যা জিজ্ঞাসা করেছি। এবং সম্ভবত আমি দ্বিখণ্ডিত করছি তবে সমঝোতা সবসময় আরভি এর হয় না তবে ঘনত্ব ফাংশনগুলির কয়েকটি স্কেল ফ্যাক্টরগুলিতে সর্বদা হ্রাস করা যেতে পারে, যেখানে স্কেলারগুলি গুণক হয় এবং যেখানে ঘনত্বের ফাংশনগুলি কখনও কখনও আরভি হয়, সেই ক্ষেত্রে স্কেল কারণগুলি হয় গুণক পরিচয়, অর্থাৎ, 1.

— কার্ল

41

স্বরলিপি, আপার এবং লোয়ার কেস

https://en.wikipedia.org/wiki/Notation_in_probability_and_statistics

র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি সাধারণত উপরের ক্ষেত্রে রোমান বর্ণগুলিতে লেখা হয়: , ইত্যাদি $X$ $Y$

এলোমেলো ভেরিয়েবলের বিশেষ উপলব্ধিগুলি ছোট ছোট অক্ষরের সাথে সম্পর্কিত হয়। উদাহরণস্বরূপ , ,…, এলোমেলো ভেরিয়েবল সাথে সম্পর্কিত একটি নমুনা হতে পারে এবং থেকে এলোমেলো ভেরিয়েবলকে পৃথক করার জন্য একটি সংক্ষিপ্ত সম্ভাবনা আনুষ্ঠানিকভাবে লেখা হয় । $x_1$ $x_2$ $x_n$ $X$ $P ( X > x )$

$Z=X+Y$ অর্থ $z_i=x_i+y_i \qquad \forall x_i,y_i$

ভেরিয়েবলের মিশ্রণ -> পিডিএফ এর যোগফল

https://en.wikipedia.org/wiki/Mixture_distribution

আপনি সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনগুলির একটি যোগফল ব্যবহার করেন এবং যখন সম্ভাবনাটি (জেড বলতে হবে) বিভিন্ন সম্ভাবনার একক যোগ দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয় । $f_{X_1}$ $f_{X_2}$

উদাহরণ হিসেবে বলা যায় যখন একটি ভগ্নাংশ সময় দ্বারা সংজ্ঞায়িত এবং একটি ভগ্নাংশ সময় দ্বারা সংজ্ঞায়িত তারপর আপনি পেতে, এবং $Z$ $s$ $X_1$ $1-s$ $X_2$

P (Z = z) = s P (X_{1} = z) + (1 - s) P (X_{2} = z)

$\mathbb{P}(Z=z) = s \mathbb{P}(X_1=z) + (1-s) \mathbb{P}(X_2=z)$

f_{Z} (z) = s f_{X_{1}} (z) + (1 - s) f_{X_{2}} (z)

$f_Z(z) = s f_{X_1}(z) + (1-s) f_{X_2}(z)$

। । । । উদাহরণটি হ'ল পাশা রোলগুলির মধ্যে একটি either পার্শ্বযুক্ত পাশা বা একটি 12 টি পাশের পাশা with বলুন আপনি একবারে পাশা বা অন্য সময় 50-50 শতাংশ করেন। তারপরে

f_{m i x e d r o l l} (z) = 0.5 f_{6 - s i d e d} (z) + 0.5 f_{12 - s i d e d} (z)

$f_{mixed roll}(z) = 0.5 \, f_{6-sided}(z) + 0.5 \, f_{12-sided}(z)$

ভেরিয়েবলের যোগফল -> পিডিএফ এর রূপান্তর

https://en.wikipedia.org/wiki/Convolution_of_probability_distributions

আপনি সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনগুলির একটি ব্যবহার করেন এবং যখন সম্ভাবনাটি (জেড বলতে হবে) বিভিন্ন (স্বতন্ত্র) সম্ভাবনার একাধিক পরিমাণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয় । $f_{X_1}$ $f_{X_2}$

উদাহরণস্বরূপ, যখন (অর্থাত্ একটি যোগফল!) এবং একাধিক পৃথক জুটি পর্যন্ত সমষ্টি , প্রতিটি সম্ভাব্যতার সাথে । তারপরে আপনি কনভলিউশনটি পাবেন $Z = X_1 + X_2$ $x_1,x_2$ $z$ $f_{X_1}(x_1)f_{X_2}(x_2)$

P (Z = z) = \sum_{all pairs x_{1} + x_{2} = z} P (X_{1} = x_{1}) \cdot P (X_{2} = x_{2})

$\mathbb{P}(Z=z) = \sum_{\text{all pairs }x_1+x_2=z} \mathbb{P}(X_1=x_1) \cdot \mathbb{P}(X_2=x_2)$

এবং

f_{Z} (z) = \sum_{x_{1} \in domain of X_{1}} f_{X_{1}} (x_{1}) f_{X_{2}} (z - x_{1})

$f_Z(z) = \sum_{x_1 \in \text{ domain of }X_1} f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(z-x_1)$

বা অবিচ্ছিন্ন ভেরিয়েবলের জন্য

f_{Z} (z) = \int_{x_{1} \in domain of X_{1}} f_{X_{1}} (x_{1}) f_{X_{2}} (z - x_{1}) d x_{1}

$f_Z(z) = \int_{x_1 \in \text{ domain of }X_1} f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(z-x_1) d x_1$

। । । । একটি উদাহরণ দুই পাশা রোলস একটি সমষ্টি জন্য এবং $f_{X_2}(x) = f_{X_1}(x) = 1/6$ $x \in \lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace$

f_{Z} (z) = \sum_{x \in {1, 2, 3, 4, 5, 6} and z - x \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}} f_{X_{1}} (x) f_{X_{2}} (z - x)

$f_Z(z) = \sum_{x \in \lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace \\ \text{ and } z-x \in \lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace} f_{X_1}(x) f_{X_2}(z-x)$

নোট আমি sum সংহত করতে এবং যোগফল বেছে নিতে চাই , যা আমি আরও স্বজ্ঞাত বলে মনে করি, তবে এটি প্রয়োজনীয় নয় এবং আপনি যদি সংজ্ঞায়িত করেন তবে আপনি থেকে পর্যন্ত সংহত করতে পারেন ডোমেনের বাইরে। $x_1 \in \text{ domain of } X_1$ $-\infty$ $\infty$ $f_{X_1}(x_1)=0$

চিত্র উদাহরণ

হওয়া যাক । জানতে তোমাদের মধ্যে উপলব্ধির সবার জন্য সম্ভাব্যতা উপর সংহত করতে হবে যে তে নেতৃত্ব দিন । $Z$ $X+Y$ $\mathbb{P}(z-\frac{1}{2}dz<Z<z+\frac{1}{2}dz)$ $x,y$ $z-\frac{1}{2}dz<Z=X+Y<z+\frac{1}{2}dz$

সুতরাং যে অবিচ্ছেদ্য হয় অঞ্চলের লাইন বরাবর । $f(x)g(y)$ $\pm \frac{1}{2}dz$ $x+y=z$

লিখেছেন স্ট্যাকএক্সচেঞ্জ স্ট্রাইক

— সেক্সটাস এম্পেরিকাস
সূত্র

6

@ কার্ল এটি জারগোনেস্ক নয়। সমঝোতা সত্যিকার অর্থে অনেকগুলি যোগফল হিসাবে দেখা যায়। তবে, এটি 'ভেরিয়েবলের যোগফল' বোঝায় না। এটি এমন জিনিসগুলিকে বোঝায় যেমন আমরা যখন 'দুটি ডাইস রোলের যোগফল' বলি, যা প্রতিদিনের জীবনের খুব সাধারণ অর্থ এবং ব্যাখ্যা থাকে (বিশেষত যখন আমরা বোর্ডের খেলা খেলি)। আপনি কি বলতে চাইবেন যে আমরা যখন দুটি ডাইস রোলসের বীজগণিত যোগটি ব্যবহার করি তখন আমরা দুটি ডাইস রোলগুলির সংমিশ্রণ গ্রহণ করি?

— সেক্সটাস এম্পেরিকাস

2

দুটি পাশ্বের (একক) যোগফলের সাথে 7 রোলিংয়ের সম্ভাবনাটি 1-6, 2-5, 3-4, 4-3, 5-2, 6-1 রোল করার জন্য (বহু) সম্ভাবনার যোগফল । সমষ্টি শব্দটি দুটি বার ঘটে এবং প্রথম ক্ষেত্রে যখন এটি একটি একক সংশ্লেষণের অভিব্যক্তিকে বোঝায়, তখন 'দুটি ভেরিয়েবলের সমষ্টি' বিবৃতিটি 'দুটি ডাইস রোলসের যোগফল' হিসাবে বোঝায়।

— সেক্সটাস এম্পিরিকাস

5

প্রকৃতপক্ষে, অবিচ্ছেদ্য সম্ভাবনার যোগফলকে প্রতিস্থাপন করে। তবে এটি শর্তের দ্বিতীয় ব্যবহারের সাথে সম্পর্কিত , যোগফলের প্রথম ব্যবহার নয় । সুতরাং আমরা এখনও দুটি ভেরিয়েবলের যোগফল বলতে পারি (যা শব্দটির প্রথম ব্যবহার)। কারণ 'যোগফল' শব্দটি সম্ভাব্যতার সংশ্লেষ অপারেশন বা সংশ্লেষ অপারেশনকে বোঝাতে ব্যবহৃত হয় না, তবে ভেরিয়েবলগুলির সংমিশ্রণের জন্য ব্যবহৃত হয়।

— সেক্সটাস এম্পেরিকাস

8

কমপক্ষে ডাইস রোলগুলির সংখ্যার জন্য সম্ভাব্যতা ঘনত্বের স্বতন্ত্র পাশা রোলগুলির জন্য সম্ভাব্যতা ঘনত্বগুলির সংমিশ্রণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা 'জার্গোনসেক নয়। 'ডাইস রোলসের যোগফল' শব্দটির প্রতিটি জীবনের খুব সাধারণ ব্যাখ্যা হয় যখন তাদের জারজোনটি সহ কোনও পরিসংখ্যানবিদ নেই। এই অর্থে (ডাইস রোলসের যোগফল) আপনাকে ব্যাখ্যা করতে হবে (ভেরিয়েবলগুলির যোগফল)। এই পদক্ষেপটি জারগোনেস্ক নয়। লোকেরা সর্বদা 'ভেরিয়েবলের পরিমাণগুলি' ব্যবহার করে। এই পরিসংখ্যানগুলির সম্ভাব্যতা সম্পর্কে

— চিন্তাভাবনা করে

2

@ কার্ল: আমার ধারণা আপনি আমার বক্তব্য ভুল বুঝেছেন। আপনি বলছিলেন যে কনভোলশন ইন্টিগ্রালকে একটি যোগফল বলা ভাল নয়, বোঝা যাচ্ছে যে কেউ সমঝোতার সংখ্যাকে সমষ্টি হিসাবে অভিহিত করে। তবে এখানে কেউ এটি বলছে না। যা বলা হয়েছিল তা হল একটি কনভোলশন ইন্টিগ্রাল হ'ল নির্দিষ্ট ভেরিয়েবলের যোগফলের পিডিএফ। আপনি বিবৃতিটি মিথ্যা কিছুতে পরিবর্তন করেছিলেন, এবং তারপরে অভিযোগ করেছেন যে এটি মিথ্যা।

28

আপনার বিভ্রান্তি বিতরণের সাথে এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি বিভক্ত করা থেকে মনে হচ্ছে।

এই বিভ্রান্তিটি "মুক্ত" করতে, এটি কয়েক ধাপ পিছিয়ে নিতে, আপনার মনকে এক মুহুর্তের জন্য খালি করতে, সম্ভাবনার জায়গাগুলি এবং সিগমা-বীজগণিতগুলির মতো কোনও অভিনব আনুষ্ঠানিকতা সম্পর্কে ভুলে যেতে সহায়তা করতে পারে (যদি এটি সাহায্য করে, ভান করে আপনি প্রাথমিক বিদ্যালয়ে ফিরে এসেছেন এবং সেগুলির কোনওটিই কখনও শুনেনি!) এবং কেবল এলোমেলোভাবে পরিবর্তনশীল মূলত কী উপস্থাপন করে তা নিয়ে ভাবুন: এমন একটি সংখ্যা যার মূল্য সম্পর্কে আমরা নিশ্চিত নই ।

উদাহরণস্বরূপ, আসুন আমি বলি যে আমার হাতে একটি ছয়তরফা ডাই আছে। (আমি সত্যিই না। আসলে, আমি তাদের একটি সম্পূর্ণ ব্যাগ আছে।) আমি এখনও ঘূর্ণিত নি, কিন্তু আমি সম্পর্কে, এবং আমি কল করার সিদ্ধান্ত নেন সংখ্যা আমি এখনো ঘূর্ণিত নি যে ডাই উপর নাম " "। $X$

কি আমি এই সম্পর্কে বলতে পারেন , ছাড়া আসলে ডাই ঘূর্ণায়মান এবং তার মান নির্ণয় করা? ঠিক আছে, আমি বলতে পারি যে এর মান , বা , বা । প্রকৃতপক্ষে, আমি নিশ্চিতভাবে বলতে পারি যে এটি এবং মধ্যে একটি সম্পূর্ণ সংখ্যা হয়ে উঠবে , সহ অন্তর্ভুক্ত, কারণ এইগুলি শুধুমাত্র ডাইতে চিহ্নিত নম্বর। এবং যেহেতু আমি এই ব্যাগটি পাশের এক নামী নির্মাতার কাছ থেকে কিনেছি, আমি নিশ্চিতভাবে নিশ্চিত হতে পারি যে আমি যখন ডাই রোল করব এবং সংখ্যাটি আসলে কী তা নির্ধারণ করব তখন এটি ছয়টি সম্ভাব্য মানগুলির মধ্যে বা তার কাছাকাছি হওয়ার সমান সম্ভাবনা রয়েছে আমি নির্ধারণ করতে পারেন হিসাবে। $X$ $7$ $-1$ $\frac12$ $1$ $6$ $X$

অন্য কথায়, আমার একটি পূর্ণসংখ্যা-মূল্যবান দৈব চলক অবিশেষে সেট ওভার বিতরণ করা হয় । $X$ $\{1,2,3,4,5,6\}$

ঠিক আছে, তবে অবশ্যই এগুলি সুস্পষ্ট, তাই আমি কেন এমন তুচ্ছ বিষয়গুলি বারণ করছি যা আপনি অবশ্যই জানেন? কারণ আমি অন্য বিন্দু, যা এখনো তুচ্ছ হয় করতে চাই গভীরভাবে গুরুত্বপূর্ণ, একই সময়ে: আমি এই সাথে গণিত করতে পারি না , এমনকি যদি আমি তার মান এখনো জানি না! $X$

উদাহরণস্বরূপ, আমি সংখ্যায় একটি যুক্ত করার সিদ্ধান্ত নিতে পারি যা আমি মরে যাব এবং এই নম্বরটি " " নামেই কল করব । এই কী হবে তা আমি জানব না, যেহেতু আমি ডাই রোল না হওয়া পর্যন্ত কী হবে তা আমি জানি না , তবে আমি এখনও বলতে পারি যে চেয়ে বড় হবে , বা গাণিতিক দিক থেকে, । $X$ $Q$ $Q$ $X$ $Q$ $X$ $Q = X+1$

আর এই করবে এছাড়াও একটি এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের, কারণ আমি এখনও এর মান জানি না হতে; আমি শুধু জানি এটি চেয়ে বড় হবে । যেহেতু আমি জানি কি মান নিতে পারেন, এবং কিভাবে সম্ভবত সেই মূল্যবোধের প্রতি নিতে হয় আমিও জন্য সেগুলো নির্ধারণ করতে পারেন । এবং তাই আপনি সহজেই যথেষ্ট করতে পারেন। এবং মধ্যে পুরো সংখ্যা হবে এবং এটির সমান সম্ভাবনা রয়েছে বলে ধরে নিতে আপনার সত্যিকার অর্থে কোনও অভিনব আনুষ্ঠানিকতা বা গণনা প্রয়োজন হবে না (ধরে নিলাম যে আমার মরণটি যথাযথ এবং সুষম হিসাবে আমি মনে করি) এটি গ্রহণ করতে হবে এই মানগুলির যে কোনও। $Q$ $X$ $X$ $Q$ $Q$ $2$ $7$

তবে আরও আছে! আমি ঠিক ঠিক করতে পেরেছিলাম, বলতে চেয়েছি, যে সংখ্যাটি আমি মারা যাব তাকে তিনটি দ্বারা গুণ করব এবং ফলাফলটি বলি । এবং এটি অন্য এলোমেলো পরিবর্তনশীল এবং আমি নিশ্চিত যে আপনি কোনও সংহত বা কনভোলিউশন বা বিমূর্ত বীজগণিতকে অবলম্বন না করেই এর বিতরণটিও বুঝতে পারবেন। $X$ $R = 3X$

এবং যদি আমি সত্যিই চেয়েছিলেন, আমি এমনকি এখনও টু হতে-নির্ধারিত নম্বর নিতে করার সিদ্ধান্ত নেন পারে এবং ~~ভাঁজ, টাকু এবং অঙ্গচ্ছেদ করা এটা~~ দুই দ্বারা এটি বিভক্ত, তা থেকে এক বিয়োগ এবং ফলাফল স্কয়ার। এবং ফলাফল সংখ্যা এখনও অন্য এলোমেলো পরিবর্তনশীল; এবার এটি পুরোপুরি মূল্যবান হবে না বা অভিন্নভাবে বিতরণ হবে না, তবে আপনি কেবলমাত্র প্রাথমিক যুক্তি এবং পাটিগণিত ব্যবহার করে সহজেই এর বিতরণটি সহজেই আবিষ্কার করতে পারেন। $X$ $S = (\frac12 X - 1)^2$

ঠিক আছে, তাই আমি আমার অজানা ডাই রোল বিভিন্ন সমীকরণে প্লাগ করে নতুন র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি সংজ্ঞায়িত করতে পারি। তাতে কি? ঠিক আছে, মনে আছে যখন আমি বলেছিলাম আমার কাছে ডাইসের পুরো ব্যাগ ছিল? আমাকে অন্য একটি ধরুন, এবং আমি যে নামটিতে ডাই করতে যাচ্ছি তার নামটি " " নাম দিয়ে বলি call $X$ $Y$

আমি ব্যাগ থেকে ধরেছি two দুটি ডাইস অনেকটা অভিন্ন - আপনি যদি আমি সন্ধান না করার সময় সেগুলি সরিয়ে নিয়েছিলাম তবে আমি বলতে পারব না - তাই আমি খুব নিরাপদে ধরে নিতে পারি যে এই মতোই বিতরণ থাকবে । তবে আমি যা করতে চাই তা হ'ল উভয় পাশকেই গড়িয়ে ফেলা এবং সেগুলির প্রতিটিতে পিপসের মোট সংখ্যা গণনা । এবং মোট পিপসের সংখ্যা, যা এটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল যেহেতু আমি এটি এখনও জানি না , আমি " " ডাকব । $Y$ $X$ $T$

এই নম্বর কত বড় হবে ? ওয়েল, যদি পিপস আমি প্রথম ডাই উপর পাকানো হবে সংখ্যা, এবং পিপস আমি দ্বিতীয় ডাই উপর পাকানো হবে সংখ্যা, তারপর পরিষ্কারভাবে তাদের সমষ্টি, অর্থাত্ হতে হবে । এবং আমি এটি বলতে পারি যেহেতু এবং উভয়ই এক থেকে ছয়জনের মধ্যে, তাই অবশ্যই কমপক্ষে দুটি এবং সর্বাধিক বারো হতে হবে। এবং যেহেতু এবং উভয়ই পুরো সংখ্যা, তাই স্পষ্টতই অবশ্যই একটি সম্পূর্ণ সংখ্যা হবে। $T$ $X$ $Y$ $T$ $T = X+Y$ $X$ $Y$ $T$ $X$ $Y$ $T$

তবে সম্ভাব্য প্রতিটি মান দুটি এবং বারোটির মধ্যে নেওয়ার সম্ভাবনা কতটা ? এটি অবশ্যই তাদের প্রত্যেককে নেওয়ার সমান সম্ভাবনা নয় - কিছুটা পরীক্ষা-নিরীক্ষা প্রকাশ করবে যে , সাতটি করে বলার চেয়ে একজোড়া পাশের বারোটা রোল করা অনেক কঠিন। $T$

চিন্তা করার যে, আমাকে সম্ভাব্যতা যে আমি সংখ্যা রোল করব বোঝাতে দিন প্রথম ডাই (এক যার ফলাফলের আমি ফোন করার সিদ্ধান্ত নিয়েছে উপর ) অভিব্যক্তি দ্বারা । একইভাবে, আমি সম্ভাব্যতাটি উল্লেখ করব যে আমি die দ্বারা দ্বিতীয় মরতে সংখ্যাটি রোল করব । অবশ্যই, যদি আমার পাশা পুরোপুরি ন্যায্য এবং ভারসাম্যপূর্ণ হয় তবে then যেকোন এবং মধ্যে এক থেকে ছয় জনের মধ্যে রয়েছে তবে আমরা আরও সাধারণ হিসাবে বিবেচনা করতে পারি ক্ষেত্রে যেখানে পাশা আসলে পক্ষপাতদুষ্ট হতে পারে এবং অন্যদের তুলনায় কিছু সংখ্যক রোল হওয়ার সম্ভাবনা বেশি। $a$ $X$ $\Pr[X = a]$ $b$ $\Pr[Y = b]$ $\Pr[X = a] = \Pr[Y = b] = \frac16$ $a$ $b$

এখন, যেহেতু দুই ডাই রোলস স্বাধীন হতে হবে (আমি অবশ্যই ঠকায় এবং অন্যান্য! উপর ভিত্তি করে তাদের মধ্যে একজন সামঞ্জস্য পরিকল্পনা করছি না), সম্ভাব্যতা যে আমি আনছি, প্রথম ডাই উপর এবং সেকেন্ড হবে কেবল সেই সম্ভাবনার পণ্য : $a$ $b$

Pr [X = a and Y = b] = Pr [X = a] Pr [Y = b] .

$\Pr[X = a \text{ and } Y = b] = \Pr[X = a] \Pr[Y = b].$

(দ্রষ্টব্য যে উপরের সূত্রটি কেবল এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির স্বতন্ত্র জোড়া রাখে; এটি অবশ্যই আমরা ধরে রাখি না যদি আমরা উপরের প্রতিস্থাপন করি তবে বলুন, !) $Y$ $Q$

এখন, এবং কয়েকটি সম্ভাব্য মান রয়েছে যা একই মোট করতে পারে ; উদাহরণস্বরূপ, এবং থেকে এবং , বা এমনকি এবং থেকে উত্থিত হতে পারে । তবে যদি আমি ইতিমধ্যে প্রথম ডাই রোল করে ফেলেছিলাম এবং এর মান জানতাম তবে আমি ঠিক বলতে পারতাম যে কোনও পাইপগুলির মোট সংখ্যায় পৌঁছানোর জন্য আমার দ্বিতীয় ডাইয়ের উপর রোল করতে হবে value $X$ $Y$ $T$ $T = 4$ $X = 1$ $Y = 3$ $X = 2$ $Y = 2$ $X = 3$ $Y = 1$ $X$

বিশেষ করে, আসুন আমরা সম্ভাব্যতা প্রতি আগ্রহ দেখিয়েছেন দিন যে , কিছু সংখ্যার জন্য । এখন, যদি আমি জানতে পারি যে প্রথম ডাইটি রোল করার পরে , তবে আমি কেবল ডাই ঘূর্ণন করে মোট পেতে পারি দ্বিতীয় মরার উপর । এবং অবশ্যই, আমরা ইতিমধ্যে, একেবারেই কোনও পাশা ঘূর্ণায়মান ছাড়া জানেন, যে অবরোহমার্গী ঘূর্ণায়মান সম্ভাবনা প্রথম ডাই এবং এর দ্বিতীয় ডাই হয় $T = c$ $c$ $X = a$ $T = c$ $Y = c - a$ $a$ $c - a$

Pr [X = a and Y = c - a] = Pr [X = a] Pr [Y = c - a] .

$\Pr[X = a \text{ and } Y = c-a] = \Pr[X = a] \Pr[Y = c-a].$

তবে অবশ্যই, প্রথম মরতে আমি কীভাবে রোলিং শেষ করব তার উপর নির্ভর করে আমার কাছে মোট মোট পৌঁছানোর বেশ কয়েকটি সম্ভাব্য উপায় রয়েছে । দুটি ডাইসে পিপস রোলিংয়ের মোট সম্ভাব্যতা , আমি মোট মোট রোল করতে পারে তার সমস্ত সম্ভাবনার যোগ করতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, দুটি পাশ্বের মোট 4 টি পিপ রোল করার মোট সম্ভাবনা : $c$ $\Pr[T = c]$ $c$

Pr [T = 4] = Pr [X = 1] Pr [Y = 3] + Pr [X = 2] Pr [Y = 2] + Pr [X = 3] Pr [Y = 1] + Pr [X = 4] Pr [Y = 0] + \dots

$\Pr[T = 4] = \Pr[X = 1]\Pr[Y = 3] + \Pr[X = 2]\Pr[Y = 2] + \Pr[X = 3]\Pr[Y = 1] + \Pr[X = 4]\Pr[Y = 0] + \dots$

নোট করুন যে উপরেটি যোগ করে আমি কিছুটা দূরে গিয়েছিলাম: অবশ্যই সম্ভবত হতে পারে না ! তবে গাণিতিকভাবে এটি কোনও সমস্যা নয়; আমাদের কেবল (বা বা বা ) এর মতো অসম্ভব ঘটনার সম্ভাবনা শূন্য হিসাবে হবে। এবং এইভাবে, আমরা দুটি ডাই রোলগুলির যোগফল বিতরণের জন্য একটি জেনেরিক সূত্র পাই (বা আরও সাধারণভাবে, কোনও দুটি স্বতন্ত্র পূর্ণসংখ্যার-মূল্যবান র্যান্ডম ভেরিয়েবল): $Y$ $0$ $Y = 0$ $Y = 7$ $Y = -1$ $Y = \frac12$

T = X + Y ⟹ Pr [T = c] = \sum_{a \in Z} Pr [X = a] Pr [Y = c - a] .

$T = X + Y \implies \Pr[T = c] = \sum_{a \in \mathbb Z} \Pr[X = a]\Pr[Y = c - a].$

"সমঝোতা" শব্দের উল্লেখ না করে আমি এখানে আমার প্রকাশ্যতা পুরোপুরি ভালভাবে থামিয়ে দিতে পারি! তবে অবশ্যই, যদি আপনি কোনও পৃথক সমঝোতা দেখে মনে হয় তবে আপনি উপরের সূত্রে কোনওটিকে স্বীকৃতি দিতে পারেন। এবং এটি উপরের প্রাপ্ত প্রাথমিক ফলাফলটি বলার একটি মোটামুটি উন্নত উপায়: দুটি পূর্ণসংখ্যার-মূল্যবান র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের সম্ভাব্যতা গণ ফাংশনটি হ'ল সাম্যান্ডের সম্ভাব্য ভর কার্যকারিতাটির বিচ্ছিন্ন সমঝোতা।

এবং অবশ্যই, সম্ভাব্যতা ঘনত্বের সাথে একটি অখণ্ড এবং সম্ভাব্য ভর দিয়ে যোগফলটি প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে , আমরা অবিচ্ছিন্নভাবে বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির জন্যও একটি অভিন্ন ফল পাই। এবং পর্যাপ্ত পরিমাণে সংশ্লেষের সংজ্ঞাটি প্রসারিত করে আমরা এমনকি এগুলি সমস্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলিতে প্রয়োগ করতে পারি , তাদের বিতরণ নির্বিশেষে - যদিও এই মুহুর্তে সূত্রটি প্রায় একটি টাউটোলজিতে পরিণত হয়, যেহেতু আমরা দুটির সংশ্লেষকে প্রায় সংজ্ঞায়িত করব এই বিতরণগুলির সাথে দুটি স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের বিতর্ক হিসাবে স্বেচ্ছাচারিতা সম্ভাবনা বিতরণ।

তবে তবুও, কনভলিউশন এবং বিতরণ এবং পিএমএফ এবং পিডিএফ সহ এই সমস্ত স্টাফটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের জিনিস গণনা করার জন্য কেবলমাত্র সরঞ্জামগুলির একটি সেট । আমরা যে মৌলিক অবজেক্টগুলির বিষয়ে জিনিসগুলি গণনা করছি তা হ'ল এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি, যা সত্যই কেবল এমন সংখ্যা যাঁর মান আমরা নিশ্চিত নই ।

আর তাছাড়া যে সংবর্তন কৌতুক শুধুমাত্র জন্য কাজ করে অঙ্কের র্যান্ডম ভেরিয়েবল, যাহাই হউক না কেন। আপনি যদি জানতে চান, বলুন, বা বিতরণ , আপনাকে প্রাথমিক পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করে এটি বের করতে হবে এবং ফলাফলটি কোনও সমাধান হবে না । $U = XY$ $V = X^Y$

সংযোজন: আপনি যদি যোগফল / পণ্য / তাত্ক্ষণিক / দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যে কোনও সংমিশ্রণের বিতরণ গণনার জন্য জেনেরিক সূত্রটি চান, তবে এখানে একটি লেখার একটি উপায়: যেখানে একটি স্বেচ্ছাসেবী বাইনারি অপারেশন এবং একটি ইভারসন বন্ধনী , যেমন

A = B ⊙ C ⟹ Pr [A = a] = \sum_{b, c} Pr [B = b and C = c] [a = b ⊙ c],

$A = B \odot C \implies \Pr[A = a] = \sum_{b,c} \Pr[B = b \text{ and } C = c] [a = b \odot c],$

⊙

$\odot$

[a = b ⊙ c]

$[a = b \odot c]$

[a = b ⊙ c] = {\begin{cases} 1 & if a = b ⊙ c, and \\ 0 & otherwise . \end{cases}

$[a = b \odot c] = \begin{cases}1 & \text{if } a = b \odot c, \text{ and} \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases}$

(নন-ডিস্রিট এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য এই সূত্রকে সাধারণীকরণ করা বেশিরভাগ অর্থহীন আনুষ্ঠানিকতার একটি অনুশীলন হিসাবে বাকি is নন-ডিস্রিট কেস কেবল অপ্রাসঙ্গিক জটিলতার একগুচ্ছ যুক্ত করেই প্রয়োজনীয় ধারণাটি বর্ণনা করার পক্ষে যথেষ্ট যথেষ্ট is)

আপনি নিজে যাচাই করতে পারেন যে এই সূত্রটি প্রকৃতপক্ষে সংযোজন এবং উদাহরণস্বরূপ, দুটি স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবল যুক্ত করার বিশেষ ক্ষেত্রে এটি পূর্বে প্রদত্ত "সমঝোতা" সূত্রের সমতুল্য works

অবশ্যই, অনুশীলনে, এই সাধারণ সূত্রটি গণনার জন্য খুব কম কার্যকর কারণ এটিতে কেবল একটির পরিবর্তে দুটি আনবাউন্ডেড ভেরিয়েবলের যোগফল জড়িত । তবে একক-সমষ্টি সূত্রের বিপরীতে, এটি দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবল এমনকি অ-পরিবর্তনীয়যোগ্যগুলিরও স্বেচ্ছাসেবী ফাংশনগুলির জন্য কাজ করে এবং এটি স্পষ্টভাবে অপারেশনটিও দেখায় it এটির বিপরীত হিসাবে ছদ্মবেশ পরিবর্তে ("সমঝোতার" সূত্রের মতো আরও ছদ্মবেশ ধারণ করে) বিয়োগ)। $\odot$

^{গীত। আমি শুধু পাশা ঘূর্ণিত। দেখা যাচ্ছে যে এবং , যা বোঝায় যে , , , , এবং । এখন তুমি জানো. ;-) $X = 5$ $Y = 6$ $Q = 6$ $R = 15$ $S = 2.25$ $T = 11$ $U = 30$ $V = 15625$}

— ইলমারি করোনেন
সূত্র

4

এটি গ্রহণযোগ্য উত্তর হওয়া উচিত! খুব স্বজ্ঞাত এবং পরিষ্কার!

— ভ্লাদিস্লাভস ডভগ্লেলেকস

3

@ কার্ল: আমি যে বিষয়টিটি তৈরির চেষ্টা করছি তা হ'ল এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির যোগফলটি একটি সাধারণ যোগফল: । আমরা নিরূপণ করতে চান বন্টন এর , তারপর আমরা কিছু আরও জটিল এটি করতে হবে, কিন্তু যে সেকেন্ডারি সমস্যা রয়েছে। এলোমেলো পরিবর্তনশীল এর বিতরণ নয়। (প্রকৃতপক্ষে, এলোমেলো পরিবর্তনশীল এমনকি তার বিতরণ দ্বারা সম্পূর্ণরূপে চিহ্নিত করা যায় না, যেহেতু (প্রান্তিক) বিতরণটি অন্যান্য ভেরিয়েবলগুলির সাথে তার সম্ভাব্য নির্ভরতাগুলি সম্পর্কে তথ্য এনকোড করে না))

T = X + Y

$T = X + Y$

T

$T$

— ইলমারি করোনেন

3

@ কার্ল: ... যে কোনও ক্ষেত্রে আপনি যদি "এলোমেলো ভেরিয়েবলের সংযোজন" এর জন্য একটি বিশেষ প্রতীক প্রবর্তন করতে চান, তবে ধারাবাহিকতার জন্য আপনার কাছে "এলোমেলো ভেরিয়েবলের গুণন" এবং "এলোমেলো ভেরিয়েবলের বিভাজন" এর জন্যও বিশেষ চিহ্ন থাকতে হবে এবং "এলোমেলো ভেরিয়েবলের এক্সপেনশনেশন" এবং "র্যান্ডম ভেরিয়েবলের লগারিদম" এবং আরও অনেক কিছু। এই সমস্ত অপারেশনগুলি এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির উপর নিখুঁতভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় , একটি অনিশ্চিত মান সহ সংখ্যা হিসাবে দেখা হয় , তবে সব ক্ষেত্রে ফলাফলের বন্টন গণনা করা কেবল ধ্রুবকগুলির সাথে সম্পর্কিত গণনা করার চেয়ে অনেক বেশি জড়িত।

— ইলমারি করোনেন

5

@ কার্ল: আপনি বিতরণে কোনও এলোমেলো পরিবর্তনশীলকে বিভ্রান্ত করা বন্ধ করলে বিভ্রান্তি দূর হয়। এলোমেলো ভেরিয়েবলের বিতরণ নেওয়া কোনও অর্থবহ অর্থে লিনিয়ার অপারেশন নয়, সুতরাং দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফল (সাধারণত) তাদের বিতরণের যোগফল নয়। তবে একইরকম কোনও ননলাইনার অপারেশনের ক্ষেত্রেও এটি সত্য । অবশ্যই আপনি এই সত্যের দ্বারা বিভ্রান্ত নন , সুতরাং কেন আপনি দ্বারা বিভ্রান্ত হবেন? ?

\sqrt{x + y} \neq \sqrt{x} + \sqrt{y}

$\sqrt{x + y} \ne \sqrt x + \sqrt y$

Pr [X + Y = c] \neq Pr [X = c] + Pr [Y = c]

$\Pr[X + Y = c] \ne \Pr[X = c] + \Pr[Y = c]$

— ইলমারি করোনেন

3

@ কার্ল: দাঁড়ান, কী? আমি দুটি ডাইস রোল করি, এবং ফলাফল লিখি এবং তারপরে গণনা করি । কীভাবে তা সাধারণ বিভাগ নয়? (এবং হ্যাঁ, ডাইস রোল করার আগে আমি এটি করা সত্ত্বেও এটি এখনও সাধারণ বিভাগ that সেক্ষেত্রে এবং মানগুলি এখনও ঠিক করা হয়নি, এবং তাই

X

$X$

Y

$Y$

Z = X / Y

$Z = X/Y$

X

$X$

Y

$Y$

Z

$Z$

— মানও নয়

7

আমি আপনাকে ভুল বোঝাবুঝি না করে আসলে আমি এটি বেশ সঠিক বলে মনে করি না।

যদি এবং স্বতন্ত্র এলোমেলো পরিবর্তনশীল হয় তবে আপনি যে যোগফল / সমঝোতার সম্পর্কটিকে উল্লেখ করছেন তা নিম্নরূপ: , সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন (পিডিএফ) যোগফলটি এবং এর পৃথক পিডিএফ এর সমঝোতার ( অপারেটর দ্বারা চিহ্নিত) সমান । $X$ $Y$

p (X + Y) = p (X) * p (Y)

$p(X+Y) = p(X)*p(Y)$

*

$*$

X

$X$

Y

$Y$

দেখার জন্য কেন এই, একটি নির্দিষ্ট মানের জন্য যে বিবেচনা করা হয় , সমষ্টি এর পিডিএফ অনুসরণ দ্বারা একটি পরিমাণ স্থানান্তরিত । সুতরাং যদি আপনি সমস্ত সম্ভাব্য মান বিবেচনা করেন, এর বিতরণ প্রতিটি পয়েন্ট প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে সেই প্রতিলিপি (বা বিপরীতে) কেন্দ্র করে এবং তারপরে এই সমস্ত অনুলিপি সংশ্লেষ করে , যা হ'ল এক সমঝোতা। $X=x$ $S=X+Y$ $Y$ $x$ $X$ $S$ $p(X)$ $p(Y)$

সাধারণত, আমরা এটিকে লিখতে পারি: বা সমতুল্য:

p (S) = \int p_{Y} (S - x) p_{X} (x) d x

$p(S) = \int p_Y(S-x)p_X(x)dx$

p (S) = \int p_{X} (S - y) p_{Y} (y) d y

$p(S) = \int p_X(S-y)p_Y(y)dy$

সম্পাদনা: আশা করি কিছু বিভ্রান্তি দূর করতে, আমি মন্তব্যগুলিতে কিছু বলেছি তার সংক্ষিপ্ত বিবরণ দাও। দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল এবং তাদের বিতরণের যোগফলকে বোঝায় না। এটি তাদের উপলব্ধির সংমিশ্রণের ফলাফলকে বোঝায়। আমি মন্তব্যে যে উদাহরণটি দিয়েছি তার পুনরাবৃত্তি করার জন্য, ধরুন এবং দুটি পাশের রোল দিয়ে নিক্ষিপ্ত সংখ্যা ( একটি মারা যাওয়ার সংখ্যার সাথে নম্বর, এবং অন্যটি দিয়ে ফেলে দেওয়া সংখ্যা)তারপরে সংজ্ঞায়িত করা যাক $X$ $Y$ $X$ $Y$ $X$ $Y$ $S=X+Y$ একসাথে দুটি পাশা সঙ্গে নিক্ষিপ্ত মোট সংখ্যা হিসাবে। উদাহরণস্বরূপ, প্রদত্ত ডাইস রোলের জন্য, আমরা একটি 3 এবং 5 নিক্ষেপ করতে পারি, এবং সুতরাং যোগফল 8 হবে The এখন প্রশ্নটি হল: এই অঙ্কের বিতরণটি কেমন দেখাচ্ছে এবং এটি পৃথক বিতরণগুলির সাথে কীভাবে সম্পর্কিত? এর এবং ? এই নির্দিষ্ট উদাহরণে, প্রতিটি ডাইয়ের সাথে নিক্ষিপ্ত সংখ্যা [1, 6] এর মধ্যে একটি (পৃথক) অভিন্ন বিতরণ অনুসরণ করে। যোগফলটি [1, 12] এর মধ্যে ত্রিভুজাকার বিতরণ অনুসরণ করে 7.. শীর্ষে এবং শীর্ষে হিসাবে দেখা যায় যে এই ত্রিভুজাকর বিতরণটি এবং সমান বিতরণকে একত্রিত করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে এবং এই সম্পত্তিটি আসলে সমস্ত পরিমাণের জন্য থাকে ( স্বাধীন) র্যান্ডম ভেরিয়েবল। $X$ $Y$ $X$ $Y$

— রুবেন ভ্যান বার্গেন
সূত্র

অনেক অঙ্কের সামিং বেশি মিশ্রন একটি + চিহ্ন দিয়ে একটি একক সমষ্টি মূল্য notating হয়। আমার অগ্রাধিকারটি বলতে হবে যে এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি সমঝোতার মাধ্যমে মিলিত হয়।

— কার্ল

6

একটি সমাবর্তনকে অনেকগুলি অঙ্কের যোগ বলা যেতে পারে, অবশ্যই। তবে আপনাকে যা বুঝতে হবে তা হল সংশোধনটি সংশোধন করা ভেরিয়েবলগুলির পিডিএফগুলিতে কঠোরভাবে প্রযোজ্য । ভেরিয়েবলগুলি নিজের মধ্যে নিষ্পত্তি হয় না । এগুলি কেবল একটিতে অপরটিতে যুক্ত হয়েছে, এবং সংযোজন অপারেশন হিসাবে এই সংযোজনটি নির্ধারণের কোনও উপায় নেই (সুতরাং আপনার প্রশ্নের প্রাথমিক ভিত্তি, যেমনটি এখন বলা হয়েছে, এটি ভুল)।

— রুবেন ভ্যান বার্গেন

4

আপনি সেই উল্লেখটি ভুল বুঝছেন tanding এতে বলা হয়েছে: দুই বা ততোধিক স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের সম্ভাব্যতা বন্টন হ'ল তাদের পৃথক বিতরণের সমঝোতা । এটি বলে না যে দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফল সেই ভেরিয়েবলগুলিকে সংশ্লেষ করার সমান। এরা বলছে যে বন্টন সমষ্টি এর সংবর্তন হয় বন্টন পৃথক ভেরিয়েবল। একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল এবং এর বিতরণ দুটি ভিন্ন জিনিস।

— রুবেন ভ্যান বার্গেন

অবশ্যই, আপনি এলোমেলো পরিবর্তনগুলি একত্রিত করতে পারেন । তবে সেই নিবন্ধে (এবং আমার উত্তরে) যে পরিমাণ / সমঝোতার সম্পত্তিটি ব্যাপকভাবে পরিচিত এবং এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির কনভোলিউশনগুলি মোকাবেলা করে না । এটা বিশেষভাবে সাথে সংশ্লিষ্ট হয় অঙ্কের র্যান্ডম ভেরিয়েবল, এবং যে সমষ্টি বিতরণের বৈশিষ্ট্য।

— রুবেল ভ্যান বার্গেন

1

("অবশ্যই, আপনি এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি মিশ্রিত করতে পারেন"। আপনি কি বুঝতে পেরেছিলেন যে এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের বিতরণ ফাংশনটি পেতে আপনি প্রতিটিের ভর / ঘনত্বের ক্রিয়াগুলি মীমাংসিত করতে পারেন, অনেকে কনভলভিং বিতরণের কথা বলে (আলগাভাবে), & র্যান্ডম ভেরিয়েবল convolving কিছু আলাপ (ভুলভাবে) দুঃখিত মূল গতিপথ থেকে সরে, কিন্তু আমি জানতে

— Scortchi - পুনর্বহাল মনিকা

6

কোনও প্রক্রিয়া বা পরীক্ষার সমস্ত সম্ভাব্য স্বতন্ত্র ফলাফলের সেট বিবেচনা করে শুরু করুন। যাক কোনো ফলাফল একটি সংখ্যাকে নির্ধারণের জন্য (এখনও অনির্দিষ্ট হিসাবে) একটি নিয়ম হতে ; দিন খুব হও। তারপরে কোনও নির্দিষ্ট ফলাফলের জন্য একটি নম্বর নির্ধারণের জন্য একটি নতুন বিধি জানিয়েছে: নিম্নলিখিত নিয়ম থেকে আপনি যে নম্বরটি পেয়েছেন তা নীচের নিয়ম থেকে প্রাপ্ত সংখ্যায় যুক্ত করুন । $X$ $\omega$ $Y$ $S=X+Y$ $S$ $X$ $Y$

আমরা সেখানে থামতে পারি যোগফল কেন বলা হবে না ? $S=X+Y$

আমরা যদি সংজ্ঞায়িত করতে যেতে সম্ভাব্যতা স্থান , ভর (বা ঘনত্ব) দৈব চলক এর ফাংশন (যে কী আমাদের নিয়ম এখন জন্য) ভর (বা ঘনত্ব) ফাংশন convolving দ্বারা পাওয়া যেতে পারে সঙ্গে যে (যখন তারা স্বাধীন করছি)। এখানে "কনভলভিং" এর স্বাভাবিক গাণিতিক ধারণা রয়েছে । তবে লোকেরা প্রায়শই বিতরণগুলি কনভলভ করার কথা বলে, যা নিরীহ; বা কখনও কখনও এমনকি এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলিও কনভলভ করার ক্ষেত্রে, যা সম্ভবত " " কে " " হিসাবে পড়ার পরামর্শ দেয় এবং তাই " $S=X + Y$ $X$ $Y$ $X + Y$ $X \ \mathrm{convoluted\ with} \ Y$ $+$ "পূর্বে কোনও জটিল ক্রিয়াকলাপকে উপস্থাপন করে কিছুটা সমান ও সাধারণের চেয়ে সংযোজন, বা ধারণাকে প্রসারিত করে I আমি আশা করি এটি উপরের বিবরণ থেকে পরিষ্কার হয়েছে, যেখানে আমরা বলেছিলাম যে থামাতে পেরেছি, ইতিমধ্যে নিখুঁত ধারণা তৈরি করেছে সম্ভাবনা এমনকি ছবিতে আনা আগে। $X+Y$

গাণিতিক ভাষায়, এলোমেলো পরিবর্তনগুলি হ'ল ফাংশন যার সহ-ডোমেন হল আসল সংখ্যার সেট এবং যার ডোমেন হ'ল সমস্ত ফলাফলের সেট। সুতরাং " " "মধ্যে " (অথবা " ", তাদের আর্গুমেন্ট দেখানোর জন্য স্পষ্টভাবে) হিসাবে "ঠিক একই অর্থ বহন করে " এ " "। আপনি যদি অনুধাবনকে সহায়তা করে তবে আপনি কীভাবে উপলব্ধ মূল্যবোধের ভেক্টরদের যোগফল দেবেন তা চিন্তা করা ঠিক আছে; তবে এগুলি এলোমেলো ভেরিয়েবলের পরিমাণের জন্য ব্যবহৃত স্বরলিপি সম্পর্কে বিভ্রান্তি সৃষ্টি করা উচিত নয়। $+$ $X + Y$ $X(\omega) + Y(\omega)$ $+$ $\sin(\theta)+\cos(\theta)$

[এই উত্তরটি কেবলমাত্র তার উত্তর এবং মন্তব্যে @ মার্তিজন ওয়েটারিংস, @ ইলমারি কারনেন, @ রুবেনভেনবার্গেন, এবং @ শুভর দ্বারা তৈরি কল্পিত পয়েন্টগুলি একত্রিত করার চেষ্টা করে। আমি ভেবেছিলাম এটি কনভলিউশন কী তার চেয়ে এলোমেলো পরিবর্তনশীল কী তা ব্যাখ্যা করার দিক থেকে আসতে সহায়তা করতে পারে। সবাইকে ধন্যবাদ!]

— স্কর্চচি - মনিকা পুনরায় স্থাপন করুন
সূত্র

(+1) চেষ্টা করার জন্য। আমার পক্ষে গভীরভাবে উত্তর দিন। যাইহোক, এটি আমাকে একজনের দিকে নিয়ে গিয়েছিল। দয়া করে এটি পড়ুন এবং আমাকে আপনার চিন্তাভাবনা জানান।

— কার্ল

এটি উপবৃত্তাকারী চিহ্ন যা আমাকে বিভ্রান্ত করেছে: সমস্ত , অন্য কথায় ভেক্টর সংযোজন। যদি কেউ বলেছেন, "ভেক্টর উপরন্তু" বদলে "উপরন্তু" , আমি আমার মাথা প্রারম্ভিক হবে হয়নি ভাবছি কি অভিপ্রেত ছিল, কিন্তু না বলেন।

S_{i} = X_{i} + Y_{i}

$S_i=X_i+Y_i$

i = 1, 2, 3, . . ., n - 1, n

$i=1,2,3,...,n-1,n$

— কার্ল

ঠিক আছে, আপনি যদি ও উপলব্ধিগুলিকে ভেক্টরগুলিতে স্থাপন করেন এবং এর অনুধাবনের ভেক্টর গণনা করতে চান, তবে আপনি ভেক্টর সংযোজনটি ব্যবহার করবেন। তবে তা স্পর্শকাতর বলে মনে হচ্ছে। সর্বোপরি, আপনি কি ভেক্টর ব্যবহার করে ' ' ব্যাখ্যা করার প্রয়োজন বোধ করবেন , বা এই অভিব্যক্তির ' ' ভেক্টর সংযোজনকে বোঝায়?

X

$X$

Y

$Y$

S

$S$

\sin (θ) + \cos (ϕ)

$\sin(\theta) + \cos(\phi)$

+

$+$

— Scortchi - পুনর্বহাল মনিকা

কি করতে হবে? প্রসঙ্গটি ছিল আলাদা ডেটা, উদাহরণস্বরূপ, আরভি'র, অবিচ্ছিন্ন ফাংশন নয়, যেমন, পিডিএফ বা এবং একটি সাধারণ যোগ।

\sin (θ)

$\sin(\theta)$

\sin (θ) + \cos (ϕ)

$\sin(\theta) + \cos(\phi)$

— কার্ল

1

@ কার্ল: (১) যদি কোনও জীববিজ্ঞানী মডেলটি নং করেন। পোইসন আরভি হিসাবে হাঁসের বাসাতে ডিম পাড়া, তারা ডিমের অসীমের সম্ভাবনাটিকে সত্যিই মোকাবিলা করছে না। আপনি যদি গণিতে অনন্ত সেটগুলির ভূমিকা সম্পর্কে কোনও প্রশ্ন পেয়ে থাকেন তবে তা গণিত বা দর্শনশাস্ত্রে এসই জিজ্ঞাসা করুন। (২) বেশ মানিক হলেও নামকরণ প্রকৃতপক্ষে বিভ্রান্ত করতে পারে; সুতরাং আমার উত্তর।

— স্কর্চচি - মনিকা পুনরায় ইনস্টল করুন

3

আপনার "নোটিশ" এর উত্তরে, হুম, ... না।

যাক , , এবং র্যান্ডম ভেরিয়েবল হতে হবে এবং দিন । তারপরে, একবার আপনি এবং চয়ন করলে আপনি জোর করে নিন । আপনি এই দুটি পছন্দ পছন্দ করুন এই ক্রমে, যখন আপনি write লিখেন তবে এটি একটি সংবর্তন। $X$ $Y$ $Z$ $Z = X+Y$ $Z$ $X$ $Y = Z - X$

P (Z = z) = \int P (X = x) P (Y = z - x) d x .

$P(Z = z) = \int P(X = x) P(Y = z - x) \mathrm{d}x \text{.}$

— এরিক টাওয়ারস
সূত্র

নোটিশ গেছে। (+1) যত্নশীল হিসাবে আপনাকে।

— কার্ল

2

কারণ একই কারণ পাওয়ার ফাংশনগুলির পণ্যগুলি কনভোলিউশনের সাথে সম্পর্কিত। কনভোলশনটি সর্বদা প্রাকৃতিকভাবে উপস্থিত হয়, যদি আপনি এমন কোনও বস্তুর সাথে একত্রিত হন যার একটি ব্যাপ্তি রয়েছে (যেমন দুটি পাওয়ার ফাংশনগুলির শক্তি বা পিডিএফগুলির ব্যাপ্তি) এবং যেখানে নতুন ব্যাপ্তিটি মূল সীমাগুলির সমষ্টি হিসাবে উপস্থিত হয়।

মাঝারি মানের জন্য এটি দেখতে সবচেয়ে সহজ। জন্য মাঝারি মান আছে, হয় উভয় মাঝারি মান আছে, অথবা যদি এক একটি উচ্চ মূল্য আছে, অন্যান্য বিপরীতভাবে কম মান এবং ভাইস আছে আছে। এটি কনভ্যুশনের ফর্মের সাথে মিলে যায়, যার একটি সূচক উচ্চ মানের থেকে নিম্ন মানের দিকে চলে যায় এবং অন্যটি বৃদ্ধি পায়। $x + y$

আপনি যদি কনভলিউশনের সূত্রটি দেখেন (আলাদা মূল্যবোধের জন্য, কারণ আমি সেখানে দেখতে এটি আরও সহজ মনে করি)

$(f * g)(n) = \sum_k f(k)g(n-k)$

তারপরে আপনি দেখতে পাবেন যে ফাংশনগুলির ( এবং ) পরামিতিগুলির যোগফল সর্বদা সমান হয় । সুতরাং বোঝাটি আসলে যা করছে, এটি সম্ভাব্য সমস্ত সংমিশ্রণের সংমিশ্রণ করছে, যার সমান মান রয়েছে। $n-k$ $k$ $n$

পাওয়ার ফাংশনগুলির জন্য আমরা পাই

$(a_0+a_1x^1+a_2x^2+\ldots+a_nx^n)\cdot(b_0+b_1x^1+b_2x^2+\ldots+b_mx^m)=\sum_{i=0}^{m+n}\sum_k a_k*b_{i-k}x^i$

সর্বদা একই যোগফল পাওয়ার জন্য বাম দিক থেকে নিম্ন এক্সপোজারগুলির সাথে ডান দিক থেকে বিপরীতে বা উল্টো দিকে একত্রিত করার একই প্যাটার্ন রয়েছে।

একবার আপনি দেখবেন, কনভোলশনটি আসলে এখানে কী করছে, অর্থাত কোন পদগুলি সংযুক্ত করা হচ্ছে এবং কেন এটি অবশ্যই অনেক জায়গায় উপস্থিত হতে হবে, এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি সংশোধন করার কারণটি বেশ স্পষ্ট হওয়া উচিত।

— LiKao
সূত্র

2

আসুন আমরা ধারাবাহিক কেসের জন্য অনুমানটি প্রমাণ করি, এবং এরপরে এলোমেলো সংখ্যা থেকে নির্মিত হিস্টোগ্রামগুলি ব্যবহার করে ব্যাখ্যা করি এবং ব্যাখ্যা করি এবং সংযুক্ত সংখ্যক সংখ্যক ক্রমযুক্ত সংযোজন যুক্ত করে যোগফলগুলি তৈরি করা হয়, এবং উভয় এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি দৈর্ঘ্যের । $n$

গ্রিনস্টেড সিএম থেকে, স্টেল জেএল। সম্ভাবনার পরিচিতি: আমেরিকান ম্যাথমেটিক্যাল সোস ;; 2012. Ch। 7, অনুশীলন 1:

যাক এবং স্বাধীন রিয়েল-মূল্যবান সঙ্গে ঘনত্ব ফাংশন র্যান্ডম ভেরিয়েবল হতে এবং যথাক্রমে। দেখান যে যোগফলের এর ঘনত্ব ফাংশন হল এবং ফাংশনগুলির । $X$ $Y$ $f_X (x)$ $f_Y (y)$ $X + Y$ $f_X (x)$ $f_Y (y)$

যাক যৌথ দৈব চলক হতে । তারপর যুগ্ম ঘনত্ব ফাংশন হয় , যেহেতু এবং স্বাধীন। , সমতলের উপযুক্ত অঞ্চলে যৌথ ঘনত্বের ক্রিয়াটি সংহত করার সম্ভাবনাটি এখন গণনা করুন । এটি এর ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন দেয় । $Z$ $(X, Y )$ $Z$ $f_X (x)f_Y (y)$ $X$ $Y$ $X + Y ≤ z$ $Z$

F_{Z} (z) = P (X + Y \leq z) = \int_{(x, y) : x + y \leq z} f_{X} (x) f_{Y} (y) d y d x

$F_Z(z)=\mathrm{P}(X+Y\leq z)= \int_{(x,y):x+y\leq z} f_X(x)\,f_Y (y)\,dy\,dx$

= \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) [\int_{y \leq z - x} f_{Y} (y) d y] d x = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) [F_{Y} (z - x)] d x .

$= \int_{-\infty}^\infty f_X(x)\left[\int_{y\,\leq \,z-x} f_Y(y)\,dy \right] dx= \int_{-\infty}^\infty f_X(x)\left[F_Y(z−x)\right]\,dx.$

এখন থেকে সম্মান সঙ্গে এই ফাংশন পার্থক্য ঘনত্ব ফাংশন প্রাপ্ত । $z$ $z$

f_{Z} (z) = \frac{d F_{Z} (z)}{d z} = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x .

$f_Z(z) = \frac{dF_Z(z)}{dz} = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)\,f_Y ( z-x)\,dx.$

বাস্তবে এর অর্থ কী তা বোঝার জন্য এটি পরবর্তী উদাহরণ সহ চিত্রিত হয়েছিল। একটি বিতরণ থেকে একটি এলোমেলো সংখ্যা উপাদান (পরিসংখ্যান: ফলাফল, কম্পিউটার বিজ্ঞান: উদাহরণ) উপলব্ধি একটি এলোমেলো সম্ভাবনার ঘনত্ব ফাংশন এর বিপরীতমুখী ঘনত্ব ফাংশন গ্রহণ হিসাবে দেখা যেতে পারে। (একটি র্যান্ডম সম্ভাবনা, গণনাগতভাবে, [0,1] ব্যবধানে অভিন্ন বিতরণ থেকে একক উপাদান ।) এটি আমাদের এক্সিসে একক মান দেয় । এর পরে, আমরা অন্যের বিপরীত সিডিএফ থেকে অন্য একটি ম্যাক্সিস দ্বিতীয় এলোমেলো উপাদান তৈরি করি , সম্ভবত আলাদা, একটি দ্বিতীয়, পৃথক র্যান্ডম সম্ভাবনার পিডিএফ। আমাদের তখন দুটি এলোমেলো উপাদান রয়েছে। যোগ করা হলে, দুটি $x$ $x$ $x$ -তুল্য উত্সগুলি তৃতীয় উপাদান হয়ে যায় এবং কী ঘটেছিল তা লক্ষ্য করুন। দুটি উপাদানই এখন মাত্রার একক উপাদান হয়ে যায় , অর্থাৎ তথ্য হারিয়ে গেছে। এটি সেই প্রসঙ্গে যা "সংযোজন" সংঘটিত হচ্ছে; এটি সংযোজন $x1+x2$ $x$ -values। যখন এই ধরণের সংযোজনের একাধিক পুনরাবৃত্তি ঘটে তখন পরিমাণগুলি আদায়ের ঘনত্বের (ফলাফলের ঘনত্ব) পৃথক ঘনত্বগুলির সমীকরণের পিডিএফের দিকে ঝুঁকবে। সামগ্রিক তথ্য ক্ষতির ফলাফল গঠন পিডিএফ (বা সংখ্যাসমূহ) এর তুলনায় কনভলিউশন (বা স্যামস) এর স্মুথিং (বা ঘনত্ব বিচ্ছুরণ) এর ফলে ঘটে। আরেকটি প্রভাব হ'ল কনভলিউশনটির অবস্থান পরিবর্তন (বা যোগফল)। নোট করুন যে একাধিক উপাদানগুলির উপলব্ধি (ফলাফল, দৃষ্টান্তগুলি) কেবল একটি অবিচ্ছিন্ন নমুনা স্থান পপুলেশন (অনুকরণকরণ) কেবল বিরল উপাদান বহন করে।

উদাহরণস্বরূপ, আকার এবং স্কেল সহ গামা বিতরণ ব্যবহার করে 1000 এলোমেলো মান তৈরি করা হয়েছিল । এগুলি জোড় করে 1000 এলোমেলো মানগুলিতে 4 টি গড় এবং স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি সহ একটি সাধারণ বিতরণ থেকে যোগ করা হয়েছিল । মানগুলির তিনটি গ্রুপের প্রত্যেকটির ঘনত্বের পরিমিত মাপের হিস্টোগ্রামগুলি এলোমেলো ডেটা উত্পন্ন করতে ব্যবহৃত ঘনত্বের ফাংশনগুলির সাথে, সেইসাথে ঘনত্বের ফাংশনগুলির সমঝোতার সাথে কো-প্লট করা হয়েছিল (নীচে বাম প্যানেল) এবং বিপরীতে (নীচে ডান প্যানেল)। $10/9$ $2$ $1/4$

চিত্রটিতে যেমন দেখা গেছে, বাম হাতের প্যানেলে তথ্য (লাল) এর কার্নেল স্মুটেড বিতরণটি ডান হাতের প্যানেলে ক্রমাগত ঘনত্বের কার্যকারিতা এবং তাদের সমঝোতার অনুরূপ সমান বিবরণী সংযোজন যুক্তিযুক্ত বলে মনে হয়।

— কার্ল
সূত্র

@ শুক্রবার অবশেষে, আমি মনে করি আমি বুঝতে পেরেছি। যোগফলটি এলোমেলো ইভেন্টগুলির। আমার ব্যাখ্যাটি একবার দেখুন এবং এখনই এটি পরিষ্কার হয় কিনা আমাকে বলুন দয়া করে।

— কার্ল

3

এটি ভাষার সাথে সতর্ক হতে সহায়তা করে। ইভেন্টস সেট হয় । কদাচিৎ এগুলি এমনকি সংখ্যার সেট (এ কারণেই তাদের উপাদানগুলিকে "ফলাফল" বলা হয়)। ইভেন্টগুলি যোগ করে না - এলোমেলো ভেরিয়েবলের মানগুলি করে। "চিত্তাকর্ষক জটিল" সম্পর্কে সমস্যাটি কেবল একটি বিভ্রান্তি। প্রকৃতপক্ষে, আপনি যদি বিষয়টি হৃদয় পেতে চান তবে নিশ্চিত করুন যে আপনার উদাহরণের যে কোনও যোগফলটি শূন্য-মধ্যম এলোমেলো পরিবর্তনশীল, কারণ গড়টি অবস্থানটিতে সামগ্রিকভাবে স্থানান্তরিত হয়। আপনি স্থান পরিবর্তন চেয়ে অন্যথায় কী বোঝাতে পারে তা স্বজ্ঞাতভাবে বুঝতে চান ।

— হোয়বার

@ শুভ ধন্যবাদ-দরকারী কেবল পরিসংখ্যানগুলিতেই ফলাফল একটি নমুনা জায়গার একক উপাদান। আমাদের বাকিদের জন্য একটি ফলাফল একটি ইভেন্টের ফলাফল। স্মুথিং এবং শিফিং। আমি যা দেখাই তা হ'ল অনেকের মধ্যে বিভ্রান্তিকর উদাহরণ কারণ এটি সুপারপোজযুক্ত প্লটের সংঘর্ষ হ্রাস করে।

— কার্ল

1

আমি এখন দেখছি আপনি কীভাবে মিশ্রণের মডেলগুলি নিয়ে ভাবছেন। আপনি এমনটি নির্মাণ করছেন যা কখনও কখনও "মাল্টিসেট" নামে পরিচিত। (সাধারণত বন্ধনী than ব্যতীত অন্য কোনও কনস্ট্রাক্টর স্বরলিপিটি স্পষ্ট করার জন্য ব্যবহৃত হয়)) ধারণাটি মনে হয় একটি অনুশীলনমূলক বিতরণ ফাংশন: একটি মাল্টিসেট এর অভিজ্ঞতাগত বিতরণ এবং একটি মাল্টিসেট প্রদানের অভিজ্ঞতামূলক বিতরণ তাদের মাল্টিসেট ইউনিয়নের অনুপ্রেরণামূলক বিতরণে উঠুন, যা আপেক্ষিক ওজনের সাথে দুটি বিতরণের মিশ্রণ isএবং

{,}

$\{,\}$

A

$A$

B

$B$

| A |

$|A|$

| B | .

$|B|.$

— whuber

1

আমি মনে করি এই চলমান সম্পাদনাগুলিতে আমি বিভ্রান্তির একটি সম্ভাব্য উত্স সনাক্ত করি। কারণ একটি মন্তব্যে ব্যাখ্যা করতে খুব বেশি সময় লাগবে, আমি আমার উত্তরে একটি সম্পাদনা যুক্ত করেছিলাম আশা করি এটি কিছুটা সাহায্য করবে। সত্যই, আমার উত্তরটির প্রথম প্রথম লাইনটি সেই অ্যাকাউন্টে বিভ্রান্তিকর ছিল, তাই আমিও ক্ষমা চেয়ে এটিকে স্থির করেছি।

— whuber

1

এই প্রশ্নটি পুরানো হতে পারে তবে আমি আরও একটি দৃষ্টিকোণ সরবরাহ করতে চাই। এটি একটি যৌথ সম্ভাব্যতার ঘনত্বের পরিবর্তনশীল পরিবর্তনের জন্য একটি সূত্র তৈরি করে। এটি বক্তৃতা নোটগুলিতে পাওয়া যাবে : কেটিএইচ, 2017 এডে সম্ভাব্যতা এবং এলোমেলো প্রক্রিয়াগুলি। (কোস্কি, টি।, 2017, পিপি 67), যা নিজেই বিশ্লেষণ গ্রুন্ডার, ডেল 2 (নেইমার্ক, এম।, 1970, পিপি 148-168) এর বিশদ প্রমাণকে বোঝায় :

একটি এলোমেলো ভেক্টর এর যৌথ পিডিএফ । একটি নতুন এলোমেলো ভেক্টর দ্বারা $\mathbf{X} = (X_1, X_2,...,X_m)$ $f_\mathbf{X}(x_1,x_2,...,x_m)$ $\mathbf{Y}=(Y_1, Y_2,...,Y_m)$

Y_{i} = g_{i} (X_{1}, X_{2}, . . ., X_{m}), i = 1, 2, . . ., m

$Y_i = g_i(X_1,X_2,...,X_m), \hspace{2em}i=1,2,...,m$

যেখানে ধারাবাহিকভাবে হয় এবং বিপরীতমুখী সঙ্গে হয় $g_i$ $(g_1,g_2,...,g_m)$

X_{i} = h_{i} (Y_{1}, Y_{2}, . . ., Y_{m}), i = 1, 2, . . ., m

$X_i = h_i(Y_1,Y_2,...,Y_m),\hspace{2em}i=1,2,...,m$

তারপরে of এর যৌথ পিডিএফ (ইনভারটিবিলিটির ডোমেনে) $\mathbf{Y}$

f_{Y} (y_{1}, y_{2}, . . ., y_{m}) = f_{X} (h_{1} (x_{1}, x_{2}, . . ., x_{m}), h_{2} (x_{1}, x_{2}, . . ., x_{m}), . . ., h_{m} (x_{1}, x_{2}, . . ., x_{m})) | J |

$f_\mathbf{Y}(y_1,y_2,...,y_m) = f_\mathbf{X}(h_1(x_1,x_2,...,x_m),h_2(x_1,x_2,...,x_m),...,h_m(x_1,x_2,...,x_m))|J|$

যেখানে Jacobian নির্ধারক হয় $J$

J = | \begin{matrix} \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{1}} & \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{2}} & . . . & \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{m}} \\ \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{1}} & \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{2}} & . . . & \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{m}} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial x_{m}}{\partial y_{1}} & \frac{\partial x_{m}}{\partial y_{2}} & . . . & \frac{\partial x_{m}}{\partial y_{m}} \end{matrix} |

$J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x_1}{\partial y_1} & \frac{\partial x_1}{\partial y_2} & ... & \frac{\partial x_1}{\partial y_m}\\ \frac{\partial x_2}{\partial y_1} & \frac{\partial x_2}{\partial y_2} & ... & \frac{\partial x_2}{\partial y_m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial x_m}{\partial y_1} & \frac{\partial x_m}{\partial y_2} & ... & \frac{\partial x_m}{\partial y_m}\\ \end{vmatrix}$

এখন, আইআরভিএস যোগফলের যৌথ পিডিএফ পেতে এই সূত্রটি প্রয়োগ করুন : $X_1 + X_2$

অজানা যৌথ পিডিএফ দিয়ে এলোমেলো ভেক্টর । এরপরে, এলোমেলো ভেক্টর দ্বারা $\mathbf{X} = (X_1,X_2)$ $f_\mathbf{X}(x_1,x_2)$ $\mathbf{Y}=(Y_1,Y_2)$

Y_{1} = g_{1} (X_{1}, X_{2}) = X_{1} + X_{2} Y_{2} = g_{2} (X_{1}, X_{2}) = X_{2} .

$Y_1 = g_1(X_1,X_2) = X_1 + X_2\\ Y_2 = g_2(X_1,X_2) = X_2.$

বিপরীত মানচিত্রটি তখন

X_{1} = h_{1} (Y_{1}, Y_{2}) = Y_{1} - Y_{2} X_{2} = h_{2} (Y_{1}, Y_{2}) = Y_{2} .

$X_1 = h_1(Y_1,Y_2) = Y_1 - Y_2\\ X_2 = h_2(Y_1,Y_2) = Y_2.$

সুতরাং, এটি এবং আমাদের ধারণা যে এবং স্বতন্ত্র,, of এর যৌথ পিডিএফ হ'ল $X_1$ $X_2$ $\mathbf{Y}$

\begin{aligned} f_{Y} (y_{1}, y_{2}) & = f_{X} (h_{1} (y_{1}, y_{2}), h_{2} (y_{1}, y_{2})) | J | \\ = f_{X} (y_{1} - y_{2}, y_{2}) | J | \\ = f_{X_{1}} (y_{1} - y_{2}) \cdot f_{X_{2}} (y_{2}) \cdot | J | \end{aligned}

$\begin{split} f_\mathbf{Y}(y_1,y_2) &= f_\mathbf{X}(h_1(y_1,y_2),h_2(y_1,y_2))|J|\\ & = f_\mathbf{X}(y_1 - y_2, y_2)|J|\\ & = f_{X_1}(y_1 - y_2) \cdot f_{X_2}(y_2) \cdot |J| \end{split}$

যেখানে Jacobian হয় $J$

J = | \begin{matrix} \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{1}} & \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{2}} \\ \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{1}} & \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{2}} \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} | = 1

$J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x_1}{\partial y_1} & \frac{\partial x_1}{\partial y_2}\\ \frac{\partial x_2}{\partial y_1} & \frac{\partial x_2}{\partial y_2} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & -1\\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$

পিডিএফ খুঁজতে , আমরা প্রান্তিককরণ করি $Y_1 = X_1 + X_2$

\begin{aligned} f_{Y_{1}} & = \int_{- \infty}^{\infty} f_{Y} (y_{1}, y_{2}) d y_{2} \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (h_{1} (y_{1}, y_{2}), h_{2} (y_{1}, y_{2})) | J | d y_{2} \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X_{1}} (y_{1} - y_{2}) \cdot f_{X_{2}} (y_{2}) d y_{2} \end{aligned}

$\begin{split} f_{Y_1} &= \int_{-\infty}^\infty f_\mathbf{Y}(y_1,y_2) dy_2\\ &= \int_{-\infty}^\infty f_\mathbf{X}(h_1(y_1,y_2),h_2(y_1,y_2))|J| dy_2\\ &= \int_{-\infty}^\infty f_{X_1}(y_1 - y_2) \cdot f_{X_2}(y_2) dy_2 \end{split}$

যেখানে আমরা আপনার সমঝোতা খুঁজে পাই: ডি

— Mossmyr
সূত্র

0

এন ক্রমাগত এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের জন্য সাধারণ অভিব্যক্তি এখানে পাওয়া যায়:

https://journals.plos.org/plosone/article?id=10.1371/journal.pone.0216422

"জটিল সিস্টেম, ক্যাসকেডিং বিপর্যয় এবং রোগের সূত্রপাতের ব্যর্থতার একাধিক পর্যায়ের মডেল"

ইতিবাচক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য, যোগফলটি কেবলমাত্র ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মের একটি পণ্য এবং তাদের পণ্যের বিপরীত হিসাবে পদক্ষেপে লেখা যেতে পারে। পদ্ধতিটি একটি গণনা থেকে অভিযোজিত হয়েছে যা ইটি জেনেস "সম্ভাব্যতা তত্ত্ব" পাঠ্যপুস্তকে উপস্থিত হয়েছিল in

— এন্থনি
সূত্র

আমাদের সাইটে আপনাকে স্বাগতম। আপনি আগ্রহের বিষয় হিসাবে স্ট্যাটস.স্ট্যাকেক্সেঞ্জারএইচএইচশনস / সেকশনস / at২797979 , পাশাপাশি মোসচপলাস পেপারটি উল্লেখ করেছেন, এটি থ্রেডটি পেতে পারেন ।

— whuber

দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফল কেন একটি সমঝোতা?

সম্পাদন করা

রেফারেন্স

স্বরলিপি, আপার এবং লোয়ার কেস

ভেরিয়েবলের মিশ্রণ -> পিডিএফ এর যোগফল

ভেরিয়েবলের যোগফল -> পিডিএফ এর রূপান্তর

চিত্র উদাহরণ